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4 9.4直线与平面位置关系


9.4 直线与平面的位置关系 知识梳理
一、直线与平面的位置关系 位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 公共点 符号表示 a?α A∩α =A 图形表示

垂 直

直线 到平 面的 距离 平面的斜 线

一条直线和一个平面平行, 这条直线上到 .的距离叫做这条直线到这 个平面的距离 一条直线和一个平面相交, 但,这条直线叫做这个平面 的斜线.

直线与平面平行

a//α

【注意】直线在平面外包括直线与平面相交或平行两种情况,用符号表示为 a?α 二、空间直线与平面位置关系的主要概念和定理 形式 如果一条直线和一个平面.称这条直 线和这个平面平行. 如果.一条直线和.的一条直线平 行,那么这条直线和这个平面平行. 如果一条直线和一个平面平行,经 过这条直线的平面和这个平面相 交,那么.和.平行。 内容 符号表示 a//α a//b,a?α , b?α ?a//α l//α ,l?β , α ∩β =m?l//m

直线和平 平面的一条斜线和它平面上 面所成角 的射影所成的 .角叫做 这条直线和这个平面所成的 角,一条直线垂直于平面, 它所成的角是 . 如果一条直 线和平面平行或在平面内, 他们所成的角是.

直 线 与 平 面 平 行

定义 判定 定理 性质 定理

基础自测 1.若直线 a//b,且 a⊥α ,则( ) A.b//α B.b⊥α C.b∈α D.无正确答案 2.下列命题中: 1 平行于同一平面的两条直线平行; ○ 2 一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线与这个平面平行; ○ 3 垂直于同一平面的两条直线平行 ○ ; 4 一个平面经过两条平行直线中的一条,则另一条直线与这个平面垂直; ○ 5 如果平面外有两个点到这个平面的距离相等,则过这两点的直线与这个平面平行; ○ 6 两个平行直线与同一平面所成角相等. ○ 真命题的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.若 a//b,b?α ,则直线 a 与平面α 的位置关系是. 4.若一条直线和一个平面垂直,则这条直线和这个平面内条直线垂直. 5.一条直线和一个平面所成角θ的取值范围是. 6.过平面外一点做该平面的垂线有条,垂面有个,平行线有条,平行平面有个。

定义

内容 如果一条直线和一个平面内 的垂直,那么这条直线和这 个平面互相垂直. 如果一条直线和一个平面内 的垂直,那么这条直线垂直 于这个平面. 如果两条平行直线中的一条 垂直于另一个平面,那么另 一条 也这个平面. 同一个平面的两条直线平 行. 从平面外一点引一个平面的 垂涎,这点 和间的距离叫做这点到这个 平面的距离.

图形

符号表示 a⊥α ,垂足为 A

判定 定理 1 推论

l⊥a,l⊥b, a∩b=A, a?α ,b?α ?l⊥α a//b;a⊥α ?b⊥α

典型例题
题型一直线与平面平行 例1. 如果 m//平面α ,则 m 平行α 内的( )

A.无数条相交的直线 a⊥α ,b⊥α ?a//b C.任意一条直线

B.无数条相互平行的直线 D.唯一确定的一条直线

直 线 与 平 面

性质 定理 点到 平面 的距 离

例 2.已知如图所示,OA⊥平行四边形 ABCD 所在的平面,P、Q 分别是 AB、OC 的中点. 求证:PQ//平面 OAD

巩固练习
1、“直线 l//平面α ”是“直线 l 在平面外”的( A.充分而不必要条件 C.必要条件 题型二 直线与平面垂直 2、给出下列命题:
1 垂直于同一直线的两条直线平行 ○ 2 垂直于同一直线的两个平面平行 ○ 3 垂直于同一平面的两条直线平行 ○ 4 垂直于同一平面的两个平面平行 ○



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

例 3.已知下列 5 个命题:
1 垂直于同一直线的两条直线平行; ○ 2 垂直于同一直线的两个平面平行; ○ 3 垂直于同一平面的两条直线平行; ○ 4 一条直线垂直于平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面; ○ 5 过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直. ○

其中真命题是:(
1 ○ 2 A.○ 2 ○ 3 B.○


1 ○ 4 C.○ 3 ○ 4 D.○

其中,正确命题的序号是(
1 ○ 3 ○ 4 A.○ 1 ○ 2 ○ 3 B.○


2 ○ 3 ○ 5 C.○ 2 ○ 4 ○ 5 D.○

3、下列说法正确的个数为(



(1)如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与平面内的任意一条直线平行. (2)如果一条直线与一个平面相交,呢么这条直线与平面内的无数条直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一条直线与平面平行. (4)一条直线上有两点到一个平面距离相等,则这条直线平行于这个平面. A.0 个 B.1 个 C.2 个 ) D.3 个

例 4.已知:空间四边形 ABCD,AB=AC,DB=DC,求证:BC⊥AD 图 例 5.如图所示,已知 ABCD 是正方形,SA⊥平面 ABCD,过点 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB、SC、SD 与 E、F、G 求证:AE⊥平面 SBC 图 题型三直线和平面所成的角 例 6.如图所示,直角△ABC 的斜边 AB 在平面α 内,AC 及 BC 与面α 所成角分别是 30°和 45°,CD 是斜 边 AB 上的高,求 CD 与平面α 所成的角. 图

4、下列命题正确的是(

A.过平面外一点做这个平面的垂直平面是唯一的 B.过直线外一点做这个平面的垂线是唯一的 C.过平面的一条斜线做这个平面的垂直平面是唯一的 D.过直线外一点做这条直线的平行平面是唯一的 5、下列四种说法;
1 一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线和这个平面垂直 ○ 2 经过一点和一条已知直线垂直的直线都在同一平面内; ○ 3 一个平面内不可能有直线与这个平面的一条斜线垂直; ○ 4 如果直线α //平面α ○

不正确的是(
2 A.○ 1 ○ 3 B.○


1 ○ 2 ○ 3 C.○ 1 ○ 3 ○ 4 D.○

6、若 a,b 表示直线,α 表示平面,则以下命题

1 若 a//b,b?α ,则 a//α ○ 2 若 a//α ,b//α ,则 a//b ○ 3 若 a//b,b//α ,则 a//α ○ 4 若 a//α ,b?,则 a//b ○

其中正确命题的个数是( A.0 个 B.1 个

) C.2 个 D.3 个 )

7、若直线 a、b 是平面α 的两条斜线,则“a、b 与α 所成的角相等”是“a//b”的( A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

8、如果直线 a、b 是异面直线,过空间任意一点,作与 a、b 都平行的平面,则( A.只能做一个 B.只能做两个 C.不存在 D.不存在或只能作一个

9、在直角三角 ABC,∠C=90°,CE⊥平面 ABC,已知 AC=3,BC=4,CE=1,D 是 AB 中点,求 ED 与平面 ABC 所成角的正切值. 10、已知正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中,E,F,G 分别为棱 AB,BC,B1 的中点. 求证:BD1 ⊥平面 EFG 图 11、如图所示,在正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中,E,F 分别是 BB1 ,DC 的中点.(1)求 AE 与D1 F 所成的角; (2)证明:AE⊥平面A1 D1 F 图 12.已知空间四边形 ABCD 的各边及对角线相等,求 AC 与平面 BCD 所成角的余弦值. 图



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