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2014-2015学年广东省梅州市梅县东山中学高一(下)期末数学试卷(文科)


2014-2015 学年广东省梅州市梅县东山中学高一(下)期末数学 试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. ) 1.设集合 P={1,2,3,4},Q={x|x ﹣x﹣2<0,x∈R},则 P∩Q=( A. {1,2} B. {3,4} C. {1} 0,1,2} 2.数列 , , , ,…的第 10 项是( A. B. ) C

. D.
2

) D. {﹣2,﹣1,

3.若 a>b>c,则下列不等式成立的是( A. > B. <

) C. ac>bc D. ac<bc

4.在△ABC 中,a=2,b=3,sinA= ,则 cosB 的值是( A. B. C.

) D. ±

5.设 a1=2,数列{1+an}是以 3 为公比的等比数列,则 a4=( A. 80 B. 81 C. 54 6.不在不等式 2x+3y<6 表示的平面区域内的点是( ) A. (0,0) B. (1,1) C. (0,2)

) D. 53

D. (2,0)

7.直线 l1: (3+a)x+4y=5﹣3a 和直线 l2:2x+(5+a)y=8 平行,则 a=( ) A. ﹣7 或﹣1 B. ﹣7 C. 7 或 1 D . ﹣1 8.将函数 y=sin2x 的图象向左平移 式是( )
2

个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析

A. y=2cos x

B. y=2sin x

2

C.

D. y=cos2x

9.已知实数 x,y 满足

,则 z=3x﹣y 的取值范围是(



A. [﹣3,6]

B. [﹣3,12]

C. [﹣6,12]

D. [3,6]

10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地,称图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正 方形数的是( ) A. 289 B. 1024 C. 1225 D. 1378

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) 11. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 4a1, 2a2, a3 成等差数列. 若 a1=1, 则 S4=



12.已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x﹣1 被该圆所截得的弦 长为 ,则圆 C 的标准方程为 . 13.数列{an}的通项公式是 an= ,若前 n 项和为 ,则 n= .

14.若点 P 在直线 l1:x+y+3=0 上,过点 P 的直线 l2 与曲线 C: (x﹣5) +y =16 只有一个 公共点 M,则|PM|的最小值为 .

2

2

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 15.在△ABC 中,a= ,b=3,sinC=2sinA (Ⅰ)求边长 c 的长度; (Ⅱ)求△ABC 的面积.

16.已知函数 f(x)=

(Ⅰ)求 f[f(﹣2)]的值; 2 (Ⅱ)求 f(a +1) (a∈R)的值; (Ⅲ)当﹣4≤x<3 时,求函数 f(x)的值域.

17. (Ⅰ)已知 x>0,y>0,x+2y=1,求 (Ⅱ)已知 a,b∈(0,+∞) ,求证:

的最小值. .

18.设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; an (Ⅱ)若 bn=2 +n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 19.已知直线 l:kx﹣y﹣3k=0 与圆 M:x +y ﹣8x﹣2y+9=0. (1)求证:直线 l 与圆 M 必相交; (2)当圆 M 截直线 l 所得弦长最小时,求 k 的值. 20.已知函数 f(x)=log3(ax+b)的图象经过点 A(2,1)和 B(5,2) ,记 an=3 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,Tn=b1+b2+…+bn,若 Tn<m(m∈Z) ,求 m 的最小值; ) (1+ )…(1+ )≥p 对一切 n∈N 均成立的最大实数 p.
* f(n) 2 2

,n∈N .

*

(Ⅲ)求使不等式(1+

2014-2015 学年广东省梅州市梅县东山中学高一(下)期末数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. ) 2 1.设集合 P={1,2,3,4},Q={x|x ﹣x﹣2<0,x∈R},则 P∩Q=( A. {1,2} B. {3,4} C. {1} 0,1,2}

) D. {﹣2,﹣1,

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出 Q 中不等式的解集确定出 Q,找出 P 与 Q 的交集即可. 解答: 解:由 Q 中不等式变形得: (x﹣2) (x+1)<0, 解得:﹣1<x<2,即 Q=(﹣1,2) , ∵P={1,2,3,4}, ∴P∩Q={1}, 故选:C. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.数列 , , , ,…的第 10 项是( A. B.

