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2011学年海淀区高三年级第一学期期末练习数学


2011 学年海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (理科)
共 40 分) 2011.1

第Ⅰ卷(选择题
选出符合题目要求的一项.
1. sin 600 的值为
0

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,

A.


3 2 1 2
0.3

B.

?
?2

3 2

C.

?

1 2

D.

1 2

2. 若 a ? ( ) , b ? 0.3 , c ? log 1 2 ,则 a, b, c 大小关系为
2

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. c ? b ? a

D. b ? a ? c

3.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.12 C. 4 B.6 D.2
2 2 2 1 1

正视图
2 1 2

左视图

俯视图 4. 如图, 半径为 2 的⊙O 中,?AOB ? 90? ,D 为 OB 的中点, AD 的延长线交⊙O 于点 E , 则线段 DE 的长为 A.

5 5

B.

2 5 5

C.

3 5 5

D.

3 2

O

A

D
B

E

5.已知各项均不为零的数列 {an } ,定义向量 cn ? (an , an?1 ) ,bn ? (n, n ? 1) ,n ? N * . 下 列命题中真命题是 A. 若 ?n ? N * 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 B. 若 ?n ? N * 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等比数列

1 / 17

C. 若 ?n ? N * 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 D. 若 ?n ? N * 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 6.由数字 0,1,2,3,4,5 组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是 A. 72 B. 60 C. 48 D. 12 7. 已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 ,对于任意实数 k ,下列直线被椭圆 E 所截弦长与 l : m 4

相等的是 y ? kx ? 1 被椭圆 E 所截得的弦长不可能 ... A. kx ? y ? k ? 0 B. kx ? y ? 1 ? 0 C. kx ? y ? k ? 0 D. kx ? y ? 2 ? 0

8. 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点,F 是侧面 CDD1C1 上的动 点,且 B1F//面 A1BE,则 B 1 F 与平面 CDD1C1 所成角的正切值构成的集合是 A. C.
A1 C1 D1

?2?

B. ?

?2 ? 5? ?5 ?

B1

E A B
C

2 5 ? t ? 2} D. {t | 5

D

第 II 卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.
9.圆 C 的极坐标方程 ? ? 2cos ? 化为直角坐标方程为 为 . 10.某部门计划对某路段进行限速,为调查限速 60 km/h 是 否合理,对通过该路段的 300 辆汽车的车速进行检测,将所 得数据按 [ 40,50 ) , [50,60) , [60,70) , [70,80] 分组, 绘制成如图所示频率分布直方图.则这 300 辆汽车中车速低 于限速的汽车有 辆. 11. 阅读下面的程序框图.若使输出的结果不大于 37, 则输入 的整数 i 的最大值为 .
开始

,圆心的直角坐标

频率 组距
0.035 0.030

a

0.010 O

40 50 60 70 80

车速

输入i
S ? 0; n ? 0


n?i



2 / 17
输出S

S ? S ? 2 ?1
n

n ? n ?1

结束

12.如图,已知 AB ? 10 ,图中的一系列圆是圆心分别为 A、B 的两组同心圆,每组同 心圆的半径分别是 1,2,3,?,n,?.利用这两组同心圆可以画出以 A、B 为焦点的双曲 线. 若其中经过点 M、N、P 的双曲线的离心率分别是 eM , eN , eP .则它们的大小关系是 (用“ ? ”连接). 13. 已知函数 f ( x) ? sin x ? 命题的序号是 . ② f ( x ) 的最小值为 f ( x0 ) ④ f ( x ) 在 [ x0 , π] 上是减函数

1 1 x, x ? [0, π] . cos x0 ? ( x0 ?[0, π] ) ,那么下面命题中真 3 3

① f ( x ) 的最大值为 f ( x0 ) ③

f ( x ) 在 [0, x0 ] 上是减函数

14.在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点.定义 P ( x1, y1 )、 Q( x2 , y2 ) 两点之间的“直 角距离”为 d (P, Q) = x1 - x2 + y1 - y2 .若点 A(-1,3) ,则 d ( A, O) = ;

已知点 B (1,0) ,点 M 是直线 kx - y + k + 3 = 0 (k > 0) 上的动点, d ( B, M ) 的最小值 为 .

3 / 17

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过 程.
15. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? cos(2 x ? (Ⅰ)求 f ( x) 在 (0,

?
3

) ? cos 2 x , x ? R .

?
2

) 上的值域;

(Ⅱ)记 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边长分别为 a,b,c ,若 f (A) ?1, 求 a ? 7, b ?3 ,

c 的值.

