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大学文科数学7-2


7.2

偏导数

一、 偏导数的定义及其计算法 二、 全微分 三 、高阶偏导数

一、 偏导数定义及其计算法
定义1. 设函数 z ? f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内极限

存在,则称此极限为函数 z ? f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0

) 对 x 的偏导数,记为
?f ; ? x ( x 0 , y0 )

zx

( x0 , y0 )

;

f1?( x0 , y0 ) .
注意:

f x ( x0 , y0 ) ? lim f ( x0 ? ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 )
? x? 0

?x

同样可定义对 y 的偏导数

f y ( x 0 , y0 )
若函数 z ? f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x, y ) 处对 x 或 y 偏导数存在, 则该偏导数称为偏导函数,也简称 为偏导数,记为

?z ? f , , zy , ?y ?y

f y ( x , y ) , f 2?( x , y )

偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.
根据上述定义,求函数 z ? f ( x, y ) 的偏微商并不需要 新方法,只要把其中一个自变量看作常量,而对另一 个自变量按一元函数微商法求出微商就行了. 例1
y 的偏微商. 求 z ? arctan x

解 求关于 x 的偏微商时,把 y 看作常量,对自变量

x 按一元函数微商法求出微商.
?z ? ?x y ? y ? ? ?? 2 ? ? ? 2 ; 2 2 x ?y ? y? ? x ? 1?? ? ? x? 1

求y 的偏微商时,把 x 看作常量,对自变量 y 求微商.

?z ? ?y

x ?1? ?? ? ? 2 . 2 2 ? y? ? x? x ? y 1?? ? ? x? 1
yz

例2 解



u? x

的偏微商.

?u ?u z y z ?1 yz z ?1 z ?1 y z ?y x ; ? x ln x ? zy ? zy x ln x; ?x ?y ?u yz z z yz ? x ln x ? y ln y ? y x ln x ln y . ?z

例3 求 z ? x 2 ? 3 x y ? y 2 在点(1,2)处的偏导数.

解法1

?z ?z ? 2x ? 3 y , ? 3 x ? 2 y, ?x ?y
?z ? y (1, 2)
2 ? x ?6x?4 y?2

?z ? ? x (1, 2)

.

解法2

z



?z ? x ( 1, 2)



z

2 ? 1 ? 3 y ? y , x ?1

?z ? y ( 1, 2)

.

y 求证 z ? x ( x ? 0, 且 x ? 1 ) , 例4 设

x ?z 1 ?z ? ? 2z y ? x ln x ? y


x ?z 1 ?z ? ? y ? x ln x ? y
例5 求

? 2z
的偏导数 . (P14 例4)



2x ?r ? ? x 2 x2 ? y2 ? z2

x ? , r

?r z ? . ?z r

二元函数偏导数的几何意义:
?f ?x
x ? x0 y? y0

d ? f ( x , y0 ) x ? x0 dx

z ? f ( x0 , y )

z
Tx

z ? f ( x, y 0 )
M0

Ty
y0

是曲线 ?

? z ? f ( x, y) 在点 M0 处的切线 ? y ? y0

M 0Tx 对 x 轴的斜率.
?f ?y
x ? x0 y? y0

o
x0

y

?

d f ( x0 , y ) y ? y0 dy

x

是曲线

在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的斜率.

二、全微分的定义
?z ?z , 定义: 设函数 z = f ( x, y ) 的偏微商 是连续的, ?x ? y ?z ?z dy 分别称为函数 z = f ( x, y ) 关于 x 与 dx , 则把 ?y ?x

y 的偏微分. 而两个偏微分之和
?z ?z dy dx ? ?y ?x

称为函数 z = f ( x, y ) 在点( x, y) 处的全微分,记为

dz 或 df . 即

?z ?z dz ? dx ? dy . ?y ?x

2 2 z ? sin( x ? y ) 的全微分. 例6 求

?z ?z 2 2 解 ? 2 x cos(x ? y ), ? 2 y cos(x 2 ? y 2 ); ?x ?y
全微分为

?z ?z dz ? dx ? dy ? 2 cos(x 2 ? y 2 )( xdx ? ydy). ?x ?y
例7 解 计算函数 的全微分.

d u?

1 y ( cos ? z e y z ) d y 2 2

例8

计算函数

在点(2,1)处的全微分.



?z ?z xy xy ? ye , ?xe ?x ?y
?z 2 ?e , ? x ( 2,1) ?z 2 ? 2e ? y ( 2,1)

注意:函数在某点各偏导数都存在,但在该点不一定连续.

