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3.1.2用二分法求方程的近似解课件 新人教A版必修1


第三章

函数的应用

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1

3.1 函数与方程

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2

3.1.2

用二分法求方程的近似解

课前预习目标

课堂互动探究

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课前预习目标
梳理知识 夯实基础

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4

学 习 目 标 1.掌握用二分法求函数零点近似值的步骤. 2.了解函数零点与方程根之间的关系,初步形成用函数观 点处理问题的意识. 3.能够借助计算器用二分法求方程的近似解.

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5

课 前 热 身 1.二分法的概念 对于在区间[a,b]上连续不断且________的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间________, 使区间的两 个端点________,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由 函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法求________.

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6

2.用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 (1)确定区间[a,b],验证________,给定精确度 ε; (2)求区间(a,b)的中点________; (3)计算 f(c); ①若 f(c)=0,则________; ②若 f(a)· f(c)<0, 则令 b=c(此时零点 x0∈______________); ③若 f(c)· f(b)<0, 则令 a=c(此时零点 x0∈______________).

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7

(4)判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似 值 a(或 b);否则重复(2)~(4).

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8

自 1.f(a)· f(b)<0 我 的近似解

一分为二

逐步逼近零点

方程

校 2.(1)f(a)· f(b)<0

(2)c (3)①c 就是函数的零点

对 ②(a,c) ③(c,b)

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思考探究

已知函数 y=f(x)在区间(2,3)内有零点,采用什

么方法能进一步有效缩小零点所在的区间? 提示 间. 可采用“取中点”的办法逐步缩小零点所在的区

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名 师 点 拨 1.利用二分法求方程近似解的过程图示

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2.求函数零点的近似值时,所要求的精确度不同,得到的 结果也不相同. 精确度为 ε, 是指在计算过程中得到某个区间(a, b)后,若其长度小于 ε,即认为已达到所要求的精确度,可停止 计算,否则应继续计算,直到|a-b|<ε 为止. 3.用二分法求函数零点的近似值时,最好是将计算过程中 所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个 表格中,这样可以更清楚地发现零点所在区间. 4.不变号零点不能用“二分法”求近似解.

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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

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典例剖析



用二分法求方程的近似解
求方程 x3-3x+1=0 在区间(1,2)内的近似解(精

【例 1】 确度为 0.01).

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【解】 令 f(x)=x3-3x+1,则 f(x)在区间[1,2]上的图象是 一条连续不断的曲线. ∵f(1)=1-3+1=-1<0,f(2)=8-6+1=3>0, ∴f(1)· f(2)<0. ∴函数 f(x)在区间(1,2)内必有一零点. 用二分法逐步计算,列表如下:

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区间 (1,2) (1.5,2) (1.5,1.75) (1.5,1.625)

中点 1.5 1.75 1.625 1.5625

中点函数值 -0.125 1.109375 0.416015625 0.127197265625

(1.5,1.5625) 1.53125 -0.00338745117

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(1.53125,1.5625) (1.53125,1.546875) (1.53125,1.5390625) (1.53125,1.53515625) (1.53125,1.533203125)

1.546875 1.5390625 1.53515625 1.533203125

0.0607719421386 大于 0 大于 0 大于 0

因为|1.53125-1.533203125|=0.001953125<0.01, 所以原方程的近似解可取 1.53125

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规律技巧

求方程 f(x)=0 的一个根的近似值, 即在一定精

确度的要求下, 求相应函数零点的近似值, 我们常用“取中点” 的方法, 不断把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的 两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值.

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变式训练1

根据下表,求方程2x-2x-5=0在(-3,-2)

内的近似解(精确度为0.1). x -3 -2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5 f(x) 1.125 0.933972 0.743587 0.553893 0.364938 0.176777
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-2.4 -0.01054 -2.3 -0.19694 -2.2 -0.38236 -2.1 -0.56674 -2 -0.75

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解 由表可知,在区间(-2.5,-2.4)内有零点. x=-2.4适合题意. 故方程的近似解为-2.4.

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求函数的零点

【例2】

判断函数f(x)=lgx+x-3有无零点,如果有,求

出一个近似零点(精确度为0.1).

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【解】

易知f(x)=lgx+x-3在定义域(0,+∞)上为增函

数,且f(2)=lg2-1<0,f(3)=lg3>0, ∴函数f(x)仅有一个零点. 设这个零点为x0, ∵f(2)<0,f(3)>0,∴x0∈(2,3). 下面用二分法求近似零点:

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用计算器计算得 f(2.5)<0,f(3)>0?x0∈(2.5,3); f(2.5)<0,f(2.75)>0?x0∈(2.5,2.75); f(2.5)<0,f(2.625)>0?x0∈(2.5,2.625); f(2.5625)<0,f(2.625)>0?x0∈(2.5625,2.625). ∵|2.5625-2.625|=0.0625<0.1, ∴函数f(x)的一个近似零点为x=2.5625. (或x=2.625).

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规律技巧

当一个函数的图象熟悉时,可以画出图象确定

零点所在的大致区间,再用二分法求解.当函数的图象不易画 出时,只有借助计算器用二分法求解.

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变式训练2

求函数f(x)=3x-2x-1的零点.



画出y=3x与y=2x+1的图象,由图象可知,函数f(x)

=3x-2x-1有两个零点x=0,或x=1.

