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2012届高考数学二轮复习课件:专题2


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金太阳新课

标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! 1.导数的概念及其几何意义 . (1)了解导数概念的实际背景. 了解导数概念的实际背景. 了解导数概念的实际背景 (2)理解导数的几何意义. 理解导数的几何意义. 理解导数的几何意义

2.导数的运算 (1)能根据导数的定义,求函数y=c,y=x,y=x3,y 1 = ,y=x2,y= x的导数. x (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于 形如f(ax+b)的导数).
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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! 3.导数在研究函数中的应用 . (1)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过 了解函数单调性和导数的关系; 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性, 三次的多项式函数的单调区间. 三次的多项式函数的单调区间. (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 多项式函数的极大值、极小值,会求在闭区间上不超过三次的多项式的最大 多项式函数的极大值、极小值, 最小值. 值、最小值.

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! 4.生活中的优化问题 . 会利用导数解决某些实际问题. 会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 理) .定积分与微积分基本定理(理 (1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 了解定积分的实际背景, 了解定积分的实际背景 了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. (2)了解微积分基本定理的含义. 了解微积分基本定理的含义. 了解微积分基本定理的含义

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! 本部分内容在高考中所占分数大约在10%左右.导数及其应用在高考中的题型分 左右. 本部分内容在高考中所占分数大约在 左右 布大致是一个选择或填空,一个解答题,分值约17~ 分 布大致是一个选择或填空,一个解答题,分值约 ~19分,属于高考重点考 查内容.具体考查体现在: 查内容.具体考查体现在: (1)简单函数求导,它是解决导数问题的第一步,应熟记导数基本公式,导数四 简单函数求导, 简单函数求导 它是解决导数问题的第一步,应熟记导数基本公式, 则运算法则和复合函数求导法则. 则运算法则和复合函数求导法则.

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! (2)求曲线的切线方程,切线斜率的一类问题,包括曲线的切点问题.这类问题 求曲线的切线方程,切线斜率的一类问题,包括曲线的切点问题. 求曲线的切线方程 是导数几何意义的运用,拓宽了解析几何的解题思路, 是导数几何意义的运用,拓宽了解析几何的解题思路,凸显了数形结合的数 学思想方法. 学思想方法. (3)应用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题.这类问题往往通过对 应用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题. 应用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题 函数求导转化为解不等式问题.此处大多以考查含参二次不等式(组 为主 为主. 函数求导转化为解不等式问题.此处大多以考查含参二次不等式 组)为主 (4)应用导数求函数的极值、最值和值域问题.这类问题与函数单调性有着必然 应用导数求函数的极值、 应用导数求函数的极值 最值和值域问题. 联系,解决这类问题可借助单调性列表(或画函数示意图 求解. 或画函数示意图)求解 联系,解决这类问题可借助单调性列表 或画函数示意图 求解.

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! (5)不等式恒成立问题.这类问题是近几年高考的热点.一类是求参数取值范围, 不等式恒成立问题.这类问题是近几年高考的热点.一类是求参数取值范围, 不等式恒成立问题 它是函数、导数与不等式的综合问题.另一类是证明不等式. 它是函数、导数与不等式的综合问题.另一类是证明不等式.它对综合分析 和运用的能力要求较高. 和运用的能力要求较高. (6)(理)对定积分部分的考查以利用微积分基本定理求定积分和曲边平面图形面积 理 对定积分部分的考查以利用微积分基本定理求定积分和曲边平面图形面积 为主,高考出题较少,一般是一个小题,只对理科学生有要求. 为主,高考出题较少,一般是一个小题,只对理科学生有要求.

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1.导数的定义 f(x+?x)-f(x) ?y f ′(x)=lim lim . ?x→0 ?x=?x→0 ?x
2.导数的几何意义 . (1)函数 =f(x)在x=x0处的导数f ′(x0)就是曲线 =f(x)在点 0,f(x0))处的切线的 函数y= 在 = 处的导数 就是曲线y= 在点 在点(x 函数 就是曲线 处的切线的 斜率, 斜率,即k=f ′(x0). = . (2)曲线 =f(x)在点 0,f(x0))处的切线方程为 -f(x0)=f ′(x0)(x-x0). 曲线y= 在点 在点(x 处的切线方程为y- 曲线 处的切线方程为 = - .

