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广东版(第01期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编:专题12 概率和统计(解析版)


一.基础题组 1. 【广东省惠州市 2013 届高三第一次模拟考试 (理) 设随机变量 ? 服从正态分布 N (3, 4) , 】


P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) ,则 a ? (
A. 3 B.

) D.

5 3

C. 5

/>7 3

2.【广东省十校 2014 届高三第一次质检(理) 】学校为了解学生在课外读物方面的支出情
况,抽取了 n 个同学进行调查,结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单 位:元) ,其中 支出在 ? 30,50 ? (单位:元)的同学有 67 人,其频率分布直方图如右图所示,则 n 的值为 ( ) A.100 B.120 C.130 D.390

【答案】A 【解析】

试题分析:支出在 ? 30,50 ? 的同学的频率为 1 ? (0.01 ? 0.023) ?10 ? 0.67 ,n ? 考点:频率分布直方图.

67 ? 100 . 0.67

3.【广东省东莞市 2013 届高三模拟考试一(理) 】为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛,
老师将两人最近的 6 次数学测试的分数进行统计, 甲乙两人的得分情况如茎叶图所示, 若甲 乙两人的平均成绩分别是 x甲 , x乙 ,则下列说法正确的是( A. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛 B. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 C. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 D. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛 )

4.【广东省十校 2014 届高三第一次联考(理) 】在区间 [?5,5] 内随机地取出一个数 a ,使得
1?{x | 2 x2 ? ax ? a 2 ? 0} 的概率为
【答案】 【解析】 .

3 10

? ? 试题分析:由 1?{x | 2 x ? ax ? a ? 0} ,得 a ? a ? 2? 0?? 1 a 2 ,所以所求概率为
2 2

2

3 . 10

考点:几何概型.

5.【广东省湛江市 2014 届高三菩提高考调研考试(理) 】已知离散型随机变量 X 的分布列
为:

1 a 且 E ? X ? ? 1.5 ,则 a ? b ?

X P

2 b
.

3 0.1

6.【广东省惠州市 2014 届高三年级第一次调研考试(理) 】右图是某高三学生进入高中
三年来第 1 次到 14 次 的数学考试成绩茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 .

7 8 9 10 11

9 638 3988415 31 4

二.能力题组 1.【广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考(理) 】从如图所示的正方形 OABC 区域内任取
一个点 M ( x, y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为( A. ) D.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

1 6

2.【广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考(理) 】从某地高中男生中随机抽取 100 名同
学,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直方图(如图) .由图中数据可知体重 的平均值为 kg;若要从体重在[ 60 , 70) ,[70 ,80) , [80 , 90]三组内的男生中,用分层

抽样的方法选取 12 人参加一项活动, 再从这 12 人选两人当正负队长, 则这两人身高不在同 一组内的概率为 .

【答案】64.5, 【解析】

2 . 3

试题分析:由频率分布直方图可知,体重在 ? 40,50 ? 内的男生人数为 0.005 ?10 ?100 ? 5 , 同理体重在 ?50, 60 ? 、 70 ? 、 ?60, ?70,80 ?、80,90 ? 内的人数分别为 35、30、20、10,所以体 ? 重的平均值为

3.【广东省韶关市 2014 届高三摸底考试(理) 】某班数学Ⅰ测试的卷面成绩从高到低依次
为 a1 、 a 2 、? a 50 , 小兵设计了一个程序框图 (如图) 计算并输出本次测试卷面成绩最高的前 30 名学生的平均 , 分 a .图中, 语句(1)是 ,语句(2)是 .

4.【广东省佛山市南海区 2014 届高三 8 月质检(理) 】如右下图所示, EFGH 是以 O 为
圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将一粒豆子随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落 在正方形 EFGH 内”, B 表示事件“豆子落在扇形 OHE (阴影部分)内”,则

P( B | A) ?



5.【广东省广州市越秀区 2014 届高三上学期摸底考试(理) 】在区间 [0, 2] 上随机取一
个数 a ,在区间 [0, 4] 上随机取一个数 b ,则关于 x 的方程 x ? 2ax ? b
2

? 0 有实根的概率是

.

? 2 ,总事件所构成的区域为一个矩形,底边长为 2 ,高为 4 ,其面积 S ? 2 ? 4 ? 8 ,故事
件 A 发生的概率为 P ? A? ?

SA 2 1 ? ? . S 8 4

考点:1.一元二次方程根的个数的判断;2.几何概型

6.【广东省东莞市 2013 届高三模拟考试一(理) 】某学生在参加政、史、地三门课程的学
业水平考试中, 取得 A 等级的概率分别为 该生取得 A 等 级的课程数,其分布列如表所示,则数学期望 E? 的值为______________.

