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2015-2016学年河北省邢台市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年河北省邢台市高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 ) 1.设 i 是虚数单位,则复数 在复平面上对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.用反证法证明命题“若自然数 a,b,c 的积为

偶数,则 a,b,c 中至少有一个偶数”时, 对结论正确的反设为( ) A.a,b,c 中至多有一个偶数 B.a,b,c 都是奇数 C.a,b,c 至多有一个奇数 D.a,b,c 都是偶数 3.已知函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2(x2+2)+ 则实数 m 的值为( ) A.﹣6 B.﹣2 C.2 D.10 4.假设有两个分类变量 X 和 Y 的 2×2 列联表为: X Y x1 x2 y1 y2 总计 ,且 f(﹣ )=﹣3,

5+b 5 b 15+d 15 d 20 40 60 总计 对同一样本,以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为( ) A.b=5,d=35 B.b=15,d=25 C.b=20,d=20 D.b=30,d=10 5.某市质量监督局计量认证审查流程图如图,可得在审查过程中可能不被通过审查的环节 有( )处.

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A.1

B.2

C.3

D.4 在点(1,f(1) )处的切线的斜率为 k,则 k 的最小值

6.已知 a≥1,曲线 f(x)=ax3﹣

为( ) A. B.2 C.2 D.4 7.如图是用相同规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第 20 个图案中 需用黑色瓷砖块数为( )

A.148 B.126 C.102 D.88 8.两个线性相关变量 x 与 y 的统计数据如表: x y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 ) 11 5

其回归直线方程是 = x+40,则相应于点(9,11)的残差为( A.0.1 B.0.2 C.﹣0.2 D.﹣0.1 9.函数 y=(x3﹣x)2|x|图象大致是(



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A.

B.

C.

D.

10.执行如图所示的程序框图,则“3<m<5”是“输出 i 的值为 5”的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.已知圆 M: (x﹣2)2+y2=4,过点(1,1)的直线中被圆 M 截得的最短弦长为 2 ,类 比上述方法: 设球 O 是棱长为 4 的正方体的外接球,过该正方体的棱的中点作球 O 的截面, 则最小截面的面积为( ) A.3π B.4π C.5π D.6π 12.已知函数 f(x)=ex(x2﹣bx) (b∈R)在区间[ ,2]上存在单调递增区间,则实数 b 的取值范围是( ) C. (﹣ , ) D. ( ,+∞)

A. (﹣∞, ) B. (﹣∞, )

二、填空题: 13.已知复数 z 满足(z﹣1) (2+i)=5i,则| +i|=



14.设 a>0,函数 f(x)=

的最小值为 1,则 a=



15.观察下列数表: 1 3,5 7,9,11,13 15,17,19,21,23,25,27,29 … 设 999 是该表第 m 行的第 n 个数,则 m+n=



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几何证明选讲 16. AB=AC, BE∥MN 交 AC 于点 E. 如图, △ABC 内接于⊙O, 直线 MN 切⊙O 于点 C, 若 AB=6,BC=4,则 AE 的长为 .

坐标系与参数方程 17.设直线 l1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极 ,则实数

坐标系得另一直线 l2 的方程为 ρsinθ﹣3ρcosθ+4=0,若直线 l1 与 l2 间的距离为 a 的值为 . 不等式选讲 18.如果不等式 a﹣|x﹣1|≥|x﹣2|对于 x∈[0,2]恒成立,则实数 a 的取值范围 是 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 19.禽流感是家禽养殖业的最大威胁,为检验某种药物预防禽流感的效果,取 80 只家禽进 行对比试验,得到如下丢失数据的列联表: (其中 c,d,M,N 表示丢失的数据) . 患病 未患病 总计 25 15 40 没服用药 c d 40 服用药 M N 80 总计 工作人员曾记得 3c=d. (1)求出列联表中数据 c,d,M,N 的值; (2)能否在犯错误率不超过 0.005 的前提下认为药物有效? 下面的临界值表供参考:P(K2≥k0) 0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式: K2=\frac{n(ad﹣bc)^{2}}{(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)},其中 n=a+b+c+d) 20.已知复数 z=(a+2i) (1﹣bi) ,其中 i 是虚数单位. (1)若 z=5﹣i,求 a,b 的值; (2)若 z 的实部为 2,且 a>0,b>0,求证: 21.已知函数 f(x)=﹣x3+3ax2﹣4(a∈R) . (1)若 a≠0,求 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在 x=b 处取得极值﹣ ,且 g(x)=f(x)+mx 在[0,2]上单调递减, 求实数 m 的取值范围. A[选修 4-1:几何证明选讲]
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+ ≥4.

