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第一章第1讲集合的概念和运算


知识点

考纲展示 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系. (2)能用自然语言、 图形语言、 集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体 问题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,

会求两个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. (3)能使用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算. 1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会 分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2.理解全称量词和存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

集 合

命题及其关系、 充 分条件与必要条 件 简单的逻辑联结 词、 全称量词与存 在量词

第 1 讲 集合的概念和运算

1.集合与元素 (1)集合元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系有属于或不属于两种,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、Venn 图. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 * N Z Q R 符号 N (或 N+) 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn 图 子集 集合 A 中所有元素都在集合 B 中 (即若 x∈A,x∈B) A?B(或 B?A)

真子集

集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中 集合 A,B 中元素相同或集合 A, B 互为子集 定义

A

B(或 B

A) 不属于

集合相等

A=B

3.集合的基本运算 关系 并集 交集 补集

符号语言 A∪B A∩B ?U A

Venn 图

由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合

1.若有限集 A 中有 n 个元素,则 A 的子集个数为 2n 个,非空子集个数为 2n-1 个,真 子集个数为 2n-1 个,非空真子集个数为 2n-2 个. 2.A?B?A∩B=A,A?B?A∪B=B. 3.空集是任何集合的子集. 4.A∩?UA=?,A∪?UA=U. 1. (必修 1 P8 例 5 改编)设集合 A={x|(x+1)(x-2)<0}, B={x|0≤x≤3}, 则 A∪B=( ) A.{x|-2<x≤3} B.{x|-1<x≤3} C.{x|0≤x<2} D.{x|-1<x<2} 解析:选 B.∵A={x|-1<x<2},B={x|0≤x≤3}, ∴A∪B={x|-1<x≤3}. 2.(必修 1 P12A 组 T6 改编)设集合 A={x|2≤x<5},B={x∈Z|3x-7≥8-2x}, 则 A∩B =( ) A.{x|3≤x<5} B.{x|2≤x≤3} C.{3,4} D.{3,4,5} 解析:选 C.∵A={x|2≤x<5}, B={x∈Z|3x-7≥8-2x}={x∈Z|x≥3}, ∴A∩B={3,4}. 3. (必修 1 P44 A 组 T5 改编)已知集合 M={x|y=lg(2x-x2)}, N={x|x2+y2=1}, 则 M∩N =( ) A.[-1,2) B.(0,1) C.(0,1] D.? 2 解析:选 C.由 2x-x >0, 解得 0<x<2, 故 M={x|0<x<2}, 又 N={x|-1≤x≤1},因此 M∩N=(0,1]. 4.(必修 1 P11 例 8 改编)设 U={x∈N*|x<9},A={1,2,3},B={3,4,5,6},则(?UA)∩B =________. 解析:∵U={1,2,3,4,5,6,7,8}, ∴?UA={4,5,6,7,8}, ∴(?UA)∩B={4,5,6,7,8}∩{3,4,5,6}={4,5,6}. 答案:{4,5,6} 5.(必修 1 P44 A 组 T4 改编)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B?A,则实数 m 的取值范围为________. 解析:当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2.

当 B≠?时,若 B?A,如图.

m+1≥-2, ? ? 则?2m-1≤7, ? ?m+1<2m-1, 解得 2<m≤4. 综上,实数 m 的取值范围是(-∞,4]. 答案:(-∞,4]

集合的概念 b ? ? 已知 a,b∈R,若?a,a,1?={a2,a+b,0},则 a2 017+b2 017 为(
? ?

)

A.1 C.-1

B.0 D.± 1

b [解析] 由已知得 a≠0,则 =0, a 2 所以 b=0,于是 a =1,即 a=1 或 a=-1,又根据集合中元素的互异性可知 a=1 应 舍去,因此 a=-1,故 a2 017+b2 017=(-1)2 017+02 017=-1. [答案] C (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件, 明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合. (2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的集合,在 求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 1.设集合 A={1,2,4},集合 B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合 B 中的元素个数为 ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选 C.∵a∈A,b∈A,x=a+b, ∴x=2,3,4,5,6,8. ∴集合 B 中共有 6 个元素. 2.下列关系式正确的是( ) 1 A.x∈{x|x(x-1)=0},则 ∈{x|x(x-1)=0} x 2, B.{x 1}={0,1},则 x=0,1,-1 C.{x|y=x2+1}={x|y=x2-1} D.{x∈N|-1≤x≤2}={-1,0,1,2} 1 解析:选 C.∵当 x∈{x|x(x-1)=0}时,x=0 或 x=1,而当 x=0 时, 无意义,A 错; x 当{x2,1}={0,1}时,x2=0, ∴x=0,B 错; ∵{x|y=x2+1}={x|x∈R}=R, {x|y=x2-1}={x|x∈R}=R,

