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专题检测卷(十五) 专题五 第二讲


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专题检测卷(十五)
点、直线、平面之间的位置关系 (40 分钟) 一、填空题 1.设 a,b 是不同的直线,α ,β 是不同的平面,则下列命题: ①若 a⊥b,a∥α ,则 b∥α ; ②若 a∥α ,α ⊥β ,则 a⊥β ; ③若 a⊥β ,α ⊥β ,则 a∥α ; ④若 a⊥b,a⊥α ,b⊥β ,则α ⊥β . 其中正确命题的个数是 .

2.(2013·天津模拟)已知 l,m 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,有下 列命题: ①若 l ? β ,且α ∥β ,则 l∥α ; ②若 l⊥β ,且α ∥β ,则 l⊥α ; ③若 l⊥β ,且α ⊥β ,则 l∥α ; ④α ∩β =m,且 l∥m,则 l∥α ; ⑤若α ∩β =m,l∥α ,l∥β ,则 l∥m. 则所有正确命题的序号是 .

3.(2013· 青岛模拟)已知 m,n,l 是三条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的平面,
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给出以下命题: ①若 m ? α ,n∥α ,则 m∥n;②若 m ? α ,n ? β ,α ⊥β ,α ∩β =l,m⊥l,则 m⊥n;③ 若 n∥m,m ? α ,则 n∥α ;④若α ∥γ ,β ∥γ ,则α ∥β .其中正确命题的序号 是 .

4.(2013·广东高考改编)设 l 为直线,α ,β 是两个不同的平面,下列正确命题的 序号是 .

①若 l∥α ,l∥β ,则α ∥β ; ②若 l⊥α ,l⊥β ,则α ∥β ; ③若 l⊥α ,l∥β ,则α ∥β ; ④若α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β . 5.(2013·江西高考改编)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α 上, 且 AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m,n,那么 m+n= .

6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 C1D1,C1C 的中点.以下结论:

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①直线 AM 与直线 CC1 相交; ②直线 AM 与直线 BN 平行; ③直线 AM 与直线 DD1 异面; ④直线 BN 与直线 MB1 异面. 其中正确结论的序号为 (注:把你认为正确的结论序号都填上).

7.(2013·黄冈模拟)给出下列命题: ①直线 a 与平面α 不平行,则 a 与平面α 内的所有直线都不平行; ②直线 a 与平面α 不垂直,则 a 与平面α 内的所有直线都不垂直; ③异面直线 a,b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直; ④若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面. 其中错误的命题是 .

8. (2013·安徽高考)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为 线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题 正确的是 (写出所有正确命题的序号).

①当 0<CQ<错误!未找到引用源。时,S 为四边形. ②当 CQ=错误!未找到引用源。时,S 为等腰梯形. ③当 CQ=错误!未找到引用源。时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R=错误!未找到引 用源。.
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④当错误!未找到引用源。<CQ<1 时,S 为六边形. ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为错误!未找到引用源。. 9.(2013 ·宿迁模拟 ) 如图 ,A1B1C1D1-ABCD 为棱长为 a 的正方体 ,E1,F1 分别是 A1B1,C1D1 的中点,过 E1F1 作正方体截面,若截面平行于平面 A1BCD1,则截面的面积 为 .

10.(2013· 盐城模拟)已知 a,b 为异面直线,直线 c∥a,则直线 c 与 b 的位置关系 为 .

11. 如果一条直线与一个平面垂直 , 那么,称此直线与平面构成一个“正交线面 对” .在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “正 交线面对”的个数是 .

12.(2013·常州模拟)如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交 于点 G,已知△A′DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形(点 A′? 平面 ABC), 则下列命题中正确的是 .

①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上;
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②BC∥平面 A′DE; ③三棱锥 A′-FED 的体积有最大值. 二、解答题 13.如图,五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,△ABF 是等边三角 形,棱 EF∥BC,且 EF=错误!未找到引用源。BC.