22.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D,DE⊥AC, 交 AC 的延长线于点 E,OE 交 AD 于点 F. (1)求证:DE 是⊙O 的切线. (2)若 ,求 的值.

B[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2, (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. C[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x﹣a|+a. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,求实数 m 的取值范围. A[选修 4-1:几何证明选讲] 25. CD 是∠ACB 的平分线, AB=2AC, 如图, 在△ABC 中, △ACD 的外接圆交 BC 于点 E, (1)求证:BE=2AD; (2)求函数 AC=1,BC=2 时,求 AD 的长. .

B[选修 4-4:坐标系与参数方程] 26.在直角坐标系中,以原点 O 为极点,x 轴为正半轴为极轴,建立极坐标系.设曲线 C: (α 为参数) ;直线 l:ρ(cosθ+sinθ)=4. (Ⅰ)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离.
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C[选修 4-5:不等式选讲] 27.已知 a,b>0,且 a+b=1,求证: (Ⅰ) + ≥8; ≥8.

(Ⅱ) + +

A[选修 4-1:几何证明选讲] 28.如图,⊙O 与⊙P 相交于 A、B 两点,点 P 在⊙O 上,⊙O 的弦 BC 切⊙P 于点 B,CP 及其延长线交⊙P 于 D、E 两点,过点 E 作 EF⊥CE 交 CB 的延长线于点 F. (1)求证:PB?CB=CD?EF; (2)若 CP=3,CB=2 ,求△CEF 的面积.

B[选修 4-4:坐标系与参数方程] 29.极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极 轴. 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ, 曲线 C2 的参数方程是 0≤α<π) ,射线 θ=φ,θ=φ+ (1)求证:|OB|+|OC|= (2)当 φ= ,θ=φ﹣ |OA|; (t 为参数,

(与曲线 C1 交于极点 O 外的三点 A,B,C.

时,B,C 两点在曲线 C2 上,求 m 与 α 的值.

C[选修 4-5:不等式选讲] 30.已知函数 f(x)=m﹣|x﹣1|﹣|x﹣2|,m∈R,且 f(x+1)≥0 的解集为[0,1]. (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c,x,y,z∈R,且 x2+y2+z2=a2+b2+c2=m,求证:ax+by+cz≤1.

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2015-2016 学年河北省邢台市高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 ) 1.设 i 是虚数单位,则复数 在复平面上对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 的点的坐标,则答案可求. 【解答】解: 则复数 故选:B. 2.用反证法证明命题“若自然数 a,b,c 的积为偶数,则 a,b,c 中至少有一个偶数”时, 对结论正确的反设为( ) A.a,b,c 中至多有一个偶数 B.a,b,c 都是奇数 C.a,b,c 至多有一个奇数 D.a,b,c 都是偶数 【考点】反证法与放缩法. 【分析】用反证法法证明数学命题时,应先假设命题的反面成立,求出要证的命题的否定, 即为所求. 【解答】解:用反证法法证明数学命题时,应先假设要证的命题的反面成立,即要证的命题 的否定成立, 而命题:“自然数 a,b,c 中至少有一个是偶数”的否定为:“a,b,c 中一个偶数都没有”, 即 a,b,c 都是奇数, 故选:B. 3.已知函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2(x2+2)+ 则实数 m 的值为( ) A.﹣6 B.﹣2 C.2 D.10 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化,借助方程进行求解即可. 【解答】解:∵函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2(x2+2)+ =﹣3,
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,求出复数

在复平面上对应

=



在复平面上对应的点的坐标为: (﹣1,2) ,位于第二象限.