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3.导数的计算 (1)基本初等函数的导数公式 ①c′=0(c为常数); ③(sinx)′=cosx; ②(xm)′=mxm 1;


④(cosx)′=-sinx;

⑤(ex)′=ex; ⑥(ax)′=axlna; 1 ⑦(lnx)′= ; x 1 ⑧(logax)′=- . xlna

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(2)导数的四则运算法则 ①[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); ②[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); f′(x)g(x)-f(x)g′(x) f(x) ③[ ]′= . 2 g(x) g (x) ④(理)(f(u))′=f′(u)·φ′(x)=af′(ax+b)

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4.函数的性质与导数 . 在区间(a, 内 如果f 在区间(a, 上单调递增 上单调递增. 在区间 ,b)内,如果 ′(x)>0,那么函数 在区间 ,b)上单调递增. ,那么函数f(x)在区间 在区间(a, 内 如果f 在区间(a, 上单调递减 上单调递减. 在区间 ,b)内,如果 ′(x)<0,那么函数 在区间 ,b)上单调递减. ,那么函数f(x)在区间

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! 5.导数的应用 . (1)求可导函数 极值的步骤 求可导函数f(x)极值的步骤 求可导函数 求导数f ①求导数 ′(x); ; 求方程f 的根; ②求方程 ′(x)=0的根; = 的根 ③检验f ′(x)在方程 ′(x)=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧 检验 在方程f = 的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正, 在方程 的根的左右的符号 附近为负,那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为 附近为负,那么函数 = 在这个根处取得极大值; 在这个根处取得极大值 负,右侧附近为正,那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值. 右侧附近为正,那么函数 = 在这个根处取得极小值. 在这个根处取得极小值

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(2)求函数 在区间 ,b]上的最大值与最小值的步骤 求函数f(x)在区间 求函数 在区间[a, 上的最大值与最小值的步骤 ①求f ′(x); ; 求方程f 的根(注意取舍 ②求方程 ′(x)=0的根 注意取舍 ; = 的根 注意取舍); ③求出各极值各区间端点处的函数值; 求出各极值各区间端点处的函数值; 比较其大小,得结论(最大的就是最大值 最小的就是最小值). 最大的就是最大值, ④比较其大小,得结论 最大的就是最大值,最小的就是最小值 .

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! (3)利用导数解决优化问题的步骤 利用导数解决优化问题的步骤 审题设未知数; 结合题意列出函数关系式; 确定函数的定义域; ①审题设未知数;②结合题意列出函数关系式;③确定函数的定义域;④在定义 域内求极值、最值; 下结论. 域内求极值、最值;⑤下结论. (4)定积分在几何中的应用 理) 定积分在几何中的应用(理 定积分在几何中的应用 被积函数为y= ,由曲线y= 与直线 与直线x= , = 被积函数为 =f(x),由曲线 =f(x)与直线 =a,x=b(a<b)和y=0所围成的曲边 和 = 所围成的曲边 梯形的面积为S. 梯形的面积为

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?bf(x)dx; ①当f(x)>0时,S=? ?a ?bf(x)dx; ②当f(x)<0时,S=-? ?a

③当x∈[a,c]时,f(x)>0;当x∈[c,b]时,f(x)<0,
?cf(x)dx-?bf(x)dx. 则S=? ? ?a ?c

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[例1]

b 设函数f(x)=ax- ,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处 x

的切线方程为7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和 直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
[分析 (1)利用 =f(x)在点 ,f(2))处的切线方程建立 和b之间的关系式,即可 分析] 利用y= 在点(2, 处的切线方程建立a和 之间的关系式, 分析 利用 在点 处的切线方程建立 之间的关系式 求出f(x)的解析式. 求出 的解析式. 的解析式 (2)先求出过任一点 0,y0)的切线方程,然后求解. 先求出过任一点P(x 的切线方程, 先求出过任一点 的切线方程 然后求解.

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[解析]

7 (1)方程7x-4y-12=0可化为y=4x-3.

1 当x=2时,y= 2. b 1 ? ?2a-2=2, b 又f′(x)=a+ 2 ,于是 ? x ?a+b=7, 4 4 ?
?a=1, ? ? ?b=3. ?

,解得

3 故f(x)=x- . x
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3 (2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+ 2 x 知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为 3 y-y0=(1+ 2)(x-x0), x0 3 3 即y-(x0- )=(1+ 2)(x-x0). x0 x0 6 ,从而得切线与直线x=0的交点坐 令x=0得y=- x0 6 标为(0,- ). x0
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令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交 点坐标为(2x0,2x0). 所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围 1 6 成的三角形面积为2|- ||2x0|=6. x0 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y =x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.

