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微积分练习题及解析


练习题 1、 质量为 2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动, 已知其 x 轴上的坐标为 x=3+5cos2t, y 轴上的坐标为 y=-4+5sin2t, t 为时间物理量,问: ⑴物体的速度是多少?

dx ? x(t ) ' ? ?10sin(2t ) dt dy Vy ? ? y (t ) ' ? 10 cos(2t ) dt Vx ?



V ? Vx 2 ? Vy 2 ? 10
⑵物体所受的合外力是多少?

( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 52
运动轨迹是圆,半径为 5,所以是做匀速圆周运动

F?

mv 2 2*100 ? ? 40 N r 5

⑶该物体做什么样的运动? 匀速圆周运动 ⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗? 圆心(3,4),半径 5 2、一质点在某水平力 F 的作用下做直线运动,该力做功 W 与位移 x 的关系为 W=3x-2x ,试问当位移 x 为多少时 F 变 为零。
2

F?

dW ? 3 ? 4 x ,所以当 x=3/4 时,F=0 dx
KQ 2, r

3、已知在距离点电荷 Q 为 r 处A点的场强大小为 E= 请验证A点处的电势公式为:U = KQ 。 r

规定无穷远处电势为零,A 处的电势即为把单位正电荷缓慢的从无穷远处移到 A 点所做的功 我们认为在 r 变化 dr 时,库仑力 F 是不变的,

kQq ? dr r2 W r kQq dr 所以 ? dW ? ? ? 0 ? r2 ? 1 即 q? ? kQq ? 2 dr r r 1 ? kQ 所以 ? ? ?kQ |r ? r r
则 dW ? ? F ? dr ? ?

4、某复合材料制成的一细杆 OP 长为 L,其质量分布不均匀。在杆上距离 O 端点为 x 处取点 A,令 M 为细杆上 OA 段 dM L 2 的质量。已知 M 为 x 的函数,函数关系为 M=kx ,现定义线密度ρ = ,问当 x= 处 B 点的线密度为何? dx 2

dM ? 2kx dx L ? x ? , ? ? kL 2

??

1 -5 5、某弹簧振子的总能量为 2×10 J,当振动物体离开平衡位置 振幅处,其势能 EP=,动能 Ek=。 2 首先推导弹簧的弹性势能公式,设弹簧劲度系数为 k,伸长量为 x 时的势能为 E(x) 弹簧所具有的弹性势能即为将弹簧从原长拉长 x 时所做的功

dW ? F ? dx ? kx ? dx

? ? dW ? ? kx ? dx
0 0

W

x

? E ( x) ?

kx 2 2

1 1 ?6 ?5 所以在距平衡位置 振幅处的弹性势能为总能量的 ,即 Ep ? 5*10 J , Ek ? 1.5*10 J 2 4

6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上,试问,用电压 U 对电容 为 C 的电容器充电,电容器存储的电能为何?开始时电容器存放的电荷量为零。

? dEq ? dQ ? U Q Q dQ 0 C ?0 1 Q2 1 ? Eq ? ? CU 2 2 C 2 ? ? dEq ?
Eq

7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为 R 的电阻,导轨宽度为 L,整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中, 磁场的磁感应强度为 B。有一导体棒 ab 垂直轨杆并停放在导轨上,导体棒与导轨有良好的接触。在 t=0 时刻,给导

体棒一水平向左的初速度 V0,若其他电阻不计,则 ⑴求导体棒的速度 v 随时间 t 的函数表达式;

B 2 L2 v F B 2 L2 v ,a ? ? R m mR 2 2 B Lv dv ? ? a ? dt ? ? dt mR v 1 B 2 L2 t dv ? ? dt ?v0 v mR ?0 v B 2 L2t ? ln ? ? v0 mR F? ? v ? v0 e
? B 2 L2t mR

⑵求导体棒从开始运动到停下为止,其滑行的总位移 S;

ds ? v ? dt ? v0e ? ? ds ? v0 ? e
0 0 s ?

?

B 2 L2t mR
2 2

? dt

?

B Lt mR

dt

mR ? B L t ? ? s ? ?v0 2 2 e mR |0 B L mR ? s ? v0 2 2 B L
⑶求导体棒在运动过程中产生的感应电流 I 随时间 t 的函数关系;
Lt BLv BLv0 ? BmR I? ? e R R
2 2

2 2

⑷求全过程中流过导体棒的总电荷 Q。

dQ ? I ? dt ? ? ? dQ ?
Q

BL vdt R

BL ? vdt 0 R ?0 mv BL ?Q ? s? 0 R BL
从这里可以看出安培力的冲量特点

dI ? BL ? dQ


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