(1)证明:EO∥平面 ABF. (2)若 EF=EO,证明:平面 EFO⊥平面 ABE. 14. (2013·济南模拟)如图,斜三棱柱 A1B1C1-ABC 中,侧面 AA1C1C⊥底面 ABC,底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形,侧面 AA1C1C 是菱形,∠A1AC=60 °,E,F 分别是 A1C1,AB 的中点.

(1)求证:EC⊥平面 ABC. (2)求三棱锥 A1-EFC 的体积. 15.如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 CD 的中点, F 为 AE 的中点.现在沿 AE 将三角形 ADE 向上折起,在折起的图形中解答下列问题: (1)在线段 AB 上是否存在一点 K,使 BC∥平面 DFK?若存在,请证明你的结论;若不
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存在,请说明理由. (2)若平面 ADE⊥平面 ABCE,求证:平面 BDE⊥平面 ADE.

16.(2013·淮安模拟)如图 a,在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,F 为 AD 的中 点,E 在 BC 上,且 EF∥AB.已知 AB=AD=CE=2,沿线段 EF 把四边形 CDFE 折起,如图 b,使平面 CDFE⊥平面 ABEF.

(1)求证:AB⊥平面 BCE. (2)求三棱锥 C-ADE 的体积.

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答案解析
1.【解析】①当 a⊥b,a∥α时,b 与α可能相交,所以①错误.②中 a⊥β不一定 成立.③中 a ? α或 a∥α,所以错误.④正确,所以正确的有 1 个. 答案:1 2.【解析】根据面面平行的性质知,①②正确,⑤中由 l∥α知,l 平行平面α中的 某条直线 x,同理 l 平行平面β中的某条直线 y,从而 x∥y,所以 y∥α,进而 y∥ m,故 l∥m,所以⑤正确. 答案:①②⑤ 3. 【解析】 对于命题①,m,n 可能是异面直线,故①错;对于命题③,还可能有 n ? α, 故③错. 答案:②④ 4.【解析】对于①,若 l∥α,l∥β,则平面α,β可能相交,此时交线与 l 平行,故 ①错误;对于②,垂直于同一条直线的两个平面平行(直线是公垂线);对于③,能 推出两个平面相交且两个平面垂直;对于④,l∥β,l⊥β,l ? β都有可能. 答案:② 5.【解析】取 CD 中点 G,连结 EG,FG,可知 CD⊥平面 EFG,因为 AB∥CD,所以 AB⊥ 平面 EFG,容易知道平面 EFG 与正方体的左右两个侧面平行,所以 EF 与正方体的 两个侧面平行,观察可知 n=4;又正方体的底面与正四面体的底面共面,所以过点 A 可作 AH∥CE,易知 CE 与正方体的上下两个底面平行,与其他四个面相交,所以 m=4,即得 m+n=8. 答案:8
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6.【解析】由图可知 AM 与 CC1 是异面直线;AM 与 BN 也是异面直线;AM 与 DD1 是异 面直线;BN 与 MB1 也是异面直线,故①②错误,③④正确. 答案:③④ 7. 【解析】 对于命题①,当直线 a 在平面α内时,a 可与平面α内的某些直线平行, 故①错;对于命题②,当直线 a 在平面α内时,直线 a 可与平面α内的无数条直线 垂直,故命题②错误;对于命题③,假设过 a 的一个平面与 b 垂直,则异面直线 a,b 垂直,与已知矛盾,故命题③正确;对于命题④,当直线 a 和 b 平行,直线 b 和 c 相 交时,a 和 c 可能是异面直线,故命题④错误. 答案:①②④ 8.【解析】①当 0<CQ<错误!未找到引用源。时,截面如图 1 所示,截面是四边形 APQM,故①正确.

②当 CQ=错误!未找到引用源。时,截面如图 2 所示,易知 PQ∥AD1 且 PQ=错误! 未找到引用源。AD1,S 是等腰梯形,故②正确. ③当 CQ=错误!未找到引用源。时,如图 3. 作 BF∥PQ 交 CC1 的延长线于点 F,则 C1F=错误! 未找到引用源。 .作 AE∥BF,交 DD1 的延长线于点 E,D1E=错误!未找到引用源。,AE∥PQ,连结 EQ 交 C1D1 于点 R,由于 Rt△RC1Q∽Rt△RD1E,所以 C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2,所以 C1R=错误!未找到引用
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源。.