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[评析 (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”,还是“过某点的切 评析] 解决此类问题一定要分清“ 评析 解决此类问题一定要分清 在某点处的切线” 还是“ 线”. (2)解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标解决. 解决“ 解决 过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标解决.

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1 (文)(2011·宁波模拟)已知曲线y= . x (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程; (2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程; 1 (3)求满足斜率为- 的曲线的切线方程. 3

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[解析]

1 (1)∵y′=- 2. x

又P(1,1)是曲线上的点, ∴P是切点,所求切线的斜率为k=f′(1)=-1. 所以曲线在P点处的切线方程为y-1=-(x-1). 即y=-x+2.

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1 (2)显然Q(1,0)不在曲线y= 上,则可设过该点的切线 x 1 1 的切点为A(a, ),则该切线斜率为k1=f′(a)=- 2. a a 1 1 则切线方程为y- =- 2(x-a).① a a 1 1 将Q(1,0)代入方程①得0- =- 2(1-a), a a 1 解得a=2, 故所求切线方程为y=-4x+4.

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1 1 (3)设切点坐标为A(a, ),则切线的斜率为k2=- 2 a a 1 =-3,解得a=± 3, 3 3 ∴A( 3, )或A′(- 3,- ). 3 3 代入点斜式方程得 3 1 3 1 y- 3 =-3(x- 3)或y+ 3 =-3(x+ 3). 即切线方程为x+3y-2 3=0或x+3y+2 3=0.

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[评析 (1)在点 处的切线即是以 为切点的切线,P一定在曲线上. 评析] 在点P处的切线即是以 为切点的切线, 一定在曲线上 一定在曲线上. 评析 在点 处的切线即是以P为切点的切线 (2)过点 的切线即切线过点 ,Q不一定是切点,所以本题的易错点是把点 作 过点Q的切线即切线过点 不一定是切点, 过点 的切线即切线过点Q, 不一定是切点 所以本题的易错点是把点Q作 为切点.求过点P的切线方程时 首先是检验点P是否在已知曲线上 的切线方程时, 是否在已知曲线上. 为切点.求过点 的切线方程时,首先是检验点 是否在已知曲线上.

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4 (理)已知点P在曲线y= x 上,α为曲线在点P处的 e +1 切线的倾斜角,则α的取值范围是(
? π? A. ?0, 4? ? ? ?π 3π? C.? , ? 4? ?2

)
?π π? B.?4 ,2? ? ? ?3π ? D.? ,π? ?4 ?

[答案] D

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[解析]

4 y= x , e +1

-4·ex 4ex 4 ∴y′= x =- , 2=- 2x x 1 (e +1) e +2e +1 x e + x+2 e 1 ∵e + x≥2,∴-1≤y′<0, e
x

3π 由导数的几何意义知 4 ≤α<π,故选D.

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[例2] (文)(2011·北京文,18)已知函数 =(x-k)ex. 例 北京文, 已知函数 已知函数f(x)= - 文 北京文 (1)求f(x)的单调区间; 的单调区间; 求 的单调区间 (2)求f(x)在区间 在区间[0,1]上的最小值. 上的最小值. 求 在区间 上的最小值 [分析 依据导数的符号来判断函数的单调性,再由单调性求最值. 分析] 分析 依据导数的符号来判断函数的单调性,再由单调性求最值.

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[解析 (1)f′(x)=(x-k+1)ex 解析] 解析 = - + 令f′(x)=0,得x=k-1. = , = - f(x)与f′(x)随x的变化情况如下: 的变化情况如下: 与 随 的变化情况如下 x f′(x) ′ f(x) 所以,f(x)的单调递减区间是 -∞,k-1); 所以, 的单调递减区间是(- - ; 的单调递减区间是 单调递增区间是(k- ,+ , ,+∞ 单调递增区间是 -1,+∞), (-∞,k-1) - - - ?
- -ex-1

k-1 - 0

(k-1,+∞) - ,+ ,+∞ + ?

