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§3.4 定积分


§ 3.4

定积分

1. 用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、 近似 代替、求和、取极限. 2.定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间上
n

任取一点 ξi(i=1,2,?,n),作和式∑ f(

ξi)Δx.当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个 =
i 1

常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 ?b af(x)dx. 3.定积分的运算性质
b (1)?b akf(x)dx=k?af(x)dx (k 为常数). b (2)?b f2(x)]dx=?b ?a f2(x)dx. a[f1(x)± af1(x)dx± c b (3)?b af(x)dx=?af(x)dx+?c f(x)dx (a<c<b).

4.微积分基本定理
b 一般地, 如果 f(x)是区间[a, b]上的连续函数, 并且 F′(x)=f(x), 那么 ?a f(x)dx=F(b)-F(a). 这

个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把 F(b)-F(a)记为 F(x)|b a,即
b ?b af(x)dx=F(x)|a=F(b)-F(a).

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
b (1)设函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,则 ?b √ af(x)dx=?af(t)dt.(

)

b (2)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,则 ?a f(x)dx>0.( √ )

(3)若 ?b 那么由 y=f(x), x=a, x=b 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方. ( × ) af(x)dx<0,
a (4)若 f(x)是偶函数,则 ?a √ -af(x)dx=2?0f(x)dx.(

)

(5)若 f(x)是奇函数,则 ?a √ ) -af(x)dx=0.(
2 (6)曲线 y=x2 与 y=x 所围成的面积是 ?1 ) 0(x -x)dx.( ×

x 1.(2014· 陕西)定积分 ?1 0(2x+e )dx 的值为(

)

A.e+2 C.e

B.e+1 D.e-1

答案 C
x 2 x 1 解析 ?1 0(2x+e )dx=(x +e )|0=e.故选 C.

2.(2013· 湖北)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t + 25 (t 的单位: s, v 的单位: m/s)行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位: m)是( 1+t 11 B.8+25ln 3 D.4+50ln2 )

A.1+25ln5 C.4+25ln5 答案 C

8 解析 令 v(t)=0 得 t=4 或 t=- (舍去), 3
4 ∴汽车行驶距离 s=?0 (7-3t+

25 )dt 1+t

3 =(7t- t2+25ln(1+t))|4 0 2 =28-24+25ln5=4+25ln5.
2 3.(2013· 湖南)若 ?T 0 x dx=9,则常数 T 的值为________.

答案 3 1 1 T 2 3 解析 ?0 x dx= x3|T 0 = ×T =9. 3 3 ∴T3=27,∴T=3. 4.由 y=cosx 及 x 轴围成的介于 0 与 2π 之间的平面图形的面积,利用定积分应表达为 ________________________________________________________________________. 答案

?

π 2 0

cos xdx ? ? cos xdx ? ?3π cos xdx
2

3π 2 π 2



解析 如图: 阴影部分的面积为

S ? ? 2 cos xdx ? ?π2 cos xdx ? ?3π cos xdx.
0 2 2

π





题型一 定积分的计算 例1
2 ? x∈[0,1], ?x , ? (1)设 f(x)= 则 ?2 0f(x)dx 等于( ?2-x,x∈?1,2], ?

)

3 A. 4 5 C. 6

4 B. 5 D.不存在 )

π m 2 (2)若定积分 ?- 2 -x -2xdx= ,则 m 等于( 4 A.-1B.0C.1D.2 答案 (1)C (2)A
1 2 2 解析 (1)如图,?2 0f(x)dx=?0x dx+?1(2-x)dx

1 2 2 1 = x3|1 +?2x-2x ? ?|1 3 0 ? 1 5 1 4-2-2+ ?= . = +? 2? 6 3 ?
2 2 (2)根据定积分的几何意义知,定积分 ?m -2 -x -2xdx 的值就是函数 y= -x -2x的图象与 x

轴及直线 x=-2, x=m 所围成图形的面积, y= -x2-2x是一个圆心为(-1,0)半径为 1 的半 π π 1 2 圆,其面积等于 ,而 ?m -2 -x -2xdx= ,即在区间[-2,m]上该函数图象应为 个圆,于是 2 4 4 得 m=-1,故选 A. 思维升华 (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积

分,再利用微积分基本定理求解; (2)对函数图象和与圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解.
1 (1)(2014· 江西)若 f(x)=x2+2?1 0f(x)dx,则 ?0f(x)dx 等于(

)

A.-1 1 C. 3

1 B.- 3 D.1

?lgx,x>0, ? (2)设 f(x)=? 若 f(f(1))=1,则 a=________. a 2 ? ?x+?03x dx,x≤0,

答案 (1)B (2)1 解析 (1)∵f(x)=x2+2?1 0f(x)dx, 1 3 1 1 ∴?1 0f(x)dx=( x +2x?0f(x)dx)|0 3 1 = +2?1 0f(x)dx, 3 1 ∴?1 0f(x)dx=- . 3 (2)由题意得 f(1)=lg1=0,
2 3a 3 ∴f(f(1))=f(0)=0+?a 03x dx=x |0=a =1,∴a=1.

