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应用回归分析试题(一)


y

应用回归分析试题(一)
一、选择题 2 1. 两个变量与 x 的回归模型中,通常用 R 来刻画回归的效果,则正确的 叙述是( D ) 2 2 A. R 越小,残差平方和越小 B. R 越大,残差平方和越大 2 2 C. R 与残差平方和无关 D. R 越小,残差平方和越大 2.下面给出了 4 个残差图,哪个图形表示误差序列是自相关的(B)
e
1 0 2 3 4 5 6 7 8

x

(A)

(B)

(C)

(D)

3.在对两个变量 x , y 进行线性回归分析时,有下列步骤: ①对所求出的回归直线方程作出解释; ②收集数据 ( xi , yi ) i ?,1 ,…, , 2 n; ③求线性回归方程; ④求未知参数; ⑤根据所搜集的数据绘制散点图 如果根据可行性要求能够作出变量 x, y 具有线性相关结论,则在下列操 作中正确的是( D ) A.①②⑤③④ B.③②④⑤① C.②④③①⑤ D.②⑤④③① 4.下列说法中正确的是(B ) A.任何两个变量都具有相关关系 B.人的知识与其年龄具有相关关系 C.散点图中的各点是分散的没有规律 D.根据散点图求得的回归直 线方程都是有意义的

5. 下面的各图中,散点图与相关系数 r 不符合的是(B



二、填空题 1. OLSE 估计量的性质线性、无偏、最小方差。 2. 学习回归分析的目的是对实际问题进行预测和控制。 3. 检验统计量 t 值与 P 值的关系是 P(| t |>| t 值|)=P 值,P 值越小,| t 值| 越 大 ,回归方程越显著。 4. 在一元线性回归中,SST 自由度为 n-1, SSE 自由度为 n-2, SSR 自由 度为 1。
SSR SSE ? 1? 2 SST 。 5. 在多元线性回归中,样本决定系数 R ? SST

三、叙述题 1. 叙述一元线性回归模型中回归方程系数的求解过程及结果(OLSE 法) 答案:定义离差平方和
^ ^

Q ( ? ) ? ? ( yi ? yi ) 2
i ?1
^ ^

n

^

最小二乘思想找出参数 ? 0 , ?1 的估计值 ? 0 , ?1 。使得离差平方和最 小,使 ? 0 , ?1 满足下述条件:
Q ( ? 0 , ?1 ) ? ? ( yi ? ? 0 , ? 1 xi ) 2
i ?1 n ^ ^

? min ? ( yi ? ? 0 ? ?1 xi ) 2
? 0 , ?1
i ?1

n

根据微分中值定理可得:
n ^ ^ ^ ?Q | ? 0? ? 0 ? ?2? ( yi ? ? 0 ? ?1 xi ) ? 0 ?? 0 i ?1 n ^ ^ ^ ?Q | ?1? ? 1 ? ?2? ( yi ? ? 0 ? ?1 xi ) xi ? 0 ??1 i ?1

求解正规方程组得到:

? ^ ? ?^ ?0 ? y? ? 1 x ? n ? ? ? ? ( xi ? x)( yi ? y ) ?^ ? ??1 ? i ?1 n ? ? ( xi ? x) 2 ? ? i ?1 ?

Lxx ? ? ( xi ? x) 2 ? ? xi2 ? n x 2
i ?1 n i ?1

n

?

n

?


?^ ? ???0?y?1x ? ^ L xy ? ?1 ? ??Lx

Lxy ? ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? ? xi yi ? n x y
i ?1 i ?1

?

?

n

? ?

则一元线性回归模型中回归方程系数可表示为

2. 叙述多元线性回归模型的基本假设 答案:假设 1.解释变量 X1 , X 2 ,?, X K 是非随机的 假设 2.E( ? i )=0;
2 假设 3.var( ? i )= ? , i =1,2,……n

cov(

?i ,? j

)=0, i ? j , i, j =1,2,……n;
2

假设 4.解释变量 X1 , X 2 ,?, X K 线性无关; 假设 5. ? i ? N (0, ? ) 3. 回归模型中随机误差项 ? 的意义是什么? 答案: ? 为随机误差项,正是由于随机误差项的引入,才将变量间的关 系描述为一个随机方程,使得我们可以借助随机数学方法研究 y 与 的关系,由于客观经济现象是错综复杂的,一种经济现象很难 用有限个因素来准确说明,随机误差项可以概括表示由于人们的认识以 及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。 4. 在回归分析的应用中,数据时常包括一些异常的观测值,引起异常 值的原因有哪些(至少 5 个)? 答案:引起异常值的原因: (1)数据登记误差,存在抄写或录入误差;
x1 , x2 ,? x p