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二分法的综合应用

【例3】 【分析】

用二分法求 2的近似值(精确度为0.1). 2 是方程x2-2=0的正根,要求 2 的近似值,

只需求出函数f(x)=x2-2正的零点的近似值即可.

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27

【解】

设x= 2,则x2=2,令f(x)=x2-2.

∵f(1)=-1,f(2)=2,∴f(1)· f(2)<0. 故函数f(x)=x2-2在区间(1,2)内有零点. 下面用二分法求区间(1,2)内函数的零点.

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区间 (1,2) (1,1.5) (1.25,1.5) (1.375,1.5) (1.375,1.4375)

中点的值 中点的函数值 1.5 1.25 1.375 1.4375 0.25 -0.4375 -0.1093375 0.06640625

∵|1.375-1.4375|=0.0625<0.1, ∴ 2的近似值可取1.4375.

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规律技巧

用二分法求

2 的近似值,要构造一个方程,

转化为求方程的近似解.

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变式训练3

在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它

们完全相同的假币(质量轻一点),现在只有一台天平,一般情 况下最多称________次就可以发现这枚假币.

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解析

将26枚金币平均分成两份,放在天平上,在轻的那

13枚金币里面将13枚金币拿出1枚,将剩下的12枚平均分成两 份,放在天平上,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚, 若天平不平衡,则假币一定在轻的那6枚里面;将这6枚平均分 成两份,放在天平上,则假币一定在轻的那3枚金币里面;将 这3枚金币任拿出2枚放在天平上,若天平平衡,则剩下的那一 枚即是假币,若天平不平衡,则轻的那一枚即是假币.综上可 知,最多称4次就可以发现这枚假币.
答案 4
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易错探究 【例4】 对应值表: x f(x) 有下列判断: -1 0 1 2 3 4 5 6 已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的

-21 6 19 13 -1 -8 -2 4

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①函数f(x)在区间(-1,0)内只有一个零点; ②函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点; ③函数f(x)在区间(-1,4)内至少有两个零点; ④函数f(x)在区间(-1,6)内恰有三个零点. 其中正确判断的序号是________. 【错解】 ①④

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【错因分析】

二分法的理论依据是函数零点的存在性定

理,即在区间(a,b)内存在函数值异号,则必存在零点(称为变 号零点),但也可能存在不变号零点.如图,这样的零点不能

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用二分法.本题中②,③是正确的.因为在区间(2,3)内有 f(2)· f(3)<0,知必存在一个变号零点,但也可能还存在不变号 零点,因此说函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点是正确 的.③正确的理由同②.

【正解】 ②③

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当堂检测 1.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈ (1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程 的根落在区间( A.(1,1.25) C.(1.5,2) ) B.(1.25,1.5) D.不确定

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解析 ∵f(1.25)· f(1.5)<0, ∴方程的根落在区间(1.25,1.5).

答案

B

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2.用二分法求函数f(x)=2x-x3的零点,以下四个区间 中,可以作为起始区间的是( A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4) )

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解析 ∵f(0)=1>0,f(1)=1>0,f(2)=-4<0,∴可选(1,2) 为起始区间.

答案

B

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40

3.用二分法求方程lnx-2+x=0在区间[1,2]上零点的近似 3 值,先取区间中点c= ,则下一个含根的区间是________. 2

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解析 令f(x)=lnx-2+x, f(1)=ln1-2+1=-1<0,
?3? 3 3 3 1 ? ? f 2 =ln2-2+2=ln2-2<0, ? ? ?3 ? f(2)=ln2-2+2=ln2>0,∴下一个有根的区间是?2,2?. ? ?

答案

?3 ? ? ,2? ?2 ?

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4.用二分法研究函数f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次计 算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中第一个零点x0∈________,第二 次应计算________,以上横线应填的内容分别为( A.(0,0.5),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.75) B.(0,1),f(0.25) D.(0,0.5),f(0.125) )

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解析 由零点存在性定理知,f(x)在(0,0.5)内必有零点,第 0+0.5 二次计算由二分法知,x的值应为 =0.25,即判断f(0.25) 2 的值的正负.故选A.

答案

A

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5.(本题可以用计算器计算)以下是二分法求方程x3+3x- 5=0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程,请补充完 整. 设函数f(x)=x3+3x-5,其图象在(-∞,+∞)上是连续 不断的,且f(x)在(-∞,+∞)上是单调递________(增或减). 先求f(0)=________,f(1)=________,f(2)=________. 所以f(x)在区间________内存在零点x0,再填下表:

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45

下结论:________________________________________. (可参考条件:f(1.125)<0,f(1.1875)>0;符号填+、-) 区间 中点m f(m)符号 区间长度

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解 设函数f(x)=x3+3x-5,其图象在(-∞,+∞)上是 连续的,且f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增,先求f(0)=-5, f(1)=-1,f(2)=9.所以f(x)在区间(1,2)内存在零点x0,再填下 表.

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区间 (1,2) (1,1.5) (1,1.25) (1.125,1.25) (1.125,1.1875)

中点m f(m)符号 区间长度 1.5 1.25 1.125 1.1875 + + - + 1 0.5 0.25 0.125 0.0625

下结论:方程x3+3x-5=0的一个近似解可取1.125.

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