4 / 17

16.(本小题满分 13 分) 某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择 在 B 区投篮 3 次.在 A 区每进一球得 2 分,不进球得 0 分;在 B 区每进一球得 3 分,不进球 得 0 分, 得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别为

9 和 10

1 3
(Ⅰ)如果选手甲以在 A、B 区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准,问选手甲应该选 择哪个区投篮? (Ⅱ)求选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率.

5 / 17

17. (本小题满分 14 分) 如图,棱柱 ABCD— A1B1C1D1 的所有棱长都为 2, AC ABCD 的所成角为 60° , AO 平面 ABCD, F 为 DC1 的中点. 1 ⊥ (Ⅰ )证明:BD⊥ AA1 ; (Ⅱ )证明: OF // 平面 BCC1B1 ; (Ⅲ)求二面角 D ? AA1 ? C 的余弦值.

BD ? O ,侧棱 AA1 与底面

D1 A1

C1

B1

F

D
A
O

C

B

6 / 17

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ?

1? a x ?1

(a ?

1 ). 2

(Ⅰ)当曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与直线 l : y ? ?2 x ? 1 平行时,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间.

7 / 17

19. (本小题满分 14 分) 已知点 M (1, y) 在抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上,M 点到抛物线 C 的焦点 F 的距离为

1 x ? b 与抛物线交于 A, B 两点. 2 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程;
2,直线 l : y ? ? (Ⅱ)若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,求该圆的方程; (Ⅲ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值.

8 / 17

20. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? ?1,2,3, 若存在不大于 n 的正整数 ,2n? (n ? N * ) .对于 A 的一个子集 S,

m,使得对于 S 中的任意一对元素 s1 , s2 ,都有 s1 ? s2 ? m ,则称 S 具有性质 P. (Ⅰ)当 n ? 10 时,试判断集合 B ? ?x ? A x ? 9? 和 C ? x ? A x ? 3k ? 1, k ? N * 是否具有性 质 P?并说明理由. (Ⅱ)若 n ? 1000 时 ① 若集合 S 具有性质 P,那么集合 T ? ?2001 ? x x ? S? 是否一定具有性质 P?并说明 理由; ② 若集合 S 具有性质 P,求集合 S 中元素个数的最大值.

?

?

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学(理) 2011.1

答案及评分参考
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 A 共 110 分) 6 B

7 D

8 C

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 共 30 分.有两空的题目,第一空 3 分,第二空 2 分) 9. x 2 ? y 2 ? 2 x 12. eM ? eP ? eN

(1, 0 )

10. 180 13. ① ④

11. 14. 4

5

3 ? (k ? 1) ?2 ? k ? ? ?2k ? 3 (0 ? k ? 1)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (共 12 分) 解: (I) f ( x ) ? cos( 2 x ?

?
3

) ? cos 2 x

? cos 2 x cos

?
3

? sin 2 x sin

?
3

? cos 2 x
9 / 17

.......................................2 分

?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

? sin( 2 x ?

?
6

) .

.......................................4 分

? x ? (0, ) , 2
? 2x ?

?

) , 6 ? 1 ? sin( 2 x ? ) ? (? ,1] , 6 2 ? 1 即 f ( x ) 在 (0, ) 的值域为 ( ? ,1] . 2 2 6 6
(II)由(I)可知, f ( A) ? sin( 2 A ?

?

? (?

? 5?
,

.......................................5 分

.......................................6 分

?
6

)

, ......................................7 分

? s i n2 (A ?

?
6

) ? 1,

?0 ? A ? ? , ??

?
6
.

? 2A ?

?
6

?

?2A ?

?
6

?

?
2

,A?

?
3

11? , 6

.....................................8 分 ....................................9 分 .....................................10 分 ..................................11 分 ....................................12 分

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,
把a ?

7,b ? 3 代入,得到 c 2 ? 3c ? 2 ? 0 ,

? c ? 1或 c ? 2 .
16.(共 13 分) 解: (I)方法一 设选手甲在 A 区投两次篮的进球数为 X ,则 X ~ B (2, 故 E( X ) ? 2 ?

9 ) , 10
....................................... 2 分

9 9 ? , 10 5 9 ? 3.6 5
.

则选手甲在 A 区投篮得分的期望为 2 ?

....................................... 3 分

设选手甲在 B 区投篮的进球数为 Y ,则 Y ~ B(3, ) , 故 E (Y ) ? 3 ?

1 3

? 3 .6 ? 3 ,

则选手甲在 B 区投篮得分的期望为 3 ? 1 ? 3 .