,且 f(﹣

)=﹣3,

,且 f(﹣



∴﹣f( 即 f(

)=﹣3,则 f( )=log2( (

)=3,

)2+2)+ =log24+ =2+ =3,

则 =1,m=2, 故选:C. 4.假设有两个分类变量 X 和 Y 的 2×2 列联表为: X Y x1 x2 y1 5 15 20 y2 b d 40 总计 5+b 15+d )

60 总计 对同一样本,以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为( A.b=5,d=35 B.b=15,d=25 C.b=20,d=20 D.b=30,d=10

【考点】独立性检验的基本思想. 【分析】当 ad 与 bc 差距越大,两个变量有关的可能性就越大,检验四个选项中所给的 ad 与 bc 的差距,即可得出结果. 【解答】解:根据观测值求解的公式 K2= 当 ad 与 bc 差距越大,两个变量有关的可能性就越大, 选项 A 中,|ad﹣bc|=100,选项 B 中,|ad﹣bc|=100, 选项 C 中,|ad﹣bc|=200,选项 D 中,|ad﹣bc|=400, 故选:D. 5.某市质量监督局计量认证审查流程图如图,可得在审查过程中可能不被通过审查的环节 有( )处. 可知,

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A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】流程图的作用. 【分析】先运行循环体,看运行后运行的可能不被通过审查的环节就看判断框,从而得到不 被通过审查的环节有多少处. 【解答】解:从某市质量监督局计量认证审查流程图看出, 判断框有三个, 可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有三处, 故选 C. 6.已知 a≥1,曲线 f(x)=ax3﹣

在点(1,f(1) )处的切线的斜率为 k,则 k 的最小值

为( ) A. B.2 C.2 D.4 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出 f(x)的导数,可得切线的斜率,由对勾函数的单调性,可得斜率 k 的最小 值. 【解答】解:f(x)=ax3﹣ 的导数为 f′(x)=3ax2+ ,

可得在点(1,f(1) )处的切线的斜率 k=3a+ ,
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k=3a+ 的导数为 3﹣ 由 a≥1,可得 3﹣

, >0,则函数 k 在[1,+∞)递增,

可得 k 的最小值为 3+1=4. 故选:D. 7.如图是用相同规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第 20 个图案中 需用黑色瓷砖块数为( )

A.148 B.126 C.102 D.88 【考点】归纳推理. 【分析】 本题通过观察前几个图案的规律进行归纳, 在归纳时要抓住每个情况中反映的数量 关系与序号之间的关系再进行概括. 【解答】解:根据题目给出的图,我们可以看出: 1 图中有黑色瓷砖 12 块,我们把 12 可以改写为 3×4; 2 图中有黑色瓷砖 16 块,我们把 16 可以改写为 4×4; 3 图中有黑色瓷砖 20 块,我们把 20 可以改写为 5×4; 从具体中,我们要抽象出瓷砖的块数与图形的个数之间的关系,就需要对 3、4、5 这几个数 字进行进一步的变形,用序列号 1、2、3 来表示,这样 12,我们又可以写为 12=(1+2)× 4,16 又可以写为 16=(2+2)×4,20 我们又可以写为 20=(3+2)×4,注意到 1、2、3 恰 好是图形的序列号,而 2、4 在图中都是确定的, 因此,我们可以从图中概括出第 n 个图有(n+2)×4,也就是,有 4n+8 块黑色的瓷砖. n=20 时,4n+8=88 故选:D. 8.两个线性相关变量 x 与 y 的统计数据如表: x y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 ) 11 5

其回归直线方程是 = x+40,则相应于点(9,11)的残差为( A.0.1 B.0.2 C.﹣0.2 D.﹣0.1

【考点】线性回归方程. 【分析】 求出样本中心点, 代入回归直线方程是 = x+40, 求出 =﹣3.2, 可得 =﹣3.2x+40, x=9 是, =11.2,则可得相应于点(9,11)的残差. =10, =8,

【解答】解:由题意,

∵回归直线方程是 = x+40,
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∴8=10 +40, ∴ =﹣3.2, ∴ =﹣3.2x+40, x=9 时, =11.2,