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(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数 在[0,1]上单调递增,所以 在区间 当 - 上单调递增, 在区间[0,1]上的最 , 时 函数f(x)在 上单调递增 所以f(x)在区间 上的最 小值为f(0)=- ; 小值为 =-k; =- 当0<k-1<1,即1<k<2时, - , 时 上单调递减, 上单调递增, 在区间[0,1] 由(1)知f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以 在区间 知 在 , - 上单调递减 - 上单调递增 所以f(x)在区间 上的最小值为f(k- =- - =-e 上的最小值为 -1)=- k-1; 当k-1≥1,即k≥2时,函数 在[0,1]上单调递减,所以 在区间 上单调递减, 在区间[0,1]上的最小 - , 时 函数f(x)在 上单调递减 所以f(x)在区间 上的最小 值为f(1)=(1-k)e. = - 值为 [评析 本题主要考查导数的应用以及综合运用有关知识解决问题的能力. 评析] 本题主要考查导数的应用以及综合运用有关知识解决问题的能力. 评析

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x (理)(2011·北京理,18)已知函数f(x)=(x-k) e . k
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(1)求f(x)的单调区间; 1 (2)若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤ ,求k e 的取值范围.
[分析 本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性. 分析] 本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性. 分析

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! (1)问,利用导函数大于(小于 零,解不等式求得函数的单调区间 注意参数 的取 问 利用导函数大于 小于 小于)零 解不等式求得函数的单调区间(注意参数 注意参数k的取 值对单调区间的影响). 问把不等式恒成立求参数的范围问题 问把不等式恒成立求参数的范围问题, 值对单调区间的影响 .(2)问把不等式恒成立求参数的范围问题,转化为求函 的区间(0,+ 上的最值, 数f(x)的区间 ,+ 上的最值,注意对 分k>0,k<0两种情况进行分类讨 的区间 ,+∞)上的最值 注意对k分 , 两种情况进行分类讨 论.

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[解析]

1 2 2 x (1)f′(x)= (x -k )e , k k

令f′(x)=0,得x=±k. 当k>0时,f(x)与f′(x)的情况如下:
x f′(x) ′ f(x) (-∞,- - ,-k) + ? -k 0 4k2e-1 (-k,k) - , - ? k 0 0 (k,+∞) ,+∞ ,+ + ?

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! 所以, 的单调递增区间是 的单调递增区间是(- ,- ,-k)和 ,+ ,+∞);单调递减区间是(- , . 所以,f(x)的单调递增区间是 -∞,- 和(k,+ ;单调递减区间是 -k,k). 的情况如下: 当k<0时,f(x)与f′(x)的情况如下: 时 与 的情况如下 (k,- ,- k) + ?

x f′(x) ′ f(x)

(-∞,k) - - ?

k 0 0

-k 0 4k2e-1

(-k,+∞) - ,+ ,+∞ - ?

所以,f(x)的单调递减区间是 -∞,k)和(-k,+∞);单调递增区间是(k,- 所以, 的单调递减区间是(- 和 - ,+∞ ;单调递增区间是 ,- 的单调递减区间是 ,+ k). .

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k+1 1 (2)当k>0时,因为f(k+1)=e > , k e 1 所以不会有?x∈(0,+∞),f(x)≤ . e 当k<0时,由(1)知f(x)在(0,+∞)上的最大值是 4k2 f(-k)= . e

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1 4k2 1 所以?x∈(0, +∞), f(x)≤ 等价于 f(-k)= ≤ . e e e 1 解得- ≤k<0. 2 1 故当?x∈(0,+∞),f(x)≤ 时, k 的取值范围 e 1 是[- ,0). 2

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! [评析 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况,大多数情况下是 评析] 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况, 评析 归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论, 归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论,在能够通过因式分解 求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论, 求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论,在不能通过因式分 解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论. 解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的 单调性是在函数的定义域内进行的,千万不要忽视了定义域的限制. 单调性是在函数的定义域内进行的,千万不要忽视了定义域的限制.

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(2011·南京二模 已知函数 =x3-ax-1. 南京二模)已知函数 南京二模 已知函数f(x)= - (1)若f(x)在实数集 上单调递增,求实数 的取值范围; 在实数集R上单调递增 的取值范围; 若 在实数集 上单调递增,求实数a的取值范围 (2)是否存在实数 ,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 的取值范围;若 是否存在实数a, 上单调递减? 的取值范围; 是否存在实数 在- 上单调递减 若存在,求出a的取值范围 不存在,说明理由; 不存在,说明理由; (3)证明 =x3-ax-1的图像不可能总在直线 =a的上方. 证明f(x)= 的图像不可能总在直线y= 的上方 的上方. 证明 - 的图像不可能总在直线