) C. D.

考点:数列的概念及简单表示法. 专题:函数的性质及应用. 分析:由数列 , , , ,…可得其通项公式 an= .即可得出. .

解答: 解:由数列 , , , ,…可得其通项公式 an= ∴ = .

故选 C. 点评:得出数列的通项公式是解题的关键. 3.若 a>b>c,则下列不等式成立的是( A. > B. < ) C. ac>bc D. ac<bc

考点:不等关系与不等式. 专题:不等式的解法及应用.

分析:利用不等式的基本性质即可得出. 解答: 解:∵a>b>c,∴a﹣c>b﹣c>0,∴ 故选 B. 点评:熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键. 4.在△ABC 中,a=2,b=3,sinA= ,则 cosB 的值是( A. B. C. .

) D. ±

考点:正弦定理. 专题:解三角形. 分析:根据正弦定理进行求解即可. 解答: 解:∵a=2,b=3,sinA= ,

∴由正弦定理 ∵b>a. ∴B>A=30°. 即 cosB=± =

得 sinB=

=

= ,





故选:D 点评:本题主要考查解三角形的应用,利用正弦定理是解决本题的关键. 5.设 a1=2,数列{1+an}是以 3 为公比的等比数列,则 a4=( A. 80 B. 81 C. 54 ) D. 53

考点:等比数列的性质;数列递推式. 专题:计算题. 分析:先利用数列{1+an}是以 3 为公比的等比数列以及 a1=2,求出数列{1+an}的通项,再把 n=4 代入即可求出结论. 解答: 解:因为数列{1+an}是以 3 为公比的等比数列,且 a1=2 所以其首项为 1+a1=3. n﹣1 n 其通项为:1+an=(1+a1)×3 =3 . 4 当 n=4 时,1+a4=3 =81. ∴a4=80. 故选 A. 点评:本题主要考查等比数列的性质的应用. 解决本题的关键在于利用数列{1+an}是以 3 为 公比的等比数列以及 a1=2,求出数列{1+an}的通项.是对基础知识的考查,属于基础题. 6.不在不等式 2x+3y<6 表示的平面区域内的点是( ) A. (0,0) B. (1,1) C. (0,2)

D. (2,0)

考点:二元一次不等式(组)与平面区域. 专题:计算题. 分析:分别把 A,B,C,D 四个点的坐标代入不等式 2x+3y<6 进行判断,能够求出结果. 解答: 解:把(0,0)代入不等式 2x+3y<6,得 0<6,成立, ∴点 A 在不等式 2x+3y<6 表示的平面区域内; 把(1,1)代入不等式 2x+3y<6,得 5<6,成立, ∴点 B 在不等式 2x+3y<5 表示的平面区域内; 把(0,2)代入不等式 2x+3y<6,得 6<6,不成立, ∴点 C 不在不等式 2x+3y<6 表示的平面区域内; 把(2,0)代入不等式 2x+3y<6,得 4<6,成立, ∴点 D 在不等式 2x+3y<6 表示的平面区域内. 故选 C. 点评:本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的应用,是基础题.解题时要认真审题, 仔细解答. 7.直线 l1: (3+a)x+4y=5﹣3a 和直线 l2:2x+(5+a)y=8 平行,则 a=( ) A. ﹣7 或﹣1 B. ﹣7 C. 7 或 1 D . ﹣1 考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系. 分析:利用直线平行的充要条件:斜率相等、截距不等即可得出. 解答: 解:∵直线 l1: (3+a)x+4y=5﹣3a 和直线 l2:2x+(5+a)y=8 平行, ∴ ,

解得 a=﹣7. 故选:B. 点评:本题考查了直线平行的充要条件,属于基础题.

8.将函数 y=sin2x 的图象向左平移 式是( )
2

个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析

A. y=2cos x

B. y=2sin x

2

C.

D. y=cos2x

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:按照向左平移,再向上平移,推出函数的解析式,即可. 解答: 解:将函数 y=sin2x 的图象向左平移 得到函数 =cos2x 的图象,
2

个单位,

再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 y=1+cos2x=2cos x, 故选 A.