4 3 2 、 、 ,且三门课程的成绩是否取得 A 等级相互独立.记 ? 为 5 5 5

?
P

0
6 125

1

2

3
24 125

a

b

三.拔高题组 1.【广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考(理) 】乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员
间进行,比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获 胜的可能性相同. (1)求甲以 4 比 1 获胜的概率; (2)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率; (3)求比赛局数的分布列.

(3)设比赛的局数位 X,则 X 的可能取值为 4,5,6,7.

………………8 分

1 1 1 1 4 1 3 1 P( X ? 4) ? 2C4 ( ) 4 ? , P( X ? 5) ? 2C4 ( )3 ? )4?3 ? ? , ( 2 8 2 2 2 4 1 1 5 1 1 5 3 1 3 1 P( X ? 6) ? 2C5 ( )3 ? )5?3 ? ? , P( X ? 7) ? 2C6 ( )3 ? )6?3 ? ? ,………………11 ( ( 2 2 2 16 2 2 2 16
分 比赛局数的分布列为 X P 4 5 6 7

1 8

1 4

5 16

5 16

考点:1.概率;2.概率分布列.

2.【广东省惠州市 2013 届高三第一次模拟考试(理) 】在某校高三学生的数学校本课程选
课过程中,规定每位同学只能选一个科目.已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择 科目甲或科目乙,情况如下表: 科目甲 第一小组 1 5 科目乙 6 总计

第二小组 总计

2 3

4 9

6 12

现从第一小组、第二小组中各任选 2 人分析选课情况. (1)求选出的 4 人均选科目乙的概率; (2)设 ? 为选出的 4 个人中选科目甲的人数,求 ? 的分布列和数学期望.

P(? ? 0) ?

4 , 15

P(? ? 1) ?

2 1 1 1 2 1 1 C 5 C 2C 4 C 5 C 4 22 C5 1 ? 2 ? 2? 2 ? , P(? ? 3) ? 2 ? 2 ? , 2 C6 C6 C 6 C 6 45 C 6 C 6 45

P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ?

2 …9分 9

? 的分布列为 ?
P
0
4 15

1

2

3
1 45
…………12 分

22 2 45 9 4 22 2 1 ∴ ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 1 15 45 9 45

考点:1.独立事件的概率;2.离散型随机变量的期望和分布列.

3.【广东省韶关市 2014 届高三摸底考试(理) 】某高校在 2011 年自主招生考试成绩中随机
抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85),第 3 组[85,

90),第 4 组[90,95),第 5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2)若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试. ① 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组, 求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率; ② 学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官的面试,设第 4 组中有 X 名学生被 考官面试,求 X 的分布列和数学期望.

4.【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检(理) 】为了了解某班的男女生学习体育的情
况,按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生作为样本,他们期末体育成绩的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数。 (1)若该班男女生平均分数相等,求 x 的值; (2) 若规定 85 分以上为优秀, 在该 10 名男生中随机抽取 2 名, 优秀的人数记为 ? , ? 的 求 分布列和数学期望.

女生 2 8 7 4 4 6 7 8 9

男生 0 9 x 0 8 1 2 8 2 4

P(? ? 2) ?


C62 1 ? , 2 C10 3

---------------------------10

?
P
∴ E (? ) ?
3

0

1

2

2 15
2 8 1
i i

8 15
6


1 3

? ? ?P ? 0 ? 15 ? 1? 15 ? 2 ? 3 ? 5
i ?1

答: ? 的数学期望为

6 . 5

-------------------------12 分.

考点:随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念.

5.【广东省十校 2014 届高三第一次联考(理) 】PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微
米的颗粒物,也称为可 入肺颗粒物。我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立方米 之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 某试点城市环保局从该市市区 2011 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 15 天 的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)

(1)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,求恰有一天空气质量达到一级 的概率; (2)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的 分布列; (3)以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 360 天计算)中 平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

6.【广东省珠海市 2014 届高三 9 月摸底考试(理) 】某大学一个专业团队为某专业大学生
研究了多款学习软件,其中有 A、B、C 三种软件投入使用,经一学年使用后,团队调查了 这个专业大一四个班的使用情况,从各班抽取的样本人数如下表 班级 人数 一 3 二 2 三 3 四 4

(1)从这 12 人中随机抽取 2 人,求这 2 人恰好来自同一班级的概率. (2)从这 12 名学生中,指定甲、乙、丙三人为代表,已知他们下午自习时间每人选择 A、 B 两个软件学习的概率每个都是

1 ,且他们选择 A、B、C 任一款软件都是相互独立的.设这 6

三名学生中下午自习时间选软件 C 的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

? 的分布列如下

?
P

0
1 27

1

2

3
8 27

2 9

4 9

? 的期望是 E? ? 0 ?