∴相应于点(9,11)的残差为 11﹣11.2=﹣0.2, 故选:C. 9.函数 y=(x3﹣x)2|x|图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】根据函数 y 为奇函数,它的图象关于原点对称,当 0<x<1 时,y<0;当 x>1 时, y>0,结合所给的选项得出结论. 【解答】解:由于函数 y=(x3﹣x)2|x|为奇函数,故它的图象关于原点对称, 当 0<x<1 时,y<0;当 x>1 时,y>0, 故选:B. 10.执行如图所示的程序框图,则“3<m<5”是“输出 i 的值为 5”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】程序框图;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值, 模拟程序的运行过程,求出 m 的范围,结合充要条件的定义,可得答案. 【解答】解:第一次执行循环体后,S=2,i=2,应该不满足退出循环的条件; 第二次执行循环体后,S=6,i=3,应该不满足退出循环的条件; 第三次执行循环体后,S=13,i=4,应该不满足退出循环的条件; 第四次执行循环体后,S=23,i=5,应该满足退出循环的条件;
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,解得:



故“3<m<5”是“输出 i 的值为 5”的必要不充分条件, 故选:B 11.已知圆 M: (x﹣2)2+y2=4,过点(1,1)的直线中被圆 M 截得的最短弦长为 2 ,类 比上述方法: 设球 O 是棱长为 4 的正方体的外接球,过该正方体的棱的中点作球 O 的截面, 则最小截面的面积为( ) A.3π B.4π C.5π D.6π 【考点】类比推理. 【分析】由题意,正方体的棱的中点与 O 的距离为 2 ,球的半径为 2 ,可得最小截面 的圆的半径,即可求出最小截面的面积. 【解答】解:由题意,正方体的棱的中点与 O 的距离为 2 ,球的半径为 2 , ∴最小截面的圆的半径为 ∴最小截面的面积为 π?22=4π, 故选:B. 12.已知函数 f(x)=ex(x2﹣bx) (b∈R)在区间[ ,2]上存在单调递增区间,则实数 b 的取值范围是( ) C. (﹣ , ) D. ( ,+∞) =2,

A. (﹣∞, ) B. (﹣∞, )

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】利用导函数得到不等式成立问题,然后求解 b 的范围. 【解答】解:∵函数 f(x)在区间[ ,2]上存在单调增区间, ∴函数 f(x)在区间[ ,2]上存在子区间使得不等式 f′(x)>0 成立. f′(x)=ex[x2+(2﹣b)x﹣b], 设 h(x)=x2+(2﹣b)x﹣b,则 h(2)>0 或 h( )>0, 即 4+2(2﹣b)﹣b>0 或 + (2﹣b)﹣b>0, 得 b< . 故选:B 二、填空题: 13.已知复数 z 满足(z﹣1) (2+i)=5i,则| +i|= . 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】首先设复数 z=a+bi,化简等式.求出 a,b.计算模即可. 【解答】解:由已知, (z﹣1) (2+i)=5i, (a+bi﹣1) (2+i)=5i,即[2(a﹣1)﹣b]+(2b+a ﹣1)i=5i,
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所以 所以 z=2+2i, 所以 =2﹣2i, 所以则| +i|= 故答案为:

,解得



=2+i, ;

14.设 a>0,函数 f(x)=

的最小值为 1,则 a= 6 .

【考点】分段函数的应用. 【分析】 时,3﹣sinax≥2 恒成立, 时,函数 f(x)=ax+log3x 是增函数,故 f

( )=1,进而得到答案. 【解答】解:∵ 又∵a>0, ∴ 时,函数 f(x)=ax+log3x 是增函数, 时,3﹣sinax≥2 恒成立,不满足函数的最小值为 1,

∴f( )= ﹣1=1, 解得:a=6, 故答案为:6. 15.观察下列数表: 1 3,5 7,9,11,13 15,17,19,21,23,25,27,29 … 设 999 是该表第 m 行的第 n 个数,则 m+n= 254 . 【考点】归纳推理. 【分析】根据上面数表的数的排列规律,1、3、5、7、9…都是连续奇数,第一行 1 个数, 第二行 2 个数,第三行 4 个数,第四行 8 个数,…第 9 行有 28 个数,分别求出左起第 1 个数 的规律,按照此规律,问题解决. 【解答】解:根据上面数表的数的排列规律,1、3、5、7、9…都是连续奇数, 第一行 1 个数, 第二行 2=21 个数,且第 1 个数是 3=22﹣1 第三行 4=22 个数,且第 1 个数是 7=23﹣1 第四行 8=23 个数,且第 1 个数是 15=24﹣1
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… 第 9 行有 28 个数,且第 1 个数是 29﹣1=511, 所以 999 是第 9 行的第 245 个数,所以 m=9,n=245, 所以 m+n=254; 故答案为:254. 几何证明选讲 16. AB=AC, BE∥MN 交 AC 于点 E. 如图, △ABC 内接于⊙O, 直线 MN 切⊙O 于点 C, 若 AB=6,BC=4,则 AE 的长为 .

