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【步步高】2015高考数学(广东专用,理)一轮题库:第4章 第6讲 正弦定理和余弦定理]


第 6 讲 正弦定理和余弦定理
一、选择题 1.在△ABC 中,C=60°,AB= 3,BC= 2,那么 A 等于( A.135° 解析 由正弦定理知 B.105° C.45° ). D.75°

BC
sin A



AB
sin C

,即

2 3 2 = ,所以 sin A= , sin A sin 60° 2

又由题知,BC<AB,∴A=45°. 答案 C

2.已知 a,b,c 是△ABC 三边之长,若满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角

C 的大小为(
A.60° 解析

). B.90° C.120° D.150°

由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab,

∴c2=a2+b2+ab=a2+b2-2abcos C, 1 ∴cos C=- ,∴C=120°. 2 答案 C

3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若角 A,B,C 依次成 等差数列,且 a=1,b= 3,则 S△ABC= A. 2 解析 B. 3 3 C. 2 D.2 ( ).

∵A,B,C 成等差数列,∴A+C=2B,∴B=60° .

a b 又 a=1,b= 3,∴sin A=sin B, ∴sin A= asin B 3 1 1 = b 2 × 3=2,

1 3 ∴A=30° ,∴C=90° .∴S△ABC=2×1× 3= 2 . 答案 C ( ).

4.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上的高等于

3 A. 2 解析

3 3 B. 2

C.

3+ 6 2

D.

3+ 39 4

设 AB=c,BC 边上的高为 h.

由余弦定理,得 AC2=c2+BC2-2BC· ccos 60° ,即 7=c2+4 -4ccos 60° ,即 c2-2c-3=0,∴c=3(负值舍去). 3 3 3 又 h=c· sin 60° =3× 2 = 2 ,故选 B. 答案 B

5.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a=λ ,b= 3λ (λ >0),

A=45°,则满足此条件的三角形个数是(
A.0 C.2 解析 直接根据正弦定理可得

) B.1 D.无数个

a
sin A



b
sin B

, 可 得 sin B =

bsin A = a

3λ sin 45° 6 = >1,没有意义,故满足条件的三角形的个数为 0. λ 2 答案 A

3 π 6.已知△ABC 的面积为 2 ,AC= 3,∠ABC=3,则△ABC 的周长等于 ( A.3+ 3 C.2+ 3 解析 B.3 3 3 3 D. 2 ).

由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 即 a2+c2-ac=3.又△ABC 的面积

1 π 3 为2acsin 3= 2 ,即 ac=2,所以 a2+c2+2ac=9,所以 a+c=3,即 a+c+b =3+ 3,故选 A. 答案 A

二、填空题 7.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则

AD 的长度等于________.

解析

在△ABC 中,∵AB=AC=2,BC=2 3,∴cos C=

3 1 ,∴sin C= ;在 2 2

△ADC 中,由正弦定理得, 答案 2

AD
sin C



AC
sin∠ADC



∴AD=

2 1 × = 2. sin 45° 2

8 . 已 知△ ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为 ________. 解析 依题意得,△ABC 的三边长分别为 a, 2a,2a(a>0),则最大边 2a 所对 a2+? 2a?2-?2a?2 2 =- 4 . 2a· 2a

的角的余弦值为: 答案 2 -4

9.在 Rt△ABC 中,C=90° ,且 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足 a+b=cx,则实 数 x 的取值范围是________. 解析 x= a+b sin A+sin B π? π? π ? ? = =sin A+cos A= 2sin?A+4?.又 A∈?0,2?,∴ c sin C 4 ? ? ? ?

π? π 3π 2 ? <A+4< 4 ,∴ 2 <sin?A+4?≤1,即 x∈(1, 2]. ? ? 答案 (1, 2]

10.若 AB=2,AC= 2BC,则 S△ABC 的最大值________. 解析 (数形结合法)因为 AB=2(定长),可以令 AB 所在的直线为 x 轴,其中

垂线为 y 轴建立直角坐标系,则 A(-1,0),B(1,0),设 C(x,y),由 AC= 2

BC,


x+

2

+y2= 2

x-

2

+y2,化简得(x-3)2+y2=8,

即 C 在以(3,0)为圆心,2 2为半径的圆上运动, 1 所以 S△ABC= ·|AB|·|yC|=|yC|≤2 2,故答案为 2 2. 2 答案 2 2

三、解答题

11.叙述并证明余弦定理. 解 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它

们夹角的余弦之积的两倍.或:在△ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有

a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C,
法一 如图(1),

图(1)

a2=→ BC·→ BC
=(→ AC-→ AB)·(→ AC-→ AB) →2 → → →2 =AC -2AC·AB+AB =→ AC2-2|→ AC|·|→ AB|cos A+→ AB2 =b2-2bccos A+c2,即 a2=b2+c2-2bccos A. 同理可证 b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C. 法二

图(2) 已知△ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,如图(2)则 C(bcos A,bsin A),B(c,0), ∴a2=|BC|2=(bcos A-c)2+(bsin A)2 =b2cos2A-2bccos A+c2+b2sin2A =b2+c2-2bccos A. 同理可证 b2=c2+a2-2cacos B,

c2=a2+b2-2abcos C.
2 12.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cos A=3,sin B= 5 cos C. (1)求 tan C 的值;

(2)若 a= 解

2,求△ABC 的面积.

2 (1)因为 0<A<π,cos A=3, 5 1-cos2A= 3 .

得 sin A=

又 5cos C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C 5 2 = 3 cos C+3sin C. 所以 tan C= 5. (2)由 tan C= 5,得 sin C= 于是 sin B= 5cos C= 由 a= 5 . 6 3. 5 1 ,cos C= . 6 6

a c 2及正弦定理sin A=sin C,得 c=

1 5 设△ABC 的面积为 S,则 S=2acsin B= 2 . 13. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,点(a,b)在直线 x(sin A -sin B)+ysin B=csin C 上. (1)求角 C 的值; (2)若 a2+b2=6(a+b)-18,求△ABC 的面积. 解 (1)由题意得 a(sin A-sin B)+bsin B=csin C,

由正弦定理,得 a(a-b)+b2=c2, 即 a2+b2-c2=ab, a2+b2-c2 1 由余弦定理,得 cos C= 2ab =2, π 结合 0<C<π,得 C=3. (2)由 a2+b2=6(a+b)-18,得(a-3)2+(b-3)2=0, 从而得 a=b=3, 1 π 9 3 所以△ABC 的面积 S=2×32×sin 3= 4 . π ?π ? 14. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 A=4,bsin?4+C?- ? ?

?π ? csin?4+B?=a. ? ? π (1)求证:B-C=2; (2)若 a= (1)证明 2,求△ABC 的面积. ?π ? ?π ? ?π ? 由 bsin?4+C?-csin?4+B?=a 应用正弦定理,得 sin Bsin?4+C?-sin ? ? ? ? ? ?

?π ? Csin?4+B?=sin A, ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 2 sin B? sin C+ cos C?-sin C? sin B+ cos B?= , 2 2 ?2 ? ?2 ? 2 整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1,即 sin(B-C)=1. 3 π 由于 0<B,C<4π,从而 B-C=2. (2)解 由 a= 3π 5π π B+C=π-A= 4 ,因此 B= 8 ,C=8. π 2,A=4,

asin B 5π asin C π 得 b= sin A =2sin 8 ,c= sin A =2sin 8, 1 所以△ABC 的面积 S=2bcsin A= = π π 1 2cos8sin8=2. 5π π 2sin 8 sin8


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