点评:本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查图象变化,是基础题.

9.已知实数 x,y 满足

,则 z=3x﹣y 的取值范围是(



A. [﹣3,6]

B. [﹣3,12]

C. [﹣6,12]

D. [3,6]

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先画出可行域, 再把目标函数变形为直线的斜截式, 根据其在 y 轴上的截距即可求之. 解答: 解:画出可行域,如图所示 解得 B(﹣1,3) 、C(5,3) , 把 z=3x﹣y 变形为 y=3x﹣z,则直线经过点 B 时 z 取得最小值;经过点 C 时 z 取得最大值, 所以 zmin=3×(﹣1)﹣3=﹣6,zmax=3×5﹣3=12, 即 z 的取值范围是[﹣6,12]. 故选:C.

点评:本题考查利用线性规划求函数的最值,是一道基础题. 10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地,称图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正 方形数的是( ) A. 289 B. 1024 C. 1225 D. 1378

考点:数列的应用;归纳推理. 专题:计算题;压轴题;新定义. 分析:根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式, 再根据通项公式的特点排除, 即可求 得结果. 解答: 解:由图形可得三角形数构成的数列通项 同理可得正方形数构成的数列通项 bn=n , 则由 bn=n (n∈N+)可排除 D,又由 与 无正整数解,
2 2





故选 C. 点评:考查学生观察、分析和归纳能力,并能根据归纳的结果解决分析问题,注意对数的特 性的分析,属中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) 11.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则 S4= 15 . 考点:等差数列的性质;等比数列的前 n 项和. 专题:计算题. 2 分析:由题意知 2a2﹣4a1=a3﹣2a2,即 2q﹣4=q ﹣2q,由此可知 q=2,a1=1,a2=2,a3=4, a4=8,于是得到 S41+2+4+8=15. 解答: 解:∵2a2﹣4a1=a3﹣2a2, 2 ∴2q﹣4=q ﹣2q, 2 q ﹣4q+4=0, q=2, ∴a1=1,a2=2,a3=4,a4=8, ∴S4=1+2+4+8=15. 答案:15 点评:本题考查数列的应用,解题时要注意公式的灵活运用. 12.已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x﹣1 被该圆所截得的弦 2 2 长为 ,则圆 C 的标准方程为 (x﹣3) +y =4 . 考点:直线与圆的位置关系. 专题:直线与圆. 分析:利用圆心,半径(圆心和点(1,0)的距离) 、半弦长、弦心距的关系,求出圆心坐 标,然后求出圆 C 的标准方程. 解答: 解:由题意,设圆心坐标为(a,0) ,则由直线 l:y=x﹣1 被该圆所截得 的弦长为 得, ,解得 a=3 或﹣1,

又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3,故圆心坐标为(3,0) , 2 2 又已知圆 C 过点(1,0) ,所以所求圆的半径为 2,故圆 C 的标准方程为(x﹣3) +y =4.

故答案为: (x﹣3) +y =4. 点评:本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解决直线 与圆问题的能力. 13.数列{an}的通项公式是 an= ,若前 n 项和为 ,则 n= 10 .

2

2

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:通过裂项可知 an= ﹣ 论. 解答: 解:∵an= = ﹣ , +…+ ﹣ =1﹣ = , ,并项相加可知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,进而可得结

∴数列{an}的前 n 项和 Sn=1﹣ + ∴当 n=10 时,前 n 项和为 ,

故答案为:10. 点评:本题考查数列的通项,裂项、并项相加是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属 于基础题. 14.若点 P 在直线 l1:x+y+3=0 上,过点 P 的直线 l2 与曲线 C: (x﹣5) +y =16 只有一个 公共点 M,则|PM|的最小值为 4 . 考点:直线与圆的位置关系. 专题:计算题;转化思想. 分析:求出圆心坐标,圆的半径,结合题意,利用圆的到直线的距离,半径,|PM|满足勾股 定理,求出|PM|就是最小值. 解答: 解: : (x﹣5)+y =16 的圆心 (5, 0) , 半径为 4, 则圆心到直线的距离为:
2 2 2 2 2 2

=4



点 P 在直线 l1:x+y+3=0 上,过点 P 的直线 l2 与曲线 C: (x﹣5) +y =16 只有一个公共点 M,则|PM|的最小值: =4.