1 ?1 , 3

....................................... 5 分 ....................................... 6 分 .......................................7 分

? 选手甲应该选择 A 区投篮.
方法二:
10 / 17

(I)设选手甲在 A 区投篮的得分为 ? ,则 ? 的可能取值为 0,2,4,

9 2 1 ) ? ; 10 100 9 18 1 9 P(? ? 2) ? C2 ? (1 ? ) ? ; 10 10 100 9 81 P(? ? 4) ? ( ) 2 ? . 10 100 P(? ? 0) ? (1 ?
所以 ? 的分布列为

?
p

0

2

4

1 100

18 100

81 100
.......................................2 分

? E? ? 3.6

.......................................3 分 同理,设选手甲在 B 区投篮的得分为? ,则? 的可能取值为 0,3,6,9,

1 8 P(? ? 0) ? (1 ? )3 ? ; 3 27 1 4 11 P(? ? 3) ? C3 ? (1 ? ) 2 ? ; 3 3 9 1 1 2 P(? ? 6) ? C32 ( ) 2 (1 ? ) ? ; 3 3 9 1 1 P(? ? 9) ? ( )3 ? . 3 27 所以? 的分布列为:

? p

0

3

6

9

8 27

4 9

2 9

1 27
.......................................5 分 .......................................6 分 .......................................7 分

? E? ? 3 , ? E? ? E? , ? 选手甲应该选择 A 区投篮.

(Ⅱ )设选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分为事件 C ,甲在 A 区投篮得 2 分在 B 区投篮得 0 分为事件 C1 ,甲在 A 区投篮得 4 分在 B 区投篮得 0 分为事件 C2 ,甲在 A 区投 篮得 4 分在 B 区投篮得 3 分为事件 C3 ,则 C ? C1 件. 则:

C2

C3 ,其中 C1, C2 , C3 为互斥事
.......................................9 分

11 / 17

18 8 81 8 81 4 49 ? ? ? ? ? ? 100 27 100 27 100 9 75 49 故选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率为 ..................................13 分 75 P(C ) ? P(C1 C2 C3 )= P(C1 ) ? P(C2 ) ? P(C3 ) ?
17. (共 14 分) 解: (I)? 棱柱 ABCD— A1B1C1D1 的所有棱长都为 2,
D1 A1 C1

B1

? 四边形 ABCD 为菱形, BD ? AC . .......................................1 分
又 AO 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD, 1 ⊥
A

F

D
O

C

B

? AO ? BD . 1


.......................................2 分

AC

? 平面 A1 ACC1 , AO ? O , AC, AO 1 1
.......................................3 分

? BD ? 平面 A1 ACC1 ,

? AA1 ? 平面 A1 ACC1 ,

? BD⊥AA1 .
(Ⅱ )连结 BC1

.......................................4 分

? 四边形 ABCD 为菱形, AC
? O 是 BD 的中点.
又? 点 F 为 DC1 的中点,

BD ? O
....................................... 5 分

? 在 ?DBC 1 中, OF // BC 1,
? OF ? 平面 BCC1B1 , BC1 ? 平面 BCC1B1

.......................................6 分

? OF // 平面 BCC1B1

.......................................8 分

(III)以 O 为坐标系的原点,分别以 OA, OB, OA1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标 系. ? 侧棱 AA1 与底面 ABCD 的所成角为 60° , AO 平面 ABCD. 1 ⊥

? ?A1 AO ? 60? ,在 Rt?A1 AO 中,可得 AO ? 1, AO ? 3, 1
在 Rt ?AOB 中, OB ?

AB2 ? AO2 ? 4 ?1 ? 3 .
...............................10 分

得 A(1,0,0), A 1 (0,0, 3), D(0, ? 3,0), B(0, 3,0)
12 / 17

设平面 AA 1 D 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 )

? ?n1 ? AA1 ? 0 ?? ? ?n1 ? AD ? 0

? AA1 ? (?1,0, 3), AD ? (?1,? 3,0)
? ?? x ? 3 z1 ? 0 ?? 1 ? ?? x1 ? 3 y1 ? 0
可设 n1 ? ( 3,?1,1) 又? BD ? 平面 A1 ACC1 所以,平面 A 1 ACC1 的法向量为 n2 ? OB ? (0, 3,0) .......................................12 分 .......................................11 分

? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 n2

?

? 3 5? 3

??

5 , 5

? 二面角 D— AA1 —C 为锐角,
故二面角 D— AA1 —C 的余弦值是

5 . 5

....................................14 分

18. (共 13 分) 1 1? a ? x(ax ? 2a ? 1) ?a? ? 解: f ?( x) ? , x ? ?1 , x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 (I)由题意可得 f ?(1) ?

