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北京市朝阳区2016届高三上学期期中考试数学理试卷


北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学试卷(理工类)

2015.11

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题

,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? {x x ? 3, x ? R} , B ? {x x ?1 ? 0, x ? N} ,则 A ? B ? ( A. {0,1} )

2} B. {0,1,

C. {2,3} )

D. {1,2,3}

2.已知 ? ? (0, ?) ,且 cos ? ? ? A.

3 ,则 tan ? ? ( 5
C.

3 4

B. ?

3 4

4 3

D. ?

4 3


3. 已知等差数列 {an } 的公差为 2 ,若 a1 , a2 , a4 成等比数列,那么 a1 等于( A. 2 4. 给出下列命题: B. 1
2

C. ?1

D. ?2
2

①若给定命题 p :?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p :?x ? R , 均有 x ? x ? 1 ? 0 ; ②若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题;
2 2 ③命题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”的否命题为“若 x ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 ,

其中正确的命题序号是( A.① B. ①②

) C. ①③ D. ②③

5.已知函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? )( x ? R,A ? 0,? ? 0, ? ? ) 的图象(部分)如图所示,则

? 2

f ( x) 的解析式是(

) y 2

? A. f ( x) ? 2sin(?x ? ) 6 ? B. f ( x) ? 2sin(2?x ? ) 6 ? C. f ( x) ? 2sin(?x ? ) 3 ? D. f ( x) ? 2sin(2?x ? ) 3

O

1 3

5 6
x

-2

6.设 p:

2x ?1 ? 0 ,q: x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实 x ?1
) B. [0, )

数 a 的取值范围是( A. (0, )

1 2

1 2

C. (0, ]

1 2

D. [ ,1)

1 2

??? ? ??? ? 7.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , BC
的值是 A. 5 B.

? 3 , M , N 分别是 BC 边上的三等分点,则 AM ? AN

21 4

C. 6

D. 8

? x 2 ? 2, x ? [0, 1), 8.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ? 且 f ( x ? 2) ? f ( x) .若方程 2 ?2 ? x , x ? [?1, 0),

f ( x) ? kx ? 2=0 有三个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是(
1 A. ( ,1) 3 1 1 B. ( ? , ? ) 3 4 1 1 C. ( ,1) ? (?1, ? ) 3 3



1 1 1 1 D. (? , ? ) ? ( , ) 3 4 4 3

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.已知三个数 ( ) , log 2 3, log 2 π ,其中最大的数是

1 2

π



1? b = ??1, 3? .若向量 a ? (a + ?b) ,则实数 ? 的值是 10.已知平面向量 a = ? 2,,
E 是 CD 中点, 11. 如图, 在 ? ABCD 中, BE ? xAB ? yAD ,
则x? y ? .
A


C

??? ?

??? ?

??? ?

D

E

B

12.若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ( ? ? 0, ? ? 0 )是偶函数,则

? 的最小值为
13. 若函数 f ( x ) ?



a ? sin x π π 在区间 ( , ) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 cos x 6 3

.

14. 如图, E 是 BC 边上一动点 已知边长为 4 的正方形 ABCD, (与 B、C 不重合) ,连结 AE,作 EF⊥AE 交∠BCD 的外角平 ??? ? ??? ? 分线于 F.设 BE ? x ,记 f ( x) ? EC ? CF ,则函数 f ( x) 的值域 是

A

D F

??? ? ;当 ?ECF 面积最大时, EF ?

.

B

E

C

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin cos ? 2cos2 (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递减区间及对称轴方程. 16. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,且 bn ? (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求证: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2 . 17. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b , c .且 cos B ? ? (Ⅰ)若 a ? 2, b ? 2 3 ,求角 C ; (Ⅱ)求 sin A ? sin C 的取值范围. 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

x 2

x 2

x . 2

π 3

1 . Sn

1 . 2

x2 ? (a ? 1) x . 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,证明 f ( x ) ?

1 . 2

19. (本小题满分 14 分)
?x 2 已知函数 f ( x) ? e (ax ? bx ? 1) (其中 e 是常数, a ? 0 , b ? R ),函数 f ( x ) 的导

函数为 f ?( x ) ,且 f ?(?1) ? 0 . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ?

1 时,若函数 f ( x ) 在区间 [?1,1] 上的最大值为 4e ,试求 a , b 的值. 5

20. (本小题满分 14 分) 已知实数数列 {an } 满足: an?2 ?| an?1 | ?an (n ? 1,2,?) , a1 ? a, a2 ? b ,记集合

M ? {an | n ? N? }.

(Ⅰ)若 a ? 1, b ? 2 ,用列举法写出集合 M ; (Ⅱ)若 a ? 0, b ? 0 ,判断数列 {an } 是否为周期数列,并说明理由; (Ⅲ)若 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 0 ,求集合 M 的元素个数的最小值.


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