④当错误!未找到引用源。<CQ<1 时,如图 3,连结 RM(点 M 为 AE 与 A1D1 的交点), 显然 S 为五边形 APQRM. ⑤当 CQ=1 时,如图 4. 同③可作 AE∥PQ 交 DD1 的延长线于点 E,交 A1D1 于点 M,显然点 M 为 A1D1 的中点, 所以 S 为菱形 APQM,其面积为错误!未找到引用源。MP×AQ=错误!未找到引用 源。×错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 答案:①②③⑤ 9.【解析】截面与侧面 BB1C1C 相交于 EF,E,F 分别为 BB1,CC1 的中点,截面 E1F1FE 的面积为错误!未找到引用源。a2. 答案:错误!未找到引用源。a2 10.【解析】若 c 与 b 有公共点,则 c 与 b 相交;若 c 与 b 无公共点,则 c 与 b 异 面. 答案:相交或异面 11.【解析】如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

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因为 AB⊥平面 BCC1B1, AB⊥平面 ADD1A1, 所以 AB 与平面 BCC1B1,AB 与平面 ADD1A1 各构成一个“正交线面对”. 这样的“正交线面对”共有 12×2=24(个), 又 A1B⊥平面 AB1C1D. 所以 A1B 与平面 AB1C1D 构成一个“正交线面对”. 这样的“正交线面对”共有 12×1=12(个), 所以共有 24+12=36(个). 答案:36 12.【解析】由题意知,D,E,F 分别为 AB,AC,BC 的中点,不论 A′在什么位置,总 有 DE⊥平面 A′FG,A′在平面 ABC 上的射影总在线段 AF 上,正确;又 BC∥DE, DE ? 平面 A′DE,BC?平面 A′DE,所以 BC∥平面 A′DE,故②正确;当 S△A′FG 最大 时,VA′-EFD 最大, 所以三棱锥 A′-FED 的体积有最大值,正确. 答案:①②③ 13.【证明】 (1)取 AB 的中点 M,连结 FM,OM.

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因为 O 为矩形 ABCD 的对角线的交点, 所以 OM∥BC, 且 OM=错误!未找到引用源。BC, 又 EF∥BC,且 EF=错误!未找到引用源。BC, 所以 OM=EF,且 OM∥EF, 所以四边形 EFMO 为平行四边形, 所以 EO∥FM. 又因为 FM ? 平面 ABF, EO?平面 ABF, 所以 EO∥平面 ABF. (2)由(1)知四边形 EFMO 为平行四边形, 又因为 EF=EO,所以四边形 EFMO 为菱形,连结 EM,则有 FO⊥EM, 又因为△ABF 是等边三角形,且 M 为 AB 中点, 所以 FM⊥AB,易知 MO⊥AB,MO∩FM=M, 所以 AB⊥平面 EFMO,所以 AB⊥FO. 因为 AB∩EM=M, 所以 FO⊥平面 ABE. 又因为 FO ? 平面 EFO, 所以平面 EFO⊥平面 ABE.
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【方法总结】立体几何中证明线线平行的技巧 找中点或构造平行四边形是空间证明线线平行的一个重要技巧 ,具体解题时可 以充分利用平行关系的传递性,把已知条件中的平行关系集中到我们需要的平 行四边形中. 【变式备选】(2013·宁波模拟)如图 1,在边长为 3 的等边三角形 ABC 中,E,F,P 分别为 AB,AC,BC 边上的点,且满足 AE=FC=CP=1,将△AEF 沿 EF 折起到△A1EF 的 位置,如图 2,使平面 A1EF⊥平面 FEBP,连结 A1B,A1P,

