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2.4《幂函数》教案(苏教版必修1)


幂函数
教学目标:
使学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型 ,掌握从特殊到一般地去进行类比 研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.

教学重点:
幂函数的定义和图象.
[来源:学科网]

教学难点:
幂函数的图象.
[来源:学,科,网]

教学过程:

[来源:学科网 ZXXK]

Ⅰ.复习引入 幂函数的定义 Ⅱ.讲授新课 问题 1:我们知道,分数指数幂可以与根式相互转化.把下列各函数先化成根式形式, 再指出它的定义域和奇偶性.利用计算机画出它们的图象,观察 它们的图象,看有什么共 同点?
1 1 2 4

(1)y= x 2 ; (2)y= x 3 ; (3)y= x 3 ; (4)y= x 3 . 思路:先将各式化为根式形式,函数的定义域就是使这些根式有意义的实数 x 的集合; 奇偶性直接利用定义进行判断. (1)定义域为[0,+ ? )(2) (4)定义域都是 R;其 , (3) 中(1)既不是奇函数也不是偶函数, (2)是奇函数, (4)是偶函数.它们的图象都经 (3) 过点(0,0)和(1,1) ,且在第一象限内函数单调递增. 问题 2: 仿照问题 1 研究下列函数的定义域和奇偶性, 观察它们的图象看有什么共同点? (1)y=x 1; (2)y=x 2; (3)y= x
- -

1 - 2

; (4)y= x



1 3



思路:先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式,函数的定义域就是使这 些分式和根式有意义的实数 x 的集合; (2) (1) (4)的定义域都是{x|x ≠0}, (3)的定义域 是(0,+ ? )(1) ; (4)是奇函数, (2)是偶函数, (3)既不是奇函数也不是偶函数.它 们的图象都经过点(1,1) ,且在第一象限内函数单调递减,并且以两坐标轴为渐近线.
网 Z.X.X.K] [来源:学.科.

总结:研究幂函数时,通常先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式(幂 指数是负整数时化为分式) ;根据得到的分式或根式研究幂函数的性质.函数的定义域就是 使这些分式和根式有意义的实数 x 的集合;奇偶性和单调性直接利用定义进行判断.问题 1 和问题 2 中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势,有利于我们进行类比. [例 1]讨论函数 y= x 的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图.
用心 爱心 专心
2 5

[来源:Zxxk.Com]

思路 :函数 y= x 是幂函数. (1)要使 y= x = x2 有意义,x 可以取任意实数,故函数定义域为 R. (2)∵x ? R,∴x2≥0.∴ y≥0. (3)f(-x)= (-x)2 = x2 =f(x) , 2 (4)∵n=5 >0,
2 5 2 5

2 5

5

5

5

2

∴函数 y= x 5 是偶函数;
[来源:学*科*网]

2

∴幂函数 y= x 5 在[0,+ ? ]上单调递增.

由于幂函数 y= x 是偶函数, ∴幂函 数 y= x 在(-∞,0)上单调递减. (5)其图象如右图所示. [例 2]比较下列各组 中两个数的大小:
3 3

2 5

(1)1.5 5 ,1.7 5 ; (2)0.71.5,0.61.5; (-1.2) (3)
3 5

?

2 3

, (-1.25)

?

2 3



解析: (1)考查幂函数 y= x 的单调性,在第一象限内函数单调递增, ∵1.5<1.7 ∴1.5 <1.7
3 2
3 5 3 5

(2)考查幂函数 y= x 的单调性,同理 0.71.5>0. 61. 5. (3)先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数, ∵(-1.2) ∴(-1.2)
? 2 3 2 3
[来源:Zxxk.Com]

[来源:Z§xx§k.Com]

=1.2

?

2 3

, (-1.25)
? 2 3

?

2 3

=1.25

?

2 3

,又 1.2

?

2 3

>1.25

?

2 3
[来源:学科网 ZXXK]

?

>(-1.25)

点评:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;

[来源:学科网 ZXXK]

(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比 较大小. [例 3]求函数 y= x +2x +4(x≥-32)值域. 解析:设 t =x ,∵x≥-32,∴t≥-2,则 y=t2+2t+4=(t+1) 2+3. 当 t=-1 时,ymin=3.
1 5

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用心

爱心

专心

∴函数 y= x +2x +4(x≥-32)的值域为[3,+∞) . 点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法. Ⅲ.课堂练习 课本 P73 1,2 Ⅳ.课时小结 [师]通 过本节学习,大家能熟悉 并掌握幂函数的图象,提高数学应用的能力. Ⅴ.课后作业 课本 P73 习题 1,2,3,4

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