题型二 利用定积分求曲边梯形的面积 例 2 如图所示,求由抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(0,-3)和点 B(3,0)处的切线所围成的图形的面积. 解 由题意, 知抛物线 y=-x2+4x-3 在点 A 处的切线斜率是 k1=y′|x
=0

=4,在点 B 处的切线斜率是 k2=y′|x=3=-2.因此,抛物线过点 A 的

切线方程为 y=4x-3,过点 B 的切线方程为 y=-2x+6.
? ?y=4x-3, 设两切线相交于点 M,由? ? ?y=-2x+6,

3 3 消去 y,得 x= ,即点 M 的横坐标为 . 2 2 3? 在区间? ?0,2?上, 曲线 y=4x-3 在曲线 y=-x2+4x-3 的上方; 3 ? 在区间? ?2,3?上, 曲线 y=-2x+6 在曲线 y=-x2+4x-3 的上方. 因此,所求的图形的面积是

S=? 2 [(4x-3)-(-x 2+4x-3)]dx+?3 [(-2x+6)-(-x 2+4x-3)]dx
0 2

3

3

=? 2 x 2dx+?3 ( x 2-6x+9)dx
0 2

3

3

1 3 1 2 = x3 |0 +( x3-3x 2+9x) |3 3 3 3 2
9 9 9 = + = . 8 8 4 思维升华 对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大致图形,然后根据图形特 点,选择相应的积分变量及被积函数,并确定被积区间. (1)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围 成的面积为( 2π A. 5 3 C. 2 ) 4 B. 3 π D. 2 )

π (2)由曲线 y=sinx,y=cosx 与直线 x=0,x= 所围成的平面图形的面积是( 2 A.1 π B. 4

2 2 C. 3 答案 (1)B (2)D

D.2 2-2

解析 (1)根据 f(x)的图象可设 f(x)=a(x+1)· (x-1)(a<0). 因为 f(x)的图象过(0,1)点,所以-a=1, 即 a=-1. 所以 f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2.
2 1 2 所以 S=?1 -1(1-x )dx=2?0(1-x )dx

1 =2(x- x3)|1 3 0 1 4 =2(1- )= . 3 3 π π (2)由 sinx=cosx(x∈(0, )),解得 x= .故图中阴影部分的面积 2 4

S=? 4 (cosx-sinx)dx+?π2 (sinx-cosx)dx
0 4 π π 4 2 =(sinx+cosx) |0 +(-cosx-sinx) | π 4

π

π

π π π π π π =sin +cos -cos0+[(-cos -sin )-(-cos -sin )] 4 4 2 2 4 4 =2 2-2.(本题也可利用图形的对称性求解) 题型三 定积分在物理中的应用 例 3 (1)一物体在变力 F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与 F(x)成 30° 方向 作直线运动,则由 x=1 运动到 x=2 时 F(x)做的功为( A. 3J 4 3 C. J 3 2 3 B. J 3 D.2 3J )

1 (2)一物体做变速直线运动,其 v-t 曲线如图所示,则该物体在 s~ 2 6s 间的运动路程为__________. 49 答案 (1)C (2) 4
2 解析 (1)?2 dx=?2 1F(x)×cos30° 1(5-x )×

3 dx 2

1 3 =??5x- x3?× ?错误!=错误!错误!, 3 ? ? 2? ?

4 ∴F(x)做的功为 3J. 3 2t, 0≤t≤1, ? ?2,1≤t≤3, (2)由题图可知,v(t)=? t+1,3≤t≤6. ?1 ? 3 1 因此该物体在 s~6s 间运动的路程为 2
6 1 3 6 1 s=?1 v ? t ? dt=?1 2tdt+? 2dt+? ( t ? 1)dt 1 3 3 2 2

1 2 49 3 6 =t 2 |1 ? m ?. 1 +2t |1 +( t +t )|3 = 6 4 2
思维升华 定积分在物理中的两个应用: (1)变速直线运动的位移:如果变速直线运动物体的速度为 v=v(t),那么从时刻 t=a 到 t=b 所经过的路程 s=?b av(t)dt. (2)变力做功:一物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同方向从 x=a 移动到 x=b 时,力 F(x)所做的功是 W=?b aF(x)dx. 设变力 F(x)作用在质点 M 上,使 M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10,已知 F(x) =x2+1 且和 x 轴正向相同,则变力 F(x)对质点 M 所做的功为____________________. 答案 342 解析 变力 F(x)=x2+1 使质点 M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10 所做的功为
10 2 W=?10 1 F(x)dx=?1 (x +1)dx

1 10 =( x3+x)|1 =342, 3 即变力 F(x)对质点 M 所做的功为 342.