(1)求证:A1E⊥PF. (2)若 Q 为 A1B 中点,求证:PQ∥A1EF. 【证明】(1)在△AEF 中,因为 AE=1,AF=2,∠A=60°, 由余弦定理得 EF=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以 AE2+EF2=AF2=4,所以 EF⊥AE. 所以在题干图 2 中有 A1E⊥EF. 因为平面 A1EF⊥平面 FEBP,平面 A1EF∩平面 FEBP=EF,A1E ? 平面 A1EF, 所以 A1E⊥平面 FEBP. 所以 A1E⊥PF. (2)在题干图 1△ABC 中,因为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。,设 BE 的中点为 H,连结 PH,QH,
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所以 PF∥BE,且 PF=EH,所以四边形 PFEH 为平行四边形,所以 PH∥EF, PH?平面 A1EF,EF ? 平面 A1EF,所以 PH∥平面 A1EF, 又 QH∥A1E,QH?平面 A1EF,A1E ? 平面 A1EF,所以 QH∥平面 A1EF. QH∩PH=H,所以平面 A1EF∥平面 QHP, PQ ? 平面 QHP,所以 PQ∥平面 A1EF. 14.【解析】(1)在平面 AA1C1C 内,作 A1O⊥AC,O 为垂足.

因为∠A1AC=60°,所以 AO=错误!未找到引用源。AA1=错误!未找到引用源。AC, 即 O 为 AC 的中点,所以 OC 因而 EC ABC. 所以 EC⊥平面 ABC. (2)连结 BO,由题知 BO⊥平面 AA1C1C.F 到平面 A1EC 的距离等于 B 点到平面 A1EC 距离 BO 长度的一半,而 BO=错误!未找到引用源。. 所以 VA ?EFC ? VF?A EC =错误!未找到引用源。 ·错误!未找到引用源。BO
1 1

A1E.

A1O.因为侧面 AA1C1C⊥平面 ABC,交线为 AC,A1O⊥AC,所以 A1O⊥平面

=错误!未找到引用源。 ·错误!未找到引用源。A1E·EC·错误!未找到引用源。
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=错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。×错 误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 15.【解题提示】(1)先探求出点 K 的位置,然后以此为条件进行证明. (2)只需证明 BE⊥平面 ADE. 【解析】(1)线段 AB 上存在一点 K,且当 AK=错误!未找到引用源。AB 时,BC∥平 面 DFK.

证明如下: 设 H 为 AB 的中点,连结 EH,则 BC∥EH, 又因为 AK=错误!未找到引用源。AB,F 为 AE 的中点, 所以 KF∥EH,所以 KF∥BC, 因为 KF ? 平面 DFK,BC?平面 DFK, 所以 BC∥平面 DFK. (2)因为 F 为 AE 的中点,DA=DE=1,所以 DF⊥AE. 因为平面 ADE⊥平面 ABCE,所以 DF⊥平面 ABCE, 因为 BE ? 平面 ABCE,所以 DF⊥BE. 又因为在折起前的图形中 E 为 CD 的中点 ,AB=2,BC=1, 所以在折起后的图形 中:AE=BE=错误!未找到引用源。, 从而 AE2+BE2=4=AB2,所以 AE⊥BE, 因为 AE∩DF=F,所以 BE⊥平面 ADE,
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因为 BE ? 平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ADE. 16.【解析】(1)由题知在图 b 中,CE⊥EF, 又平面 CDFE⊥平面 ABEF, 且平面 CDFE∩平面 ABEF=EF, 所以 CE⊥平面 ABEF,又 AB ? 平面 ABEF, 所以 CE⊥AB, 又因为 AB⊥BE,BE∩CE=E,所以 AB⊥平面 BCE. (2)因为平面 CDFE⊥平面 ABEF,且平面 CDFE∩平面 ABEF=EF,AF⊥FE, AF ? 平面 ABEF,所以 AF⊥平面 CDFE, 所以 AF 为三棱锥 A-CDE 的高,且 AF=1, 又因为 AB=CE=2,所以 S△CDE=错误!未找到引用源。×2×2=2. VC-ADE=VA-CDE=错误!未找到引用源。S△CDE×AF=错误!未找到引用源。.

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