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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1第1课时交集与并集


1.2.2 第1课时

1.2.2 第 1 课时
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集合的运算 交集与并集

【学习要求】 1.理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个简单集合的交 集和并集. 2.能使用 Venn 图表示集合的交集和并集运算结果,体会直观 图对理解抽象概念的作用. 3.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确进行集合的交集与 并集运算.

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【学法指导】
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通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的交集及并集运算, 培养数形结合的思想;体会类比的作用;感受集合作为一种语 言在表示数学内容时的简洁性和准确性.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.交集的定义:一般地,对于两个给定的集合 A,B,由属于
本 课 记作 A∩B,读作“A 交 B”.即 A∩B= {x|x∈A且x∈B} . 时 栏 2.交集的性质:(1)A∩B= B∩A ;(2)A∩A= A ; 目 开 (3)A∩?=?∩A= ? ;(4)如果 A?B,则 A∩B= A . 关

A 又属于 B 的所有元素构成的集合,叫做 A 与 B 的 交集 ,

3.并集的定义:一般地,对于两个给定的集合 A,B,由两 个集合的所有元素构成的集合,叫做 A 与 B 的并集,记作 A∪B,读作“A 并 B”.即 A∪B= {x|x∈A或x∈B} . 4.并集的性质:(1)A∪B= B∪A ;(2)A∪A= A ;(3)A∪?=? ∪A= A ;(4)如果 A?B,则 A∪B= B .

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还可以进行加减 本 [问题情境] 两个实数除了可以比较大小外, 课 时 法运算,如果把集合与实数相类比,我们会想两个集合是 栏 目 否也可以进行“加减”运算呢?本节就来研究这个问题. 开 关

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探究点一 问题 1

交集

你能说出集合 C 与集合 A、B 之间的关系吗?

(1)A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,8},C={3,4,5};
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(2)A={x|x≤3},B={x|x>0},C={x|0<x≤3}; (3)A={x|x 为高一(4)班语文测验优秀者},B={x|x 为高一 (4)班英语测验优秀者},C={x|x 为高一(4)班语文、英语测 验优秀者}.
答 通过观察得出集合 C 由集合 A 和集合 B 中的相同的元素 构成.

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问题 2

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在问题 1 中,我们称集合 C 为集合 A、B 的交集,那
交集的定义:一般地,对于给定的集合 A,B,由属于

么如何定义两个集合的交集?
集合 A 又属于集合 B 的所有元素构成的集合,叫做 A 与 B 的交集,记作 A∩B,读作“A 交 B”.即 A∩B={x|x∈A, 且 x∈B}.

问题 3 如何用集合语言表示直线 l 与⊙O 相交于两点 A,B?
答 l∩⊙O={A,B}
问题 4


对于任意两个集合 A,B,它们的交集有怎样的性质?
A∩B=B∩A, A∩B?A,A∩B?B.

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问题 5

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如何用 Venn 图表示集合 A∩B?
集合 A∩B 为下图所示的阴影部分.

问题 6


A∩B=A 可能成立吗?A∩B=?呢?
都有可能成立.当 A?B 时,A∩B=A 成立;

当集合 A、B 没有共同的元素时,A∩B=?.

研一研·问题探究、课堂更高效 例 1 求下列每对集合的交集:

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(1)A={x|x2+2x-3=0},B={x|x2+4x+3=0}; (2)C={1,3,5,7},D={2,4,6,8}.

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(1)A∩B={1,-3}∩{-1,-3}={-3};

(2)C∩D=?.

小结

两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A

与 B 的公共元素组成的集合, 当两个集合没有公共元素时, 两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集.

跟踪训练 1 设 A={x|x 是奇数}, B={x|x 是偶数}, A∩Z, 求 B∩Z,A∩B.
解 因 A?Z,B?Z, 所以 A∩Z=A,B∩Z=B,A∩B={x|x

是奇数}∩{x|x 是偶数}=?.

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例2

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已知 A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},

求 A∩B.
A∩B={(x,y)|4x+y=6}∩{(x,y)|3x+2y=7} ?4x+y=6 ? ={(x,y)|? }={(1,2)}. ?3x+2y=7 ?

小结

由于集合 A 和 B 都是一个二元一次方程的解集, 集合

A 和 B 的元素是有序实数对, 所以 A 交 B 为二元一次方程组 的解集.
跟踪训练 2 已知 A={x|x 是等腰三角形},B={x|x 是直角三 角形},求 A∩B.



A∩B={x|x 是等腰三角形}∩{x|x 是直角三角形}={x|x

是等腰直角三角形}.

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探究点二 问题 1 并集

1.2.2 第1课时

请同学们考察下列两组集合, 你能说出集合 C 与集合

A,B 之间的关系吗?
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(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6}; (2)A={x|x 是有理数}, B={x|x 是无理数}, C={x|x 是实数}.