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】利用弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质即可得出. 【解答】解:直线 MN 切⊙O 于点 C,∴∠MCB=∠BAC, ∵BE∥MN 交 AC 于点 E,∴∠MCB=∠EBC. ∴△ABC∽△BCE. ∴ ∴ ,∴ . = = .

坐标系与参数方程 17.设直线 l1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极 ,则实数

坐标系得另一直线 l2 的方程为 ρsinθ﹣3ρcosθ+4=0,若直线 l1 与 l2 间的距离为 a 的值为 a=9 或 a=﹣11 .

【考点】直线的参数方程;两条平行直线间的距离. 【分析】先利用直线 l1 的参数方程化为普通方程,再利用直角坐标与极坐标间的关系,进 行代换将直线 l2 的方程化为直角坐标方程.最后利用两平行线的距离公式即可求得实数 a 的值. 【解答】解:将直线 l1 的方程化为普通方程得 3x﹣y+a﹣3=0, 将直线 l2 的方程化为直角坐标方程得 3x﹣y﹣4=0, 由两平行线的距离公式得

? a=9 或 a=﹣11. 故答案为:a=9 或 a=﹣11. 不等式选讲
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18.如果不等式 a﹣|x﹣1|≥|x﹣2|对于 x∈[0,2]恒成立,则实数 a 的取值范围是 (﹣ ∞,3] . 【考点】函数恒成立问题. 【分析】首先分析题目已知不等式|x﹣2|+|x﹣1|≤a 恒成立,求 a 的取值范围,故可以考 虑设 y=|x﹣1|+|x﹣2|,然后分类讨论去绝对值号,求解出函数 y=|x﹣1|+|x﹣2|在[0,2] 最大值. 【解答】解:设 y=|x﹣1|+|x﹣2|, 当 0≤x≤1 时,y=﹣(x﹣2)﹣(x﹣1)=﹣2x+3≥3 当 1<x≤2,y=﹣(x﹣2)+(x﹣1)=1 故 y=|x﹣1|+|x﹣2|有最大值 3. 不等式|x﹣2|+|x﹣1|≥a 恒成立,即 a 小于等于 y=|x﹣1|+|x﹣2|的最大值 3. 故取值范围为(﹣∞,3]. 故答案为(﹣∞,3] 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 19.禽流感是家禽养殖业的最大威胁,为检验某种药物预防禽流感的效果,取 80 只家禽进 行对比试验,得到如下丢失数据的列联表: (其中 c,d,M,N 表示丢失的数据) . 患病 未患病 总计 25 15 40 没服用药 c d 40 服用药 M N 80 总计 工作人员曾记得 3c=d. (1)求出列联表中数据 c,d,M,N 的值; (2)能否在犯错误率不超过 0.005 的前提下认为药物有效? 下面的临界值表供参考:P(K2≥k0) 0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式: K2=\frac{n(ad﹣bc)^{2}}{(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)},其中 n=a+b+c+d) 【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (1)由题意列出方程组,即可求得 c 和 d 的值及 M 和 N 的值; (2)根据列联表中的数据代入求观测值的公式,做出观测值,把所得的观测值 K2 同参考数 据进行比较,当 K2>7.879,即可判断在犯错误率不超过 0.005 的前提下认为药物有效. 【解答】解: (1)由题意可知: ,解得 ;

M=25+10=35,N=15+30=45; 数据 c,d,M,N 的值分别为:10,30,35,45; (2)K2= =11.43>7.879,

∴在犯错误率不超过 0.005 的前提下认为药物有效. 20.已知复数 z=(a+2i) (1﹣bi) ,其中 i 是虚数单位. (1)若 z=5﹣i,求 a,b 的值; (2)若 z 的实部为 2,且 a>0,b>0,求证: + ≥4.