1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2. 27 9 9 27

考点:1.古典概型;2.排列组合;3.随机变量的分布列及其数学期望.

7.【广东省广州市越秀区 2014 届高三上学期摸底考试(理) 】某超市为了解顾客的购物量
及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 50 位顾客的相关数据,如下 表所示: 一次购物量 n (件) 1≤n≤3 顾客数(人) 4≤n≤6 20 1 7≤n≤9 10 1.5 10≤n≤12 5 2 n≥13

x

y
2.5

结算时间 (分钟/人) 0.5

已知这 50 位顾客中一次购物量少于 10 件的顾客占 80%. (1)确定 x 与 y 的值; (2)若将频率视为概率,求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (3)在(2)的条件下,若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算 相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过 2 分钟的概率. ...

所以 X 的分布列为

X
P

0.5 0.2

1 0.4

1.5 0.2

2 0.1

2.5 0.1

X 的数学期望为 EX ? 0.5 ? 0.2 ? 1? 0.4 ? 1.5 ? 0.2 ? 2 ? 0.1 ? 2.5 ? 0.1 ? 1.25 .

8.【广东省东莞市 2013 届高三模拟考试一(理) 】甲、乙两运动员进行射击训练,已知他
们击中目标的环数都稳定在 7、8、9、10 环,且每次射击成绩互不影响,射击环数的频率分 布表如下:

若将频率视为概率,回答下列问题: (1)求表中 x,y,z 的值及甲运动员击中 10 环的概率; (2)求甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上(含 9 环)的概率; (3)若甲运动员射击 2 次,乙运动员射击 1 次, ? 表示这 3 次射击中击中 9 环以上(含 9 环)的次数,求 ? 的分布列及 E? . 【答案】 (1)0.35;(2)0.992;(3)2.35,分布列如下: ξ P 0 0.01 1 0.11 2 0.4 3 0. 48

所以 ξ 的分布列是 ξ 0 0.01 1 0.11 2 0.4 3 0. 48 …………12 分

E 0 ? 2? ? ? ? ? 3 2 0 1 ? 0 ?? . . 01 0 0 35 . 11 . 4 . 48

?

P

考点:1.随机变量概率分布列和数学期望的计算;2.互斥事件的概率;3.相互独立事件的概 率.

9.【广东省珠海一中等六校 2014 届高三第一次联考(理) 】甲乙丙三人商量周末去玩,甲
提议去市中心逛 街,乙提议去城郊觅秋,丙表示随意.最终,商定以抛硬币的方式决定结果.规则是:由丙抛 掷硬币若干次, 若正面朝上则甲得一分乙得零分,反面朝上则乙得一分甲得零分,先得 4 分者获胜,三人均 执行胜者的提

议.记所需抛币次数为 ? . (1)求 ? =6 的概率; (2)求 ? 的分布列和期望.

故随机变量 ? 分布列如下表所示:

?
P

4

5

6

7

1 8

1 4

5 16

5 16
……………………10 分 ………………………12 分

∴ E? ? 4 ?

1 1 5 5 93 ? 5? ? 6? ? 7 ? ? 8 4 16 16 16

考点:1.超几何分布;2.离散型随机变量的分布列与数学期望

10.【广东省湛江市 2014 届高三普通高考调研考试(理) 】某种品牌的啤酒开展促销活动,
期间销售的啤酒瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有 “再来一瓶”字样即为中奖,中奖概率为

1 ,甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料. 6

(1)求三位同学都没有中奖的概率; (2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.

1 ? P A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ? 1?
考点:1.独立事件的概率;2.对立事件

?

?

2 25 . ? 27 27

11.【广东省惠州市 2014 届高三年级第一次调研考试(理) 】某社团组织 50 名志愿者利用
周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是:1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风;2、到 指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择 了不同的活动项目,相关的数据如下表所示: 宣传慰问 20 至 40 岁 大于 40 岁 11 15 义工 16 8 总计 27 23

总计

26

24

50

(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取 6 名,年龄大于 40 岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的 6 名志愿者中任取 2 名,求选到的志愿者年龄大于 40 岁的人数的数学期望.

则 p (? ? 0) ?

0 2 C2 C4 2 C 1C 1 8 C2 1 ? , p (? ? 1) ? 2 2 4 ? , p (? ? 2) ? 2 ? C62 5 C6 15 C62 15

………8 分

∴ ? 的分布列为

?
P

0

1
8 15

2
1 15
………10 分

2 5
2 5 8 1 2 ? 2? ? 15 15 3



? 的数学期望为 E? ? 0 ? ? 1?

………12 分

考点:1.分层抽样;2.数学期望.


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