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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1待定系数法


2.2.3
一、基础过关

待定系数法

1.将二次函数 y=x2 的图象沿 y 轴向下平移 h 个单位,沿 x 轴向左平移 k 个单位得到 y=x2 -2x+3 的图象,则 h,k 的值分别为 A.-2,-1 C.-2,1 B.2,-1 D.2,1 ( ) ( )

2.已知 2x2+x-3=(x-1)(ax+b),则 a,b 的值分别为 A.2,3 C.-2,3 B.2,-3 D.-2,-3

3.已知二次函数的图象顶点为(2,-1),且过点(3,1),则函数的解析式为 A.y=2(x-2)2-1 C.y=2(x+2)2+1 B.y=2(x+2)2-1 D.y=2(x-2)2+1

(

)

4.已知二次函数 y=x2-2ax+1 在区间(2,3)内是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A.a≤2 或 a≥3 C.a≤-3 或 a≥-2 B.2≤a≤3 D.-3≤a≤-2

)

5.二次函数的图象与 x 轴交于 A(-2,0),B(2,0), 并且在 y 轴上的截距为 4,则函数的解析式 为________________________________________________________________________. 6.如图所示,抛物线 y=-x2+2(m+1)x+m+3 与 x 轴交于 A、B 两点,且 OA=3OB,则 m =________.

7.已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,求此二次函数的解 析式. 8.已知函数 f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中 x∈R,a,b 为常数,求方程 f(ax+b) =0 的解集. 二、能力提升 9.已知函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c,且 a+b+c=0,则它的图象可能是图中的( )

?x2+bx+c, x≤0 ? 10.设函数 f(x)=? ,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x) ? x>0 ?2,

=x 的解的个数为 A.1 B.2 C.3 D.04

(

)

11.若一次函数 y=f(x)在区间[-1,3]上的最小值为 1,最大值为 3,则 f(x)的解析式为 __________. 12.已知二次函数 f(x)对一切 x∈R,有 f(2-x)=f(x),f(-1)=0,且 f(x)≥-1. (1)求二次函数的解析式; (2)若直线 l 过(1)中抛物线的顶点和抛物线与 x 轴左侧的交点,求 l 在 y 轴上的截距. 三、探究与拓展 13.若二次函数满足 f(x+1)-f(x)=2x 且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

答案
1.A 2.A 3.A 4.A 5.y=-x2+4 6.0

7.解

方法一

设 f(x)=ax2 +bx+c

?4a+2b+c=-1, ?a-b+c=-1, (a≠0),依题意有 ? ?4ac-b =8, ? 4a
2

解之,得

?a=-4, ? ?b=4, ?c=7, ?
∴所求二次函数的解析式为 y=-4x2+4x+7. 方法二 设 f(x)=a(x-m)2+n,∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 1 ∴抛物线的对称轴为 x= = .∴m= . 2 2 2 又根据题意函数有最大值为 n=8, 1 ∴y=f(x)=a(x- )2+8. 2 1 ∵f(2)=-1,∴a(2- )2+8=-1,解之,得 a=-4. 2 12 ∴f(x)=-4(x- ) +8=-4x2+4x+7. 2 方法三 依题意知:f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1),即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值 8, 4a?-2a-1?-a2 即 =8, 4a 解之,得 a=-4 或 a=0(舍去). ∴函数解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 8.解 ∵f(x)=x2+2x+a,∴f(bx)=(bx)2+2bx+a=b2x2+2bx+a=9x2-6x+2.

?b =9, ? 则有?2b=-6, ?a=2, ?

2

?b=-3, ? 即? ? ?a=2.

∴f(2x-3)=(2x-3)2+2(2x-3)+2=4x2-8x+5=0. ∵Δ=64-80<0,∴方程 f(ax+b)=0 无实根. 9.D 10.C 1 3 1 5 11.f(x)= x+ 或 f(x)=- x+ 2 2 2 2 12.解 (1)由 f(2-x)=f(x),得二次函数图象的对称轴为 x=1,由 f(x)≥-1 对一切 x∈R 成

立, 得二次函数的最小值为-1. 设二次函数的解析式为 f(x)=a(x-1)2-1, 1 ∵f(-1)=0,∴4a-1=0,∴a= , 4 1 1 2 1 3 ∴f(x)= (x-1)2-1= x - x- . 4 4 2 4 (2)设直线 l 的解析式为 g(x)=kx+b. 由(1)知,抛物线顶点为 C(1,-1), 1 1 3 由 x2- x- =0,解得 x1=-1,x2=3, 4 2 4 ∴l 过点 A(-1,0),
?k+b=-1 ? ∴? ,解得 ? ?-k+b=0

?k=-2 ? 1 ?b=-2
1



1 1 ∴一次函数为 y=- x- . 2 2 1 在 y 轴上的截距为 b=- . 2 13.解 (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由 f(0)=1,∴c=1,∴f(x)=ax2+bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x,∴2ax+a+b=2x, ? ? ?2a=2 ?a=1 ∴? ,∴? ,∴f(x)=x2-x+1. ?a+b=0 ?b=-1 ? ? (2)由题意:x2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立,即 x2-3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立. 3 5 令 g(x)=x2-3x+1-m=(x- )2- -m, 2 4 3 其对称轴为 x= , 2 ∴g(x)在区间[-1,1]上是减函数, ∴g(x)min=g(1)=1-3+1-m>0, ∴m<-1.


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