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【考点】复数代数形式的乘除运算;基本不等式. 【分析】 (1)由复数 z=(a+2i) (1﹣bi) ,又 z=5﹣i,根据复数相等的充要条件列出方程组, 求解即可得答案; (2)若 z 的实部为 2,即 a+2b=2,由 a>0,b>0 且 a+2b=2,得到 (a+2b)=1,再由基 本不等式计算即可证得结论. 【解答】解: (1)由复数 z=(a+2i) (1﹣bi) ,又 z=5﹣i, 得(a+2i) (1﹣bi)=(a+2b)+(2﹣ab)i=5﹣i, 则 ,

解得:





证明: (2)若 z 的实部为 2,即 a+2b=2. ∵a>0,b>0 且 a+2b=2, ∴ (a+2b)=1, ∴ + = ( + ) (a+2b) = 当且仅当 ∴ + ≥4. 21.已知函数 f(x)=﹣x3+3ax2﹣4(a∈R) . (1)若 a≠0,求 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在 x=b 处取得极值﹣ ,且 g(x)=f(x)+mx 在[0,2]上单调递减, 求实数 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)若 a≠0,求导数,利用导数的正负求 f(x)的单调区间; (2)利用函数 f(x)在 x=b 处取得极值﹣ ,求出 f(x)的解析式,根据 g(x)=f(x) +mx 在[0,2]上单调递减,利用导数求实数 m 的取值范围. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=﹣x3+3ax2﹣4, ∴f′(x)=﹣3x2+6ax=﹣3x(x﹣2a) , 若 a>0,函数的单调减区间是(﹣∞,0) , (2a,+∞) ,单调增区间是(0,2a) ; a 若<0,函数的单调减区间是(﹣∞,2a) 0 2a 0 ∞ , ( ,+ ) ,单调增区间是( , ) ; (2)由(1)可知,b=2a,f(b)=﹣ ,可得 a= , ∴f(x)=﹣x3+ x2﹣4,
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,即 a=1,b= 时取等号,

∴g(x)=﹣x3+ x2﹣4+mx, 依题意,g′(x)=﹣3x2+(3+m)x≤0 在区间[0,2]上恒成立, x=0 式满足; x≠0 时,3+m≤3x,∴3+m≤0,∴m≤﹣3 ∴m≤﹣3. A[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D,DE⊥AC, 交 AC 的延长线于点 E,OE 交 AD 于点 F. (1)求证:DE 是⊙O 的切线. (2)若 ,求 的值.

【考点】圆的切线方程;与圆有关的比例线段. 【分析】 (I)连接 OD,△AOD 是等腰三角形,结合,∠BAC 的平分线 AD,得到 OD∥AE 可得结论. (II)过 D 作 DH⊥AB 于 H,设 OD=5x,则 AB=10x,OH=2x,∴AH=7x,由△AED≌△ AHD 和△AEF∽△DOF 推出结果. 【解答】 (I)证明:连接 OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ∴OD∥AE 又 AE⊥DE ∴DE⊥OD,又 OD 为半径 ∴DE 是的⊙O 切线 (II)解:过 D 作 DH⊥AB 于 H, 则有∠DOH=∠CAB

设 OD=5x,则 AB=10x,OH=2x,∴AH=7x 由△AED≌△AHD 可得 AE=AH=7x 又由△AEF∽△DOF 可得 ∴

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B[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2, (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 【考点】简单曲线的极坐标方程;相交弦所在直线的方程. 【分析】 (1)先利用三角函数的差角公式展开圆 O2 的极坐标方程的右式,再利用直角坐标 与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得圆 O2 的直角坐标 方程及圆 O1 直角坐标方程. (2)先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程,再利用直角坐标与极坐标间的关系 求出其极坐标方程即可. 【解答】解: (1)ρ=2? ρ2=4,所以 x2+y2=4;因为 所以 , ,所以 x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0. .

(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1. 化为极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ=1,即 .