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[解析 (1)由已知 ′(x)=3x2-a, 解析] 由已知f 解析 由已知 = , ,+∞)上是单调增函数 ∵f(x)在(-∞,+ 上是单调增函数, 在 - ,+ 上是单调增函数, ,+∞)上恒成立 ∴f ′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+ 上恒成立, = 在 - ,+ 上恒成立, 即a≤3x2时,对x∈R恒成立. ∈ 恒成立. 恒成立 ∵3x2≥0,∴只需 , 只需a≤0, , 上是增函数, 又a=0时,f ′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,∴a≤0. = 时 = , = 在 上是增函数

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! (2)由f ′(x)=3x2-a≤0,在(-1,1)上恒成立, 由 上恒成立, = , - 上恒成立 恒成立. 得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立. ∈- 恒成立 ∵-1<x<1,∴3x2<3,∴只需 , , 只需a≥3. 当a=3时,f ′(x)=3(x2-1). = 时 = . 在x∈(-1,1)上,f ′(x)<0, ∈- 上 , 上为减函数, 即f(x)在(-1,1)上为减函数,∴a≥3. 在- 上为减函数 故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减. 上单调递减. 故存在实数 , 在- 上单调递减 (3)∵f(-1)=a-2<a, ∵ - = - , 的图像不可能总在直线y= 上方 上方. ∴f(x)的图像不可能总在直线 =a上方. 的图像不可能总在直线

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[例3]

1 3 1 2 (2011·江西理,19)设f(x)=-3x +2x +2ax

2 (1)若f(x)在( 3 ,+∞)上存在单调递增区间,求a的取 值范围. 16 (2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为- 3 ,求f(x) 在该区间上的最大值.

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[解析]

12 1 (1)由f′(x)=-x +x+2a=-(x-2) +4+2a
2

2 2 2 当x∈[ 3 ,+∞)时,f′(x)的最大值为f′( 3 )= 9 +2a; 2 1 令9+2a>0,得a>-9 1 2 所以,当a>- 9 时,f(x)在( 3 ,+∞)上存在单调递增区 间.

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1- 1+8a 1+ 1+8a (2)令 f′(x)=0, 得两根 x1= ,2= x . 2 2 所以 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1, x2)上单调递增 当 0<a<2 时, x1<1<x2<4, 有 所以 f(x)在[1,4]上的最大值 为 f(x2), 10 从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)= . 3

48

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27 又f(4)-f(1)=- 2 +6a<0,即f(4)<f(1) 40 所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8a- =- 3 16 3 ,得a=1,x2=2,

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(2010·重庆文,19)已知函数 =ax3+x2+bx(其中常数 ,b∈R),g(x)=f(x)+f 重庆文, 已知函数 已知函数f(x)= 其中常数a, ∈ , 重庆文 其中常数 = + ′(x)是奇函数. 是奇函数. 是奇函数 (1)求f(x)的表达式: 求 的表达式: 的表达式 (2)讨论 讨论g(x)的单调性,并求 的单调性, 在区间[1,2]上的最大值与最小值. 上的最大值与最小值. 讨论 的单调性 并求g(x)在区间 在区间 上的最大值与最小值

50

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! [解析 (1)由题意得 ′(x)=3ax2+2x+b, 解析] 由题意得f 解析 由题意得 = + , 因此g(x)=f(x)+f ′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b. 因此 = + = + + + 因为函数g(x)是奇函数,所以 -x)=- 是奇函数, =-g(x),即对任意实数 ,有a(-x)3+(3a+ 因为函数 是奇函数 所以g(- =- ,即对任意实数x, - + 1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=- 3+(3a+1)x2+(b+2)x+b] =-[ax - + - + =- + + +

1 从而3a+1=0,b=0,解得a=-3,b=0. 1 3 因此f(x)的解析表达式为f(x)=- x +x2. 3

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1 3 (2)由(1)知g(x)=-3x +2x, 所以g′(x)=-x2+2, 令g′(x)=0,解得x1=- 2,x2= 2, 则当x<- 2 或x> 2 时,g′(x)<0,从而g(x)在区间(-

∞,- 2],[ 2,+∞)上是减函数;

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当-

2 <x< 2 时,g′(x)>0,从而g(x)在区间

[- 2 , 2 ]上是增函数,由单调性可知,g(x)在区 间[1,2]上的最大值与最小值只能在x=1, 5 4 2 4 取得,而g(1)=3,g( 2)= 3 ,g(2)=3. 2 ,2时