答 通过观察,得出集合 A 和集合 B 的元素放在一起即为 集合 C 的元素.
问题 2 在问题 1 中,我们称集合 C 为集合 A,B 的并集,那 么如何定义两个集合的并集?
答 一般地,对于两个给定的集合 A 与 B,由两个集合的 所有元素构成的集合,叫做 A 与 B 的并集,记作 A∪B,读 作“A 并 B”.即 A∩B={x|x∈A 或 x∈B}.

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问题 3

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如何用 Venn 图表示集合 A 与 B 的并集?
集合 A∪B 可用下图(1)或(2)阴影表示.

问题 4

如何用并集运算符号表示问题 1 中 A,B,C 三者之

间的关系?



A∪B=C.

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问题 5

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集合的并集有什么性质?
(1)A∪B=B∪A,(2) A∪A=A;(3)A∪?=?∪A=A;

(4) 如果 A?B,那么 A∪B=B.

问题 6


A∪B=A 可能成立吗? A∪B=?呢?
都有可能成立.当 B?A 时,A∪B=A 成立;

只有当 A=B=?时,A∪B=?.

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例 3


已知 Q={x|x 是有理数},Z={x|x 是整数},P={x|x
Q∪Z={x|x 是有理数}∪{x|x 是整数}

是无理数},求 Q∪Z,Q∪P.
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={x|x 是有理数}=Q;

Q∪P={x|x 是有理数}∪{x|是无理数}={x|x 是实数}.
小结 两个集合的并集仍是一个集合,是由集合 A 与 B 的

所有元素组成的,它们的公共元素在并集中只能出现一 次.对于表示不等式解集的集合的运算,可借助数轴解题.

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1.2.2 第1课时

跟踪训练 3 (1)设 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求 A∪B. (2)设集合 A={x|-1<x<2},集合 B={x|1<x<3},求 A∪B.
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解 (1)A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.
(2)A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}.

还可以在数轴上表示 A∪B,如图.

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探究点三 例4

交集、并集的应用

已知 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},

若 A∪B=A,求实数 a 的值.
解 ∵A={1,2},A∪B=A,
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∴B?A,∴B=?或 B={1}或 B={2}或 B={1,2}. 当 B=?时,Δ<0,a 不存在,



?Δ=0 ? B={1}时,? ?1-a+a-1=0 ?

,∴a=2.

当 当

?Δ=0 ? B={2}时,? ?4-2a+a-1=0 ? ?1+2=a ? B={1,2}时,? ?1×2=a-1 ?

,∴a 不存在.

,∴a=3.

综上所述,a=2 或 a=3.

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小结
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在利用集合的交集、并集性质解题时,若条件中出现

A∪B=A,或 A∩B=B,解答时常转化为 B?A,然后用集 合间的关系解决问题,运算时要考虑 B=?的情况,切记不 可漏掉.

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跟踪训练 4

设集合 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x

+a2-1=0,a∈R},若 A∩B=B,求 a 的值.
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解 由题意得 A={-4,0},因为 A∩B=B,所以 B?A.
当 B=?时,即关于 x 的方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 无实 数解,则 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得 a<-1.
当 B≠?时,若集合 B 中仅含一个元素,则 Δ=4(a+1)2- 4(a2-1)=0,解得 a=-1,此时,B={x|x2=0}={0}?A, 即 a=-1 符合题意.
若集合 B 含有两个元素,则这两个元素是-4,0,

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即关于 x 的方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 的解是-4,0,
?-4+0=-2?a+1?, ? 则有? ?-4×0=a2-1, ?

解得 a=1,

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则 a=1 符合题意.
综上所述,a=1 或 a≤-1.

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{1,2,4,6} 1.已知集合 A={1,2,4},B={2,4,6},则 A∪B=________.
本 课 解析 A∪B 是由 A,B 的所有元素组成的. 时 栏 A∪B={1,2,4,6}. 目 开 2.设集合 A={y|y=x2,x∈R},B={(x, y)|y=x+2,x∈R}, 则 关

A∩B=________. ?
解析 由于集合 A 表示的是数集,集合 B 表示的是点集,因 此没有公共元素,故答案为?.

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3.设 A={x|x>0},B={x|x≤1},求 A∩B 和 A∪B.
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解 A∩B ={x|x>0}∩{x|x≤1}={x|0<x≤1},

A∪B={x|x>0}∪{x|x≤1}=R.

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1.对并集、交集概念全方面的感悟
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(1)对于并集,要注意其中“或”的意义,“或”与通常所 说的“非此即彼”有原则性的区别,它们是“相容”的. “x∈A,或 x∈B”这一条件,包括下列三种情况:x∈A 但 x?B;x∈B 但 x?A;x∈A 且 x∈B.因此,A∪B 是由所 有至少属于 A、B 两者之一的元素组成的集合. (2)A∩B 中的元素是“所有”属于集合 A 且属于集合 B 的 元素,而不是部分,特别地,当集合 A 和集合 B 没有公共 元素时,不能说 A 与 B 没有交集,而是 A∩B=?.

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2.集合的交、并运算中的注意事项 (1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的“交”、
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“并”定义求解,但要注意集合元素的互异性. (2)对于元素个数无限的集合,进行交、并运算时,可借助 数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值是否取到.


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