C[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x﹣a|+a. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)当 a=1 时,f(x)=|2x﹣1|+1≤6,分 2x﹣1≥0 和 2x﹣1<0 两种情况进行分 类讨论,能求出 f(x)≤6 的解集. (2)f(x)=|2x﹣1|+1,令 g(n)=f(n)+f(﹣n) ,利用分类讨论思想能求出实数 m 的 取值范围. 【解答】解: (1)当 a=1 时,f(x)=|2x﹣1|+1≤6, 2x 1 0 当 ﹣ ≥ 时,f(x)=2x﹣1+1≤6, 解得 ≤x≤3; 当 2x﹣1<0 时,f(x)=1﹣2x+1≤6,

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解得﹣2≤x< . 综上,当 a=1 时,不等式 f(x)≤6 的解集为{x|﹣2≤x≤3}. (2)由(1)知 f(x)=|2x﹣1|+1, 令 g(n)=f(n)+f(﹣n) ,

则 g(n)=|2n﹣1|+|2n+1|+2=



∴g(n)的最小值为 4, 故实数 m 的取值范围是[4,+∞) . A[选修 4-1:几何证明选讲] 25. CD 是∠ACB 的平分线, AB=2AC, 如图, 在△ABC 中, △ACD 的外接圆交 BC 于点 E, (1)求证:BE=2AD; (2)求函数 AC=1,BC=2 时,求 AD 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)连接 DE,因为 ACED 是圆的内接四边形,所以△BDE∽△BCA,由此能够证 明 BE=2AD. (2)由条件得 AB=2AC=2,根据割线定理得 BD?BA=BE?BC,即(AB﹣AD)?BA=2AD? (2AD+CE) ,由此能求出 AD. 【解答】 (1)证明:连接 DE, ∵ACED 是圆的内接四边形, ∴∠BDE=∠BCA, ∵∠DBE=∠CBA, ∴△BDE∽△BCA, ∴ ,

∵AB=2AC, ∴BE=2DE. ∵CD 是∠ACB 的平分线, ∴AD=DE, 从而 BE=2AD. (2)解:由条件得 AB=2AC=2, 设 AD=t,根据割线定理得
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BD?BA=BE?BC, ∴(AB﹣AD)?BA=2AD?BC, ∴(2﹣t)×2=2t?2, 解得 t= ,即 AD= .

B[选修 4-4:坐标系与参数方程] 26.在直角坐标系中,以原点 O 为极点,x 轴为正半轴为极轴,建立极坐标系.设曲线 C: (α 为参数) ;直线 l:ρ(cosθ+sinθ)=4. (Ⅰ)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离. 【考点】参数方程化成普通方程;点到直线的距离公式. ρsinθ=y, 【分析】 (Ⅰ) 先根据 sin2α+cos2α=1 消去 α 将 C 转化普通方程, 然后利用 ρcosθ=x, 将 l 转化为直角坐标方程即可; (Ⅱ)先在曲线 C 上任取一点,然后利用点到直线的距离公式建立函数关系,最后利用辅 助角公式求出最值. 【解答】解: (Ⅰ)根据 sin2α+cos2α=1 将 C 转化普通方程为: 利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,将 l 转化为直角坐标方程为:x+y﹣4=0 (Ⅱ)在 d= 它的最大值为 3 . 上任取一点 A( = cosα,sinα) ,则点 A 到直线的距离为 ,

C[选修 4-5:不等式选讲] 27.已知 a,b>0,且 a+b=1,求证: (Ⅰ) + ≥8; ≥8.

(Ⅱ) + +

【考点】不等式的证明. 【分析】 (Ⅰ) 利用 a+b=1, 通过重要不等式以及基本不等式, 推出 ≥8; (Ⅱ)利用 a+b=1,利用 1 的代换,转化 + + 【解答】证明: (Ⅰ)∵ab≤( ∵a+b=1,a=b= ,∴ ∵ + ≥ . 为 + ,利用基本不等式即可求证结果. , 然后证明 +

)2= ,当且仅当 a=b 时等号成立,

≥8,当且仅当 a=b= 时等号成立,
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+

≥8. = + +

(Ⅱ)∵ + + = + + +

=2(a+b) ( + ) =4+2( ≥4+4 =8,当且仅当 a=b= 时等号成立, ∴ + + ≥8. )