4 2 因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g( 2)= ,最 3 4 小值为g(2)= . 3

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[例4]

(2011·山东理,21)某企业拟建造如图所示的容

器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱 形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为 80π 立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积 3 有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球 形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造 费用为y千元.
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(1)写出 关于 的函数表达式,并求该函数的定义域; 写出y关于 的函数表达式,并求该函数的定义域; 写出 关于r的函数表达式 (2)求该容器的建造费用最小时的 求该容器的建造费用最小时的r. 求该容器的建造费用最小时的

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[解析]

(1)设容器的容积为V
2

4 3 80π 由题意知V=πr l+ πr ,又V= , 3 3 4 3 V- 3πr 80 4 4 20 故l= = 2- r= ( 2 -r). 2 πr 3r 3 3 r 由于l≥2r,因此0<r≤2. 4 20 所以建造费用y=2πrl×3+4πr c=2πr× ( 2 -r)×3 3 r
2

+4πr2c, 160π 因此y=4π(c-2)r + ,0<r≤2. r
2
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8π(c-2) 3 160π (2)由(1)得y′=8π(c-2)r- = (r - r2 r2 20 ),0<r<2. c-2 由于c>3,所以c-2>0, 3 20 20 当r - =0时,r= . c-2 c-2
3



3

20 =m,则m>0, c-2

8π(c-2) 所以y′= (r-m)(r2+rm+m2) r2
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9 ①当0<m<2即c> 2时, 当r=m时,y′=0; 当r∈(0,m)时,y′<0; 当r∈(m,2)时,y′>0, 所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.

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9 ②当m≥2即3<c≤2时, 当r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以r=2是函数y的最小值点. 9 综上所述,当3<c≤2时,建造费用最小时r=2; 3 20 9 当c>2时,建造费用最小时r= . c-2

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! [评析 解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”转 评析] 解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数, 问题情景” 评析 化为数学语言,抽象为数学问题,选择合适的求解.而最值问题的应用题, 化为数学语言,抽象为数学问题,选择合适的求解.而最值问题的应用题, 写出目标函数利用导数求最值是首选的方法, 写出目标函数利用导数求最值是首选的方法,若在函数的定义域内函数只有 一个极值点,该极值点即为函数的最值点. 一个极值点,该极值点即为函数的最值点.

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(文)烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染.如图所示,已知 、B两座烟囱相 文 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染 如图所示,已知A、 两座烟囱相 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染. 烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的 距20 km,其中 烟囱喷出的烟尘量是 烟囱的 倍,经环境检测表明:落在 ,其中B烟囱喷出的烟尘量是 烟囱的8倍 经环境检测表明: 地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比, 地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比,而与烟囱喷出的烟尘 量成正比(比例系数为 比例系数为k). 连线上的点, 量成正比 比例系数为 .若C是AB连线上的点,设AC=x km,C点的烟尘 是 连线上的点 = , 点的烟尘 浓度记为y. 浓度记为

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(1)写出 关于 的函数表达式; 写出y关于 的函数表达式; 写出 关于x的函数表达式 (2)是否存在这样的点 ,若该点的烟尘浓度最低?若存在,求出 的距离;若 是否存在这样的点C,若该点的烟尘浓度最低?若存在,求出AC的距离 的距离; 是否存在这样的点 不存在,说明理由. 不存在,说明理由. [解析 (1)不妨设 烟囱喷出的烟尘量为 ,则B烟囱喷出的烟尘量为 ,由AC= 解析] 不妨设A烟囱喷出的烟尘量为 烟囱喷出的烟尘量为8, 解析 不妨设 烟囱喷出的烟尘量为1, 烟囱喷出的烟尘量为 = x(0<x<20),可得 =20-x. ,可得BC= - 依题意, 处的烟尘浓度y的函数表达式为 依题意,点C处的烟尘浓度 的函数表达式为: 处的烟尘浓度 的函数表达式为:

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(2)对(1)中的函数表达式求导得 2k 16k y′=- 3 + x (20-x)3 2k(9x3-60x2+1200x-8000) = . x3(20-x)3 令 y′=0,得(3x-20)(3x2+400)=0,

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20 又0<x<20,∴x= 3 . 20 ∵当x∈(0, 3 )时,y′<0; 20 当x∈( ,20)时,y′>0, 3 20 ∴当x= 3 时,y取得最小值. 20 故存在点C,当AC= 3 km时,该点的烟尘浓度最低.