(

∴{x|y=x2+1}={x|y=x2-1},C 正确; ∵{x∈N|-1≤x≤2}={0,1,2}, ∴D 错,故选 C. 3.设 A={a,a+d,a+2d},B={a,aq,aq2},若 A=B,则 q=________. 解析:显然 a≠0,由 A=B 得, 2 ? ? ?a+d=aq ?a+d=aq ? ? , 2 ,或 ?a+2d=aq ?a+2d=aq ? ?
? ?a+d=aq 由? 2 , ? ?a+2d=aq 解得 q=1,d=0,此时 A={a,a,a}, 根据集合中元素的互异性,应舍去. 2 ? ?a+d=aq 由? , ?a+2d=aq ? 1 解得 q=- 或 q=1(舍去). 2 1 ∴q=- . 2 1 答案:- 2

集合与集合间的关系

[学生用书 P2]

R 表示实数集,集合 M={x|0≤x≤2},N={x|x2-2x-3>0},则下列结论正 确的是( ) A.M?N B.M?(?RN) C.(?RM)?N D.(?RM)?(?RN) [解析] 由题意,得 N={x|x<-1 或 x>3}, 所以?RN={x|-1≤x≤3},又 M={x|0≤x≤2}, 所以 M 是?RN 的子集,故选 B. [答案] B (1)判断两集合的关系必须先化简集合,然后再观察集合中的元素,从而判断两集合的 关系. (2)借助数轴表示集合,可以更加简捷方便地判断两集合间的关系. 1.已知集合 A={x|x2-2x>0},B={x|- 5<x< 5},则( ) A.A∩B=? B.A∪B=R C.B?A D.A?B 解析:选 B.∵A={x|x<0 或 x>2}, B={x|- 5<x< 5}, ∴A∩B={x|- 5<x<0 或 2<x< 5},A∪B=R. 2. 已知集合 A={x|x2-2x-3<0}, B={x|-m<x<m}. 若 B?A, 则 m 的范围为________. 解析:当 m≤0 时,B=?,显然 B?A. 当 m>0 时,∵A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3}. 当 B?A 时,有

-m≥-1, ? ? ∴?m≤3, ? ?-m<m.

∴0<m≤1.

综上所述 m 的范围为 m≤1. 答案:m≤1 集合的三种运算 (1)(2015· 高考全国卷Ⅱ)已知集合 A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+ 2)<0},则 A∩B=( ) A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} (2)若集合 A={x|x2=1},B={x|x2-3x+2=0},则集合 A∪B=( ) A.{1} B.{1,2} C.{-1,1,2} D.{-1,1,-2} (3)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(?RS)∪T=( ) A.(-2,1] B.(-∞,-4] C.(-∞,1] D.[1,+∞) [解析] (1)∵B={x|(x-1)(x+2)<0} ={x|-2<x<1}, ∴A∩B={-2,-1,0,1,2}∩{x|-2<x<1} ={-1,0}. (2)∵A={-1,1},B={1,2}, ∴A∪B={-1,1,2}. (3)因为 S={x|x>-2}, 所以?RS={x|x≤-2}, 而 T={x|x2+3x-4≤0}={x|-4≤x≤1}, 所以(?RS)∪T={x|x≤1}. [答案] (1)A (2)C (3)C (1)求集合运算时,先化简再运算. (2)理清集合内的元素特征,并注重运算法则. 1.已知集合 A={x|x>1},B={x|x2-2x<0},则 A∪B 等于( A.{x|x>0} B.{x|x>1} C.{x|1<x<2} D.{x|0<x<2} 解析:选 A.由 x2-2x<0,得 0<x<2, ∴B={x|0<x<2},故 A∪B={x|x>0}. 2.设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x2≥5},则?UA=( A.? B.{2} C.{5} D.{2,5} 解析:选 B.因为 A={x∈N|x≤- 5或 x≥ 5}, 所以?UA={x∈N|2≤x< 5}, 所以?UA={2}. )