.......................................2 分 ....................................3 分

1 ? 3a ? ?2 ,解得 a ? 3 , 4

因为 f (1) ? ln 2 ? 4 ,此时在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? (ln 2 ? 4) ? ?2( x ? 1) , 即 y ? ?2 x ? ln 2 ? 2 ,与直线 l : y ? ?2 x ? 1 平行,故所求 a 的值为 3. ....................4 分 (II) 令 f ?( x ) ? 0 ,得到 x1 ? 由a ? ① 即a ?

1 ? 2, x2 ? 0 , a
................................5 分

1 1 可知 ? 2 ? 0 ,即 x1 ? 0 . a 2

1 1 时, x1 ? ? 2 ? 0 ? x2 . a 2
'

所以, f ( x) ? ?

x2 ? 0, x ? (?1, ??) , 2( x ? 1)2

................................6 分

故 f ( x ) 的单调递减区间为 (?1, ??) .
13 / 17

................................7 分

② 当

1 1 ? a ? 1 时, ?1 ? ? 2 ? 0 ,即 ?1 ? x1 ? 0 ? x2 , 2 a 1 所以,在区间 (?1, ? 2) 和 (0, ??) 上, f ' ( x) ? 0 ; a 1 在区间 ( ? 2,0) 上, f ' ( x) ? 0 . a
...............................8 分 .................................9 分

1 1 故 f ( x ) 的单调递减区间是 (?1, ? 2) 和 (0, ??) ,单调递增区间是 ( ? 2,0) . .........10 分 a a
③当 a ? 1 时, x1 ?

1 ? 2 ? ?1 , a 所以,在区间 (?1,0) 上 f ?( x) ? 0 ; 在区间 (0, ??) 上 f ?( x) ? 0 ,

................................11 分 ...............................12 分 ............................13 分

故 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1, 0) ,单调递减区间是 (0, ??) . 综上讨论可得: 当a ? 当

1 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (?1, ??) ; 2

1 1 1 函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (?1, ? 2) 和 (0, ??) , 单调递增区间是 ( ? 2,0) ; ? a ? 1 时, 2 a a

当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1, 0) ,单调递减区间是 (0, ??) . 19. (共 14 分)
2 解: (Ⅰ)抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的准线为 x ? ?

p , 2

.....................................1 分

p p 由抛物线定义和已知条件可知 | MF |? 1 ? (? ) ? 1 ? ? 2 , 2 2
解得 p ? 2 ,故所求抛物线方程为 y 2 ? 4 x . ......................................3 分

1 ? ?y ? ? x ? b (Ⅱ)联立 ? ,消 x 并化简整理得 y 2 ? 8 y ? 8b ? 0 . 2 2 ? ? y ? 4x
依题意应有 ? ? 64 ? 32b ? 0 , 解得 b ? ?2 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?8, y1 y2 ? ?8b , 分 设圆心 Q( x0 , y0 ) ,则应有 x0 ? ..............................................4 分 .............................................5

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 . 2 2
........................6

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 , 分

又 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 4)( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 5(64 ? 32b) . 所以 | AB |? 2r ? 5(64 ? 32b) ? 8 ,
14 / 17

.........................................7



8 解得 b ? ? . 5 分
所以 x1 ? x2 ? 2b ? 2 y1 ? 2b ? 2 y2 ? 4b ? 16 ? 故所求圆的方程为 ( x ? 分 方法二:

.........................................8

48 24 ,所以圆心为 ( , ?4) . 5 5
............................................9

24 2 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 . 5

1 ? ?y ? ? x ? b 联立 ? ,消掉 y 并化简整理得 x2 ? (4b ? 16) x ? 4b2 ? 0 , 2 2 ? ? y ? 4x
依题意应有 ? ? 16(b ? 4)2 ? 16b2 ? 0 ,解得 b ? ?2 .
2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 4 b ?16, x1 x2 ? 4 b .

............................................4 分 .............................................5

分 设圆心 Q( x0 , y0 ) ,则应有 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 , 2 2
.....................................6

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 . 分 又

1 5 | AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? )( x1 ? x2 ) 2 ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 5(64 ? 32b) , 4 4

又 | AB |? 2r ? 8 ,所以有 5(64 ? 32b) ? 8 ,

.............................................7 分 ..............................................8

8 解得 b ? ? , 5 分
所以 x1 ? x2 ?