故答案为:4 点评:本题是基础题,考查点到直线的距离公式,直线与圆的位置关系,勾股定理的应用, 考查计算能力,转化思想的应用. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 15.在△ABC 中,a= ,b=3,sinC=2sinA (Ⅰ)求边长 c 的长度; (Ⅱ)求△ABC 的面积. 考点:余弦定理;正弦定理.

专题:解三角形. 分析: (Ⅰ)由已知及正弦定理即可得解. (Ⅱ)由余弦定理可求 ,从而解得 ,利用三角形面积

公式即可得解. 解答: 解: (Ⅰ)∵sinC=2sinA,由正弦定理可得:c=2a=2× ∴ (6 分) (Ⅱ) ,

=2



∴ ∴

…(9 分) …(12 分)

点评:本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的综合应用,属于基本知识的 考查.

16.已知函数 f(x)=

(Ⅰ)求 f[f(﹣2)]的值; 2 (Ⅱ)求 f(a +1) (a∈R)的值; (Ⅲ)当﹣4≤x<3 时,求函数 f(x)的值域. 考点:函数的值域;函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由题意可得 f(﹣2)=1﹣(﹣4)=5,f[f(﹣2)]=f(5) ,运算求得结果. 2 2 2 (Ⅱ)由题意可得,f(a +1)=4﹣(a +1) ,运算求得结果. (Ⅲ)分①当﹣4≤x<0 时、②当 x=0、③当 0<x<3 时三种情况,分别求出函数的值域, 再取并集,即得所求. 解答: 解: (Ⅰ) 由题意可得 f(﹣2)=1﹣ (﹣4) =5,f[f (﹣2)]=f(5)=4﹣25=﹣21. (5 分) 2 2 2 4 2 (Ⅱ)f(a +1)=4﹣(a +1) =﹣a ﹣2a +3. (10 分) (Ⅲ)①当﹣4≤x<0 时,∵f(x)=1﹣2x,∴1<f(x)≤9. (11 分) ②当 x=0 时,f(0)=2. (12 分) 2 ③当 0<x<3 时,∵f(x)=4﹣x ,∴﹣5<x<4. (14 分) 故当﹣4≤x<3 时,函数 f(x) 的值域是(﹣5,9) . (15 分) 点评:本题主要考查利用分段函数求函数的值以及值域, 体现了分类讨论的数学思想, 属于 基础题.

17. (Ⅰ)已知 x>0,y>0,x+2y=1,求

的最小值.

(Ⅱ)已知 a,b∈(0,+∞) ,求证:



考点:综合法与分析法(选修) ;基本不等式. 专题:证明题. 分析: (I)由题意 可求解; (II)要证不等式成立,只要证 得到要证的不等式成立. 解答: 解: (I)∵x>0,y>0,且 x+y=1, =3 当且仅当 则 = 时取等号. . ,只须证 显然成立, ,也只要证 a+b≥2 , =(x+y) ( )=3+ + ≥3+2 ,即证 a+b≥2 ,而 a+b≥2 显然成立,从而 =(x+2y) ( )=3+ + ,1 代换后直接利用基本不等式即

的最小值 3

(II)要证:

根据基本不等式,而 a+b≥2 故 成立.

点评:(I)本题主要考查了基本不等式的应用,注意 1 的代换在变形中的应用. (II)本题 主要考查用分析法证明不等式, 把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件, 直到使 不等式成立的充分条件显然已经具备为止. 18.设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; an (Ⅱ)若 bn=2 +n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点:数列的求和;等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用等差数列的求和公式 a1=﹣2、d=1,进而可得结论; (Ⅱ)通过 an=n﹣3 可知 bn= ×2 +n,利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, 则 ∵S7=7,S15=75, ,
n

化简 S7=7、S15=75 可知



,即



解得:a1=﹣2,d=1, ∴an=n﹣3; (Ⅱ)∵an=n﹣3, ∴ ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn = = = = . ,