)

一、选择题 1.(必修 1 P44 A 组 T4 改编)已知集合 A={x|x2=1},B={x|ax=1},若 B?A,则实数 a 的取值集合为( ) A.{-1,0,1} B.{-1,1} C.{-1,0} D.{0,1} ?1? 解析:选 A.因为 A={1,-1},当 a=0 时,B=?,符合题意;当 a≠0 时,B=?a??A, ? ? 1 1 则 =1 或 =-1, a a 解得 a=1 或 a=-1, 所以实数 a 的取值集合为{-1,0,1}. 2.(必修 1 P12B 组 T1 改编)设集合 A={1,2,3},集合 B 满足 A∪B={1,2,3,4},则集合 B 的个数为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 解析:选 C.由 A={1,2,3},A∪B={1,2,3,4}, 得集合 B 中所含元素必须有 4, ∴集合 B={4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}, ∴集合 B 的个数为 8,故选 C. 3.(必修 1 P44A 组 T4 改编)设 A={x|-1<x≤2},B={x|3x+a>1},若 A∩B=A,则 a 的范围是( ) A.a≥5 B.a≥4 C.a<-5 D.a<4 1-a 解析:选 B.B={x|x> },由 A∩B=A?A?B, 3 1-a ∴ ≤-1,解得 a≥4,故选 B. 3 二、填空题 2 4.(必修 1 P12A 组 T4(2)改编)若 A={x∈Z| ∈Z},B={x|x2-2x-3<0},则 A∩B= x ________. 2 解析:∵A={x∈Z| ∈Z}, x ∴A={-2,-1,1,2},又 B={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3}, ∴A∩B={1,2}. 答案:{1,2} 5.(必修 1 P12A 组 T6 改编)设集合 A={x|(x-2)(x-4)≤0},B={x∈N|3x-7≤8-2x}, 则 A∩B=________. 解析:∵A={x|(x-2)(x-4)≤0}={x|2≤x≤4}, B={x∈N|3x-7≤8-2x}={x∈N|x≤3}={0,1,2,3}, ∴A∩B={2,3}. 答案:{2,3} 6. (必修 1 P45B 组 T3 改编)设全集 U={x∈N*|x≤9}. ?U(A∪B)={1,3}, A∩(?UB)={2,4}, 则 B=________. 解析:∵全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 由?U(A∪B)={1,3}, 得 A∪B={2,4,5,6,7,8,9}, 由 A∩(?UB)={2,4}知,{2,4}?A,{2,4}??UB.

∴B={5,6,7,8,9}. 答案:{5,6,7,8,9}

一、选择题 1.已知集合 A={1,2,3},B={2,3},则( ) A.A=B B.A∩B=? C.A B D.B A [导学号 03350001] 解析:选 D.由真子集的概念知 B?A,故选 D. 2.设 M={0,1,2,4,5,8},N={0,2,3,5},则 N∩M=( ) A.{1,3} B.{1,4,8} C.{0,2,5} D.{2,4} [导学号 03350002] 解析:选 C.M∩N={0,2,5},故选 C. 3.设集合 M={x|x2+2x-3=0},N={-1,1,3},则 M∪N=( ) A.{-1,3} B.{-1,1,3} C.{-1,1,-3,3} D.{-1,1,-3} [导学号 03350003] 解析:选 C.M={x|x2+2x-3=0}={-3,1},故 M∪N={-1,1,- 3,3},故选 C. 4.已知集合 A={x|x2≤4,x∈R},B={x| x≤4,x∈Z},则 A∩B=( ) A.(0,2) B.[0,2] C.{0,1,2} D.{0,2} [导学号 03350004] 解析:选 C.由 x2≤4,得-2≤x≤2,又 B={x| x≤4,x∈Z}= {x|0≤x≤16,x∈Z}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}, 所以 A∩B={0,1,2},故选 C. 1 5.若集合 A={-1,0, ,1},集合 B={y|y=2x,x∈A},则 A∩B=( ) 2 1 1 A.{-1,0, ,1} B.{0, ,1} 2 2 1 C.{ ,1} D.{0,1} 2 1 [导学号 03350005] 解析:选 C.∵B={y|y=2x,x∈A}={ ,1, 2,2}, 2 1 ∴A∩B={ ,1},故选 C. 2 6.设全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 M={1,4},N={2,3},则集合{5,6}等于( ) A.M∪N B.M∩N C.(?UM)∪(?UN) D.(?UM)∩(?UN) [导学号 03350006] 解析:选 D.因为 M∪N={1,2,3,4},排除 A;M∩N=?,排除 B; (?UM)∪(?UN)=?U(M∩N)={1,2,3,4,5,6},排除 C;(?UM)∩(?UN)=?U(M∪N)={5,6},D 正 确,故选 D. 7.已知集合 A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中元素的个数 为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 [导学号 03350007] 解析:选 D.∵集合 A={x|x=3n+2,n∈N}, ∴当 n=0 时,3n+2=2,当 n=1 时,3n+2=5,当 n=2 时,3n+2=8,当 n=3 时, 3n+2=11,当 n=4 时,3n+2=14,?,又∵B={6,8,10,12,14}, ∴A∩B 中元素的个数为 2,故选 D. 1 8.已知集合 A={x|y= x},B={x| <2x<4},则(?RA)∩B 等于( ) 2 A.{x|-1<x<2} B.{x|-1<x<0}