函数思想、数形结合思想在定积分中的应用 典例:(12 分)在区间[0,1]上给定曲线 y=x2.试在此区间内确定点 t 的值, 使图中阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最小,并求最小值. 思维点拨 (1)题目要求是求 S1 与 S2 之和最小,所以要先构造 S=S1+ S2 的函数,利用函数思想求解.(2)S1、S2 的面积只能通过定积分求解, 要搞清面积与定积分的关系. 规范解答 解 S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y=x2 与 x 轴、直线 x=t 所围成的面积,

2 即 S1=t· t2-?t0x2dx= t3.[2 分] 3 S2 的面积等于曲线 y=x2 与 x 轴,x=t,x=1 围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别为 t2,1 -t, 2 1 即 S2=?t1x2dx-t2(1-t)= t3-t2+ .[4 分] 3 3 所以阴影部分的面积 4 1 S=S1+S2= t3-t2+ (0≤t≤1).[6 分] 3 3 1? 令 S′(t)=4t2-2t=4t? ?t-2?=0, 1 得 t=0 或 t= .[8 分] 2 1 1 1 2 t=0 时,S= ;t= 时,S= ;t=1 时,S= .[10 分] 3 2 4 3 1 1 所以当 t= 时,S 最小,且最小值为 .[12 分] 2 4 温馨提醒 (1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题,也不是直接求函数的最小值问题,而是 先利用定积分求出面积的和,然后利用导数的知识求面积和的最小值,难点在于把用导数求 函数最小值的问题置于先求定积分的题境中,突出考查知识的迁移能力和导数的应用意识. (2)本题易错点:一是缺乏函数的意识;二是不能正确选择被积区间.

方法与技巧 1.求定积分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下: ①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x); ②计算 F(b) -F(a). (3)利用定积分的几何意义求定积分 2.求曲边多边形面积的步骤: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分. 3.利用定积分可解决物理中的变力做功,变速运动的位移等问题. 失误与防范

1.被积函数若含有绝对值号,应先去绝对值号,再分段积分. 2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负. 5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分,可使面积的求解变得简捷.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.若

?

π 2 0

(sinx-acosx)dx=2 ,则实数 a 等于(

)

A.-1B.1C.- 3D. 3 答案 A 解析

?

π 2 0

2 (sin x ? a cos x)dx ? (? cos x ? a sin x) |0

π

=-a+1=2,a=-1. 2.(2014· 山东)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A.2 2B.4 2C.2D.4 答案 D 解析 令 4x=x3,解得 x=0 或 x=± 2,
3 ∴S=?2 0(4x-x )dx=错误!错误!=8-4=4,故选 D.

)

3.图中阴影部分的面积是(

)

A.16 C.20 答案 B

B.18 D.22

2 3 y2? ? ?y +4y-y ?|4 解析 S=?4 d y = -2 y+4- 2? 6 ? -2=18. ? ?2

?2x+1,x∈[-2,2], ? 40 4.已知 f(x)=? 若 ?3 ,则 k 的值为( k f(x)dx= 2 3 ? ?1+x ,x∈[2,4].

)

A.0 C.0 或 1 答案 B

B.0 或-1 D.-1

22 40 3 2 解析 ∵?3 < , 2f(x)dx=?2(1+x )dx= 3 3
3 ∴当 k≥2 时,?k f(x)dx<

40 ,∴k<2, 3

40 2 3 2 2 ∴?3 k f(x)dx=?k (2x+1)dx+?2(x +1)dx= ,化简得 k +k=0,解得 k=0 或 k=-1. 3
2 21 2 x 5.若 S1=?2 1x dx,S2=?1 dx,S3=?1e dx,则 S1,S2,S3 的大小关系为( x

)

A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1 答案 B

B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1

1 8 1 7 2 2 2 解析 方法一 S1= x3|2 S =lnx|1 =ln2<lne=1, S3=ex|2 1= - = , 1=e -e≈2.7 -2.7=4.59, 3 3 3 3 2 所以 S2<S1<S3. 1 方法二 S1,S2,S3 分别表示曲线 y=x2.y= ,y=ex 与直线 x=1,x=2 及 x 轴围成的图形的 x 面积,通过作图易知 S2<S1<S3.
x 6.?1 0(e +x)dx=________.