A[选修 4-1:几何证明选讲] 28.如图,⊙O 与⊙P 相交于 A、B 两点,点 P 在⊙O 上,⊙O 的弦 BC 切⊙P 于点 B,CP 及其延长线交⊙P 于 D、E 两点,过点 E 作 EF⊥CE 交 CB 的延长线于点 F. (1)求证:PB?CB=CD?EF; (2)若 CP=3,CB=2 ,求△CEF 的面积.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)利用 Rt△CBP 和 Rt△CEF 相似、切割线定理,即可证明结论; (2)求出 CE,EF,可得△CEF 的面积. 【解答】 (1)证明:由题意 Rt△CBP 和 Rt△CEF 相似可得 ∵⊙O 的弦 BC 切⊙P 于点 B,∴CB2=CD?CE,∴ ∴ = , = , .

∴PB?CB=CD?EF; (2)解:设⊙P 的半径为 r,由(1)可得 8=(3﹣r) (3+r) , ∴r=1,∴CE=4 ∵PB= =1,

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∴ ∴EF= ,



∴△CEF 的面积 S=

=2



B[选修 4-4:坐标系与参数方程] 29.极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极 轴. 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ, 曲线 C2 的参数方程是 0≤α<π) ,射线 θ=φ,θ=φ+ (1)求证:|OB|+|OC|= (2)当 φ= ,θ=φ﹣ |OA|; (t 为参数,

(与曲线 C1 交于极点 O 外的三点 A,B,C.

时,B,C 两点在曲线 C2 上,求 m 与 α 的值.

【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)由题意可得:|OA|=4cosφ,|OB|=4cos(φ+ 利用和差公式展开可得|OB|+|OC|= (2)当 φ= C 即可得出. 【解答】 (1) 证明: 由题意可得: |OA|=4cosφ, |OB|=4cos (φ+ ∴|OB|+|OC|=4cos(φ+ ∴|OB|+|OC|= (2)解:当 φ= C . = (x﹣1) ,化为 y=﹣ , |OA|. 时,B ,C .化为直角坐标 B , )+4cos(φ )=8cosφ× = ) , |OC|=4cos (φ ×4cosφ= |OA|. ) , 时,B ,C ×4cosφ,即可证明. .化为直角坐标 B , ) ,|OC|=4cos(φ ) ,

.可得直线 BC 的方程,又曲线 C2 是经过点(m,0) ,且倾斜角为 α 的直线,

∴直线 BC 的方程为:

曲线 C2 是经过点(m,0) ,且倾斜角为 α 的直线, ∴m=2,tanα=﹣ ∴m=2, ,解得 . .

C[选修 4-5:不等式选讲] 30.已知函数 f(x)=m﹣|x﹣1|﹣|x﹣2|,m∈R,且 f(x+1)≥0 的解集为[0,1]. (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c,x,y,z∈R,且 x2+y2+z2=a2+b2+c2=m,求证:ax+by+cz≤1. 【考点】不等式的证明.
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【分析】第(1)问中,分离 m,由|x|+|x﹣1|≥1 确定将 m 分“m<1”与“m≥1”进行讨论; (2)中,可利用重要不等式将 x2+a2 与 ax 联系,y2+b2 与 by 联系,z2+c2 与 cz 联系. 【解答】解: (1)由 f(x+1)≥0 得|x|+|x﹣1|≤m. 若 m<1,∵|x|+|x﹣1|≥1 恒成立,∴不等式|x|+|x﹣1|≤m 的解集为?,不合题意. 若 m≥1,①当 x<0 时,得 ,∴ ;

②当 0≤x≤1 时,得 x+1﹣x≤m,即 m≥1 恒成立; ③当 x>1 时,得 ,∴1 , , ].

综上可知,不等式|x|+|x﹣1|≤m 的解集为[ 由题意知,原不等式的解集为[0,1],



解得 m=1.

(2)证明:∵x2+a2≥2xa,y2+b2≥2yb,z2+c2≥2zc, 以上三式相加,得 x2+y2+z2+a2+b2+c2≥2xa+2yb+2zc. 由题设及(1) ,知 x2+y2+z2=a2+b2+c2=m=1, ∴2≥2(xa+yb+zc) ,即 ax+by+cz≤1,得证.

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2016 年 8 月 21 日

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