C.{x|x<1} D.{x|-2<x<0} [导学号 03350008] 解析:选 B.因为 A={x|y= x}={x|x≥0}, 1 所以?RA={x|x<0}.又 B={x| <2x<4}={x|-1<x<2}, 2 所以(?RA)∩B={x|-1<x<0}. 9.设集合 M={x|x2-2x-3<0,x∈Z},则集合 M 的真子集个数为( ) A.8 B.7 C.4 D.3 [导学号 03350009] 解析: 选 B.依题意, M={x|(x+1)(x-3)<0, x∈Z}={x|-1<x<3, 3 x∈Z}={0,1,2},因此集合 M 的真子集个数为 2 -1=7,故选 B. 10.已知集合 A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|x-y=4},则 A∩B 为( ) A.{(3,-1)} B.{(-1,3)} C.(3,-1) D.{3,-1} ? ?x+y=2, [导学号 03350010] 解析:选 A.联立? ?x-y=4, ?
? ?x=3, 解得? ? ?y=-1, 所以 A∩B={(3,-1)},故选 A. 11.已知全集 U=Z,P={-2,-1,1,2},Q={x|x2-3x+2=0},则图中阴影部分表示 的集合为( )

A.{-1,-2} B.{1,2} C.{-2,1} D.{-1,2} [导学号 03350011] 解析:选 A.∵Q={1,2}, ∴P∩(?UQ)={-1,-2},故选 A. 1+x 12.已知集合 M={x| ≥0},则?RM=( ) 1-x A.{x|-1<x<1} B.{x|-1<x≤1} C.{x|x<-1 或 x≥1} D.{x|x≤-1 或 x≥1} 1+x [导学号 03350012] 解析:选 C.因为 ≥0 , 1-x
? ?x≠1, 所以? 解得-1≤x<1, ??x+1??x-1?≤0, ? 所以?RM={x|x<-1 或 x≥1},故选 C. 二、填空题 13.设集合 A={3,m},B={3m,3},且 A=B,则实数 m 的值是________. [导学号 03350013] 解析:由集合 A={3,m}=B={3m,3},得 3m=m,则 m=0. 答案:0 14.已知集合 U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则 A∪(?UB)=________. [导学号 03350014] 解析:∵?UB={2}, ∴A∪(?UB)={1,3}∪{2}={1,2,3}. 答案:{1,2,3} 15.已知 A={x|x2-3x+2<0},B={x|1<x<a},若 A?B,则实数 a 的取值范围是 ________.

[导学号 03350015] 解析:因为 A={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2}?B, 所以 a≥2. 答案:[2,+∞) 16.已知集合 A={x|ax=1},B={0,1},若 A?B,则由实数 a 的取值构成的集合为 ________. 1 [导学号 03350016] 解析:依题意,当 a=0 时,A=??B;当 a≠0 时,A={ }, a 1 则有 =1,a=1. a 因此,满足题意的实数 a 的取值构成的集合是{0,1}. 答案:{0,1}


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