1 答案 e- 2 1 2 1 1 1 x x 解析 ?1 0(e +x)dx=(e + x )|0=e+ -1=e- . 2 2 2 π π 7.由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为________. 3 3 答案 3

解析 所求面积=

?

π 3 π ? 3

π

cos xdx=sinx | 3 π
? 3

π π =sin -(-sin )= 3. 3 3 8.若函数 f(x)在 R 上可导,f(x)=x3+x2f′(1),则 ?2 0f(x)dx=________. 答案 -4 解析 因为 f(x)=x3+x2f′(1), 所以 f′(x)=3x2+2xf′(1). 所以 f′(1)=3+2f′(1),解得 f′(1)=-3. 所以 f(x)=x3-3x2.

x4 3 2 2 3 2 故 ?2 0f(x)dx=?0(x -3x )dx=( -x )|0=-4. 4 1 9.求曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3

?y= x, 解 由? 得交点 A(1,1); ?y=2-x
y=2-x, ? ? 由? 得交点 B(3,-1). 1 y=- x ? 3 ?

? x+1x?dx+?3 ?2-x+1x?dx 故所求面积 S=?1 0 1 3 ? 3 ? ? ?
2 3 1 1 2 3 =( x 2 + x 2 )|1 x )|1 0 +(2 x ? 3 6 3
2 1 4 13 = + + = . 3 6 3 6 10.汽车以 54km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等加速度-3 m/s2 刹车,问 从开始刹车到停车,汽车走了多远? 解 由题意,得 v0=54km/h=15 m/s. 所以 v(t)=v0+at=15-3t. 令 v(t)=0,得 15-3t=0.解得 t=5. 所以开始刹车 5s 后,汽车停车. 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 3 2? 5 5 ? s=?5 0v(t)dt=?0(15-3t)dt= 15t-2t |0 ? ? =37.5(m).故汽车走了 37.5m. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.已知 A.0 C.8 答案 D
2 A=?3 0|x -1|dx,则

A 等于( B.6 22 D. 3

)

解析

1 3 1 1 3 1 2 22 2 1 2 3 2 3 A=?3 , 0|x -1|dx=?0(1-x )dx+?1 (x -1)dx=(x- x )|0+( x -x)|1=(1- )+(6+ )= 3 3 3 3 3

故选 D. 1 12.已知 f(x)=ex,x∈R,a<b,记 A=f(b)-f(a),B= (b-a)(f(a)+f(b)),则 A,B 的大小关 2 系是( A.A>B C.A<B 答案 C 解析 A 为 f(x)=ex 在[a,b]上的定积分,即曲边梯形 MNPQ 的面积,B 为梯形 MNPQ 的面 积,由图可知 A<B. ) B.A≥B D.A≤B

2 2 13.已知 f(a)=?1 0(2ax -a x)dx,则函数 f(a)的最大值为________.

答案 解析

2 9 2 3 1 2 2 1 1 2 2 2 2 f(a)=?1 0 (2ax - a x)dx= ( ax - a x )|0 =- a + a ,由二次函数的性质可得 f(a)max= 3 2 2 3

2 -? ?2 3 2 = . 1 9 4×?- ? 2 t,0≤t≤20, ? ? 14.作变速直线运动的质点的速度是 v(t)=?20,20<t≤80, ? ?100-t,80<t≤100. (1)该质点从 t=10 到 t=30 时所经过的路程是________m; (2)该质点从开始运动到结束运动共经过________m. 答案 (1)350 (2)1600
20 30 解析 (1)s1=?30 10v(t)dt=?10tdt+?2020dt

(单位:m/s)



1 2?20 ?30 t 2 ?10+20t?20=350.

100 20 100 (2)s2=?0 v(t)dt=?0 tdt+?80 2020dt+?80 (100-t)dt

=1600. 15.如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积相 等的两部分,求 k 的值.

解 抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1, 所以,抛物线与 x 轴所围图形的面积 x2 1 3 ?1 1 2 ? - x? S=?1 ( x - x )d x = 0 2 3 ?0=6.
2 ? ?y=x-x , ? 又由 得,抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x3=0,x4=1-k, ?y=kx, ?

1-k 2 1 3 ?1-k S -k 所以, =?1 (x-x2-kx)dx= ? x- x? 0 2 0 2 3 ? 1 = (1-k)3. 6 1 1 又知 S= ,所以(1-k)3= , 6 2

于是 k=1-

3 3 1 4 =1- . 2 2


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