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! (理)(江苏启东质检 水库的蓄水量随时间而变化,现用 表示时间,以月为单位, 理 江苏启东质检 水库的蓄水量随时间而变化,现用t表示时间 以月为单位, 江苏启东质检)水库的蓄水量随时间而变化 表示时间, 年初为起点,据历年数据,某水库的蓄水量(单位 亿立方米)关于 单位: 关于t的近似函 年初为起点,据历年数据,某水库的蓄水量 单位:亿立方米 关于 的近似函 数关系式为

1 ? 2 ?(-t +14t-40)e t+50,0<t≤10. 4 V(t)=? ?4(t-10)(3t-41)+50,10<t≤12. ? (1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期,以i-1 <t<i表示第i月份(i=1,2…,12)问一年内哪几个月份是枯 水期? (2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e=2.7计算)
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[解析]

(1)①当0<t≤10时,
2

1 V(t)=(-t +14t-40)e4t+50<50, 化简得t2-14t+40>0, 解得t<4,或t>10,又0<t≤10,故0<t<4.

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②当10<t≤12时,V(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50, 化简得(t-10)(3t-41)<0, 41 解得10<t< ,又10<t≤12,故10<t≤12. 3 综上得0<t<4,或10<t≤12. 故知枯水期为1月,2月,3月,11月,12月,共5个月.

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(2)由(1)易知,V(t)的最大值只能在(4,10)内达到. 12 3 1 由V′(t)=e4t(-4t +2t+4) 1 1 =- e t(t+2)(t-8). 4 4 令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去). 当t变化时,V′(t)与V(t)的变化情况如下表:

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由上表, 时取得最大值V(8)=8e2+50=108.32(亿立方米 亿立方米) 由上表,V(t)在t=8时取得最大值 在 = 时取得最大值 = = 亿立方米 故知一年内该水库最大蓄水量是108.32亿立方米 亿立方米. 故知一年内该水库最大蓄水量是 亿立方米

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[例5] 求曲线 =x2,直线 =x,y=3x围成的图形的面积. 例 求曲线y= 直线y= , = 围成的图形的面积 围成的图形的面积. [分析 画出函数图像,求出交点坐标,用积分求解. 分析] 分析 画出函数图像,求出交点坐标,用积分求解.

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! [解析 作出曲线 =x2,直线 =x,y=3x的图像,所求面积为图中阴影部分的 解析] 作出曲线y= 直线y= , = 的图像 的图像, 解析 面积. 面积.

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?y=x2 ? 解方程组? ?y=x ? ?y=x2 ? 解方程组? ?y=3x ?

,得交点(1,1),

,得交点(3,9),

因此,所求图形的面积为 S= (3x-x)dx+ (3x-x2)dx
0
?3 ? ? ? ?1 ? ? ? ?3 ? ? ?

1 2

= 2xdx+ (3x-x
0 1

?1 ? ? ?

3 2 1 3 3 21 )dx=x |0+ ?2x -3x ??1
? ??

?

??

?3 1 3? ?3 2 1 3? 13 2 =1+? ·3 - ·3 ?-? ·1 - ·1 ?= . 3 ? ?2 3 ? 3 ?2
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[评析 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:①画出图形;②确定被积函 评析] 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤: 画出图形; 评析 确定积分的上、下限,并求出交点坐标; 数;③确定积分的上、下限,并求出交点坐标;④运用微积分基本定理计算 定积分,求出平面图形的面积. 定积分,求出平面图形的面积.

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(2011·山东青岛 由直线 -y-2=0与抛物线 2=x围成的图形的面积为 山东青岛)由直线 与抛物线y 围成的图形的面积为________. 山东青岛 由直线x- - = 与抛物线 围成的图形的面积为 .

[答案]

9 2

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[解析]

如图.

?x-y-2=0 ? 解方程组? 2 ?y =x ?

得点A(1,-1),点B(4,2). 视y为自变量,所求面积为
?2 ?

-1[(y+2)-y2]dy

1 2 1 3 2 =( y +2y- y )|-1 2 3 1 1 1 1 2 3 2 =( ×2 +2×2- ×2 )-( ×(-1) +2×(-1)- 2 3 2 3 9 3 ×(-1) )=2.
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