点评:本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中 档题. 19.已知直线 l:kx﹣y﹣3k=0 与圆 M:x +y ﹣8x﹣2y+9=0. (1)求证:直线 l 与圆 M 必相交; (2)当圆 M 截直线 l 所得弦长最小时,求 k 的值. 考点:直线与圆相交的性质. 专题:综合题. 分析: (1)由已知中直线 l:kx﹣y﹣3k=0,我们可得直线必过点 P(3,0) ,代入圆方程 可得点 P 在圆内,由此即可得到答案. (2)根据当圆 M 截直线 l 所得弦长最小时,l 与 MP 垂直,我们根据 M、P 点的坐标,求 出 MP 的斜率,进而即可求出满足条件 的 k 的值. 解答: 解: (1)∵直线 l 恒过点 P(3,0) , 2 2 代入圆的方程可得 x +y ﹣8x﹣2y+9<9, ∴P(3,0)点在圆内; 则直线 l 与圆 M 必相交; (2)圆 M 截直线 l 所得弦长最小时 则 MP 与直线 l 垂直, ∵M 点坐标为(4,1) ,P(3,0) 则 KMP=1 则 k=﹣1 点评:本题考查的知识点是直线与圆相交的性质,其中恒过圆内一点时,直线与圆相交,圆 M 截直线 l 所得弦长最小时,MP 与 l 垂直都是直线与圆问题中经常考查的知识点. 20.已知函数 f(x)=log3(ax+b)的图象经过点 A(2,1)和 B(5,2) ,记 an=3 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
f(n) 2 2

,n∈N .

*

(Ⅱ)设 bn=

,Tn=b1+b2+…+bn,若 Tn<m(m∈Z) ,求 m 的最小值; ) (1+ )…(1+ )≥p 对一切 n∈N 均成立的最大实数 p.
*

(Ⅲ)求使不等式(1+

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)通过将点 A(2,1)和 B(5,2)代入函数 f(x)=log3(ax+b)计算可知 f (x)=log3(2x﹣1) ,进而 an=2n﹣1; (Ⅱ)通过(Ⅰ)可知 bn= 可知 f(n)= = ,利用错位相减法计算可知 Tn=3﹣ ,通过作商

随着 n 的增大而减小,进而可得结论; (1+ ) (1+ )…(1+ )的最小值,通

(Ⅲ)通过变形问题转化为求 F(n)=

过作商可知 F(n)随着 n 的增大而增大,进而可得结论. 解答: 解: (Ⅰ)∵函数 f(x)=log3(ax+b)的图象经过点 A(2,1)和 B(5,2) , ∴log3(2a+b)=1,log3(5a+b)=2, ∴2a+b=3,5a+b=9, 解得:a=2,b=﹣1, ∴f(x)=log3(2x﹣1) , ∴an=3
f(n)

= = +3?

=2n﹣1; ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn= ∴Tn=b1+b2+…+bn=1? Tn=1? +3?

+…+(2n﹣3)? +(2n﹣1)? +…+

+(2n﹣1)? ,



+…+(2n﹣3)? +2( +

两式相减得: Tn=

)﹣(2n﹣1)?

= +2?

﹣(2n﹣1)?

= ﹣

﹣(2n﹣1)?



∴Tn=3﹣



=3﹣





=

= +

≤ + <1(其中 f(n)=

) ,

∴f(n)=

随着 n 的增大而减小, Tn=3,

∴Tn 随着 n 的增大而增大,且 又∵Tn<m(m∈Z) , ∴m 的最小值为 3; (Ⅲ)∵不等式(1+ ∴p≤ 记 F(n)= (1+ ) (1+

)…(1+

)≥p
*

对一切 n∈N 均成立,

*

) (1+ (1+

)…(1+ ) (1+

)对一切 n∈N 均成立, ) ,

)…(1+



=

?(1+

)=

?

=



=1,

∵F(n)>0,∴F(n+1)>F(n) , ∴F(n)随着 n 的增大而增大, ∴F(n)min=F(1)= ∴p≤ , .

,即 p 的最大值为

点评:本题是一道关于数列与不等式的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累, 属于中档题.


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