24 48 ,所以圆心为 ( , ?4) . 5 5
24 2 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 . 5
.............................................9

故所求圆的方程为 ( x ? 分

(Ⅲ )因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b ? 0 , 又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b ? ?2 ,所以 ?2 ? b ? 0 ,...........................................10 分 直线 l : y ? ?

1 x ? b 整理得 x ? 2 y ? 2b ? 0 , 2
| ?2b | ?2b , ? 5 5
15 / 17

点 O 到直线 l 的距离 d ?

.................................................11

分 所以 S?AOB ? 分 令 g (b) ? b3 ? 2b2 , ?2 ? b ? 0 ,

1 | AB | d ? ?4b 2 2 ? b ? 4 2 b3 ? 2b2 . 2

..................................................12

4 g ?(b) ? 3b2 ? 4b ? 3b(b ? ) , 3
b

4 (?2, ? ) 3


?

4 3

4 (? ,0) 3


g ?(b) g (b)

0 极大

4 32 由上表可得 g (b) 最大值为 g (? ) ? . 3 27 分
32 3 4 所以当 b ? ? 时, ?AOB 的面积取得最大值 . 9 3

...............................................13

...............................................14 分

20. (共 14 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 10 时,集合 A ? ?1,2,3,

,19,20? ,
...................................1 分

B ? ?x ? A x ? 9? ? ?10,11,12, ,19,20? 不具有性质 P .
因为对任意不大于 10 的正整数 m,

都可以找到该集合中两个元素 b1 ? 10 与 b2 ? 10 ? m ,使得 b1 ? b2 ? m 成立................2 分 集合 C ? x ? A x ? 3k ? 1, k ? N * 具有性质 P .

?

?

................................................3 分

因为可取 m ? 1 ? 10 ,对于该集合中任意一对元素 c1 ? 3k1 ? 1, c2 ? 3k2 ? 1 , k1, k2 ? N * 都有 c1 ? c2 ? 3 k1 ? k2 ? 1 . (Ⅱ)当 n ? 1000 时,则 A ? ?1,2,3, .....................................................................4 分

,1999,2000?

①若集合 S 具有性质 P ,那么集合 T ? ?2001 ? x x ? S? 一定具有性质 P ....................5 分 首先因为 T ? ?2001 ? x x ? S? ,任取 t ? 2001 ? x0 ? T , 其中 x0 ? S , 因为 S ? A ,所以 x0 ?{1, 2,3,..., 2000} , 从而 1 ? 2001 ? x0 ? 2000 ,即 t ? A, 所以 T ? A . 由 S 具有性质 P ,可知存在不大于 1000 的正整数 m,
16 / 17

...........................6 分

使得对 S 中的任意一对元素 s1 , s2 ,都有 s1 ? s2 ? m . 对于上述正整数 m, 从集合 T ? ?2001 ? x x ? S? 中任取一对元素 t1 ? 2001 ? x1 , t2 ? 2001 ? x2 ,其中 x1, x2 ? S , 则有 t1 ? t2 ? x1 ? x2 ? m , 所以集合 T ? ?2001 ? x x ? S? 具有性质 P . .............................8 分

②设集合 S 有 k 个元素.由第①问知,若集合 S 具有性质 P ,那么集合 T ? ?2001 ? x x ? S? 一定具有性质 P . 任给 x ? S , 1 ? x ? 2000 ,则 x 与 2001 ? x 中必有一个不超过 1000, 所以集合 S 与 T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过 1000,

k? ? 不妨设 S 中有 t ? t ? ? 个元素 b1 , b2 , 2? ?

, bt 不超过 1000.

由集合 S 具有性质 P ,可知存在正整数 m ? 1000 , 使得对 S 中任意两个元素 s1 , s2 ,都有 s1 ? s2 ? m , 所以一定有 b1 ? m, b2 ? m,

, bt ? m ? S . , bt ? m ? A ,

又 bi ? m ? 1000 ? 1000 ? 2000 ,故 b1 ? m, b2 ? m, 即集合 A 中至少有 t 个元素不在子集 S 中, 因此 k ?

k k ? k ? t ? 2000 ,所以 k ? ? 2000 ,得 k ? 1333 , 2 2
,665,666,1334, ,1999,2000? 时,

当 S ? ?1,2,

取 m ? 667 ,则易知对集合 S 中任意两个元素 y1 , y2 , 都有 | y1 ? y2 |? 667 ,即集合 S 具有性质 P , 而此时集合S中有 1333 个元素. 因此集合 S 元素个数的最大值是 1333. .....................................14 分

说明:其它正确解法按相应步骤给分.

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