例如,

? xy 2 2 , x ? y ?0 ? 2 2 z ? f ( x, y) ? ? x ? y 2 2 ? 0 , x ? y ?0 ?

显然

?0
?0

在上节已证 f ( x , y ) 在点 ( 0,0) 并不连续!

注:若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点 偏导数 若函数 必存在,但偏导数存在函数不一定可微.
?z ?z 在点 ( x, y ) 连续 , , 的偏导数 ?x ?y

则函数在该点可微分. 下面给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 (2) 偏导数连续 偏导数存在 函数可微

重要内容
1. 微分定义:

d z ? f x ( x, y )d x ? f y ( x, y )d y
2.重要关系:

函数连续 函数可微

函数可导

偏导数连续

三、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
?z ? f x ( x, y) , ?x ?z ? f y ( x, y) ?y

则称它们是 z = f ( x , y ) 若这两个偏导数仍存在偏导数, 的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:
2 ? ? z ? 2z ? ?z ? z ( ) ( )? ? f x x ( x , y ); ? y ? x ? ? f x y ( x, y) ? x ? x ? x2 ?x? y 2 ? 2z ? ?z ? ? z ? z ( )? ? f y x ( x , y ); ( )? ? f y y ( x, y) 2 ? x ? y ? y? x ?y ?y ?y

类似可以定义更高阶的偏导数.
z ? f ( x, y ) 关于 x 的三阶偏导数为 例如,

z ? f ( x, y ) 关于 x 的 n ? 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导

数为

? ( ?y

?nz . )? n ?1 ?x ? y

例5

2 2 2 ? z ? z ? z 3 2 3 设 z ? x y ? 3 xy ? xy ? 1, 求 、 、 2 ?x ?y?x ?x?y

? 2z ? 3z 及 3. 2 ?y ?x



?z ?z 2 2 3 ? 3 x y ? 3 y ? y, ? 2 x 3 y ? 9 xy2 ? x; ?x ?y 2 ?2z ? z 2 2 2 ? 6 xy , ? 6 x y ? 9 y ? 1; 2 ?x ?y?x
?2z ? 6 x 2 y ? 9 y 2 ? 1, ?x?y ?2z 3 ? 2 x ? 18xy; 2 ?y

?3z 2 ? 6 y ?x 3

例6 解

求函数

z ? e x?2 y

?z ? e x?2 y ?x
?2 z ? 2 ?x
? 2z ? ? y? x

? 3z . 的二阶偏导数及 2 ? y? x
?z ? ?y

2 e x?2 y

e x?2 y
2 e x?2 y

? 2z ? 2 e x?2 y ? x? y

?2 z x?2 y 4 e ? 2 ?y

? 3z ? ? 2z ? ( ) 2 ? y? x ? x ? y? x

? 2e

x?2 y

? 2z ? 2z 注意: 此处 ? , 但这一结论并不总成立. ? x? y ? y ? x

例如,

f ( x, y) ?

x2 ? y2 2 2 xy 2 , x ? y ?0 2 x ?y

0,

x2 ? y2

f x ( x, y ) ?

x4 ? 4 x2 y2 ? y4 2 2 y , x ? y ?0 2 2 2 (x ? y )

0,
f y ( x, y) ?

x2 ? y2 ? 0

x4 ? 4 x2 y2 ? y4 2 2 x , x ? y ?0 2 2 2 (x ? y )

0,

x2 ? y2 ? 0

??y f x (0, ? y ) ? f x (0, 0) ? lim lim ? ?1 f x y (0,0) ? ? ? y?0 ? y y ?0 ?y

f y x (0,0) ? lim

f y ( ? x , 0) ? f y (0, 0) ?x

? x ?0

? lim

? x?0

?x ?1 ?x

二 者 不 等

定理 若 f x y ( x,y ) 和 f y x ( x,y ) 都在点( x 0 , y 0 ) 连续 , 则
f x y ( x0 , y0 ) ? f y x ( x0 , y0 ) (证明略)

本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u ? f ( x , y, z ) 当三阶混合偏导数 在点 ( x, y, z ) 连续时, 有

说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,而初等 函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导
数可以选择方便的求导顺序.

内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论 ? 定义; 记号; 几何意义 ? 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 与求导顺序无关 先代后求 先求后代 利用定义 逐次求导法

? 混合偏导数连续
2. 偏导数的计算方法

? 求一点处偏导数的方法 ? 求高阶偏导数的方法

(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)


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