(2)数据测量误差; (3)数据随机误差; (4)缺少重要自变量; (5)缺少观测数据; (6)存在异方差; (7)模型选用错误,线性模型不适用; 四、证明题 1. 证明 SST=SSR+SSE 证明:
SST ? ? ( yi ? y ) 2 ? ? ( yi ? yi ? yi ? y ) 2
i ?1 i ?1 n ? n ^ ^ ?

? ? ( yi ? y ) 2 ? ? ( yi ? yi ) 2 ? 2? ( yi ? yi )( yi ? y )
i ?1 i ?1 i ?1

n

^

?

n

^

n

^

^

?

又 ? ? ( yi ? yi )( yi ? y ) ? ? ei yi ? ? ei y
i ?1 i ?1 i ?1

n

^

^

?

n

^

n

?

? ? ei ( ? 0 ? ?1 xi ) ? 0
i ?1 ^

n

^

^

? ? 0 ? ei ? ?1 ? xi ei
i ?1 i ?1

n

^

n

?0 ? ? ( yi ? y ) 2 ? ? ( yi ? y ) 2 ? ? ( yi ? yi ) 2
i ?1 i ?1 i ?1 n ? n ^ ? n ^

即SST ? SSR ? SSE

2. 证明: 证明:
^

?2 ?

^

1 SSE 是误差项方差 ? 2 的无偏估计。 n ? p ?1

E (? 2 ) ? E ( ?

n n 1 1 2 2 ei ) ? ? ? E (ei ) n ? p ? 1 i ?1 n ? p ? 1 i ?1

n n 1 1 ( D (ei ) ? E 2 (ei )) ? ? ? D(ei ) n ? p ? 1 i ?1 n ? p ? 1 i ?1

? D (ei ) ? (1 ? hii )? 2 (i ? 1,2,? , n) E (? 2 ) ? ? ?
^ n 1 ? (1 ? hii )? 2 n ? p ? 1 i ?1

?2
n ? p ?1

(n ? ? hii )
i ?1

n

?

2

n ? p ?1

(n ? p ? 1)

?? 2

3. 证明 ? ei ? 0, ? xi ei ? 0
i ?1 i ?1

n

n

答案:

?e ? ?(y
i ?1 i i ?1 n ^ i ?1 n

n

n

i

? yi )
^

^

? ? ( yi ? ? 0 ? ?1 xi ) ? ? yi ? n ? 0 ? ?1 ? xi
i ?1 i ?1 ^ ^ n

? n y ? n ( y ? ?1 x ) ? ?1 n x ?0

?

?

^ ?

^

?

? x e ? ? x (y
i ?1 i i i ?1 i n ^ n i ?1 n

n

n

i

? ? 0 ? ?1 xi )
^ n

^

^

? ? xi yi ? ? 0 ? xi ? ?1 ? xi2
i ?1 i ?1

? ? xi yi ? ( y ? ?1 x)n x ? ?1 ? xi2
i ?1 n i ?1

?

^ ?

?

^

n

? ? xi yi ? n x y ? n x ?1 ? ?1 ? xi2
i ?1 n i ?1

? ?

?2 ^

^

n

? ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? ?1 ? ( xi ? x) 2
i ?1 i ?1

?

?

^

n

?

? Lxy ? ?0

Lxy Lxx

Lxx

参考题: 1. 在回归分析中,代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的 是( B ) A.总偏差平方和 B.残差平方和 C.回归平方和 D.相关指数 R2 2. 下列结论正确的是(C ) ①函数关系是一种确定性关系;②相关关系是一种非确定性关系;③回 归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法;④回归 分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 3. DF 在本门课中的意思是自由度。 4. 一元回归模型的三种检验有 t 检验、 检验、 检验, F R 三者之间等效。



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