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2015年东北三省四市联合体高三第二次模拟考试数学


2015 年东北三省四市联合体高三第二次模拟考试数 学(理科) 第I卷
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
2 1. 已知集合 A ? {x ?1 ? x ? 1} , B ? {x x ? 2 x ? 0} ,则 A

B? (

)<

br />
(A) [?1,0]

(B) [1,2]

(C) [0,1]

(D) (??,1] [2, ??) ) (D) ?1 ? i

2. 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则 (A) 1 ? i (B) 1 ? i
?

2 ? z 2 =( z

(C) ?1 ? i

3. 已知 a =1, b = 2 ,且 a ? (a ? b ) ,则向量 a 与向量 b 的夹角为( (A)

?

?

?

?

?

?



? 6
1 2

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

2? 3

4. 已知△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 (A) (B)1 (C) 3 (D)

2 2 2 ,若 a ? b ? c ? bc , bc ? 4 ,则△ ABC 的面积为( )

5. 已知 a ???2,0,1,3,4? , b ??1, 2? ,则函数 (A)

f ( x) ? (a2 ? 2) x ? b 为增函数的概率
3 10

2 5

(B)

3 5

(C)

1 2

(D)

6. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序. 若输出的 S 为 可以是( ) (B) n ? 6 (C) n ? 6 (D) n ? 8

11 ,则判断框中填写的内容 12

(A) n ? 6

7. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多 面体的三视图,则该多面体的体 积为( )

64 32 3 (D) 3 3 2 8. 已知直线 y ? 2 2( x ?1) 与抛物线 C : y ? 4 x 交于 A, B 两点,点 M (?1, m) ,若 MA ? MB ? 0 ,则实数 m ? (
(A)

32 3

(B) 64

(C)



(A) 2

(B)

2 2

(C)

1 2

(D) 0

9. 对定义在 [0,1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x) 称为 M 函数:① 对任意的 x ? [0,1] ,恒有 f ( x) ? 0 ; ② 当 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 时,总有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则下列函数不是 M 函数的是( (A) f ( x) ? x
2



(B) f ( x) ? 2 ? 1 (C) f ( x) ? ln( x ? 1) (D) f ( x) ? x ? 1
x 2 2

?x ? 4 y ? 4 ? 0 ? 10. 在平面直角坐标系中,若 P ( x, y ) 满足 ? 2 x ? y ? 10 ? 0 ,则当 xy 取得最大值时,点 P 的坐标是( ) ?5 x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
(A) (4, 2) (B) (2, 2) (C) (2, 6) (D) ( ,5)
1

5 2

11. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 与函数 y ? x ( x ? 0) 的图象交于点 P . 若函数 y ? x 在点 P 处的切线过 a 2 b2 双曲线左焦点 F (?1, 0) ,则双曲线的离心率是( )
5 ?1 2
(B)

(A)

5?2 2

(C)

3 ?1 2

(D)

3 2


12. 若对 ?x, y ?[0, ??) ,不等式 4ax ? e x ? y ?2 ? e x ? y ?2 ? 2 恒成立,则实数 a 的最大值是( (A)

1 4

(B)1

(C)2

(D)

1 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题 为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 函数 y ? 14. ? x ?

? 1 3 sin x ? cos x ( x ? [0, ] )的单调递增区间是__________. 2 2 2
6

1 ? . ? 的展开式中常数项为 2x ? 15. 已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 [0, ??) 单调递增,且 f (1) ? 0 ,则不等式 f ( x ? 2) ? 0 的解集是
面与底面所成的角分别为 ? 、 ? ,则 tan(? ? ? ) 的值是 .

? ?



16. 同底的两个正三棱锥内接于同一个球.已知两个正三棱锥的底面边长为 a,球的半径为 R.设两个正三棱锥的侧

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项的和为 Sn ,且满足 an ?

2Sn 2 (n ? 2) . 2Sn ? 1

(Ⅰ) 求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列; S ? n?
1 1 1 3 S2 ? S3 ? ... ? S n ? . 2 3 n 2

(Ⅱ) 证明:当 n ? 2 时, S1 ? 18. (本小题满分 12 分)

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠DAB= 60 ,PD⊥平面 ABCD,PD=AD=1,点 E , F 分 别为 AB 和 PD 中点. (Ⅰ)求证:直线 AF // 平面 PEC ;
F P

(Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值. 19. (本小题满分 12 分) 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练, 每人投 10 次,投中的次数统计如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 4 2号 5 8 3号 7 9
2
A E B D C

4号 9 7

5号 8 7

(Ⅰ)从统计数据看,甲乙两个班哪个班成绩更稳定(用数据说明)? (Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率,规定两个班级的 1 号和 2 号两名同学分别代表自己的班级参加比赛, 每人投篮一次,将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作 X 和 Y ,试求 X 和 Y 的分布列和数学期望. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 (0,1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)证明:过椭圆 C1 :

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(m ? n ? 0) 上一点 Q( x0 , y0 ) 的切线方程为 0 2 ? 02 ? 1 ; 2 m n m n

(Ⅲ)从圆 x2 ? y 2 ? 16 上一点 P 向椭圆 C 引两条切线,切点分别为 A, B ,当直线 AB 分别与 x 轴、 y 轴交于 M 、

N 两点时,求 MN 的最小值.
21.(本小题满分 12 分) 若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ?

f ?(1) 2 x ? 2 ?e ? x 2 ? 2 f (0) x , 2

x 1 g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a , a ?R. 2 4
(Ⅰ)求函数 f ( x) 解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 单调区间; (Ⅲ)若 x 、 y 、 m 满足 | x ? m |?| y ? m | ,则称 x 比 y 更接近 m .当 a ? 2 且 x ? 1 时,试比较 个更接近 ln x ,并说明理由. 请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, BC , CD 为 圆 O 的切线, B , D 为切点. (Ⅰ)求证: AD // OC ; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 2,求 AD ? OC 的值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

e x ?1 和e ? a 哪 x

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ?

(Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程;
3

(Ⅱ)已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求△ ABM 面积的最大值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ? 2 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集;
2 (Ⅱ)若 ?x ? R , f ( x ) ? t ?

7 t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2

4

数学(理科)参考答案与评分标准 一.选择题 (1)C;(2)A;(3)B;(4)C;(5)B;(6)C;(7)D;(8)B;(9)D;(10)D;(11) A;(12) D. 二.填空题 (13) [0,

?
6

]; (14) ?

5 4 3R ;(15) (??,1] [3, ??) ; (16) ? . 2 3a
2 2Sn , 2Sn ? 1

三.解答题 (17)解:(Ⅰ)当 n ? 2 时, Sn ? Sn ?1 ? …………………2 分

Sn?1 ? Sn ? 2Sn Sn?1

?1? 1 1 ? ? 2 ,从而 ? ? 构成以1为首项,2为公差的等差数列. ? Sn ? . Sn Sn ?1
1 1 1 . ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,? Sn ? 2n ? 1 Sn S1
………8 分

…………………………6分

(Ⅱ)由(1)可知,

当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? ? ? ? ( ? ) . ……10 分 n n(2n ? 1) n(2n ? 2) 2 n(n ? 1) 2 n ? 1 n
1 1 1 1 1 1 ? 1 1 3 1 3 ? )? ? ? n ? 1 n 2 2n 2 . …12 分

从而 S1 ? 2 S2 ? 3 S3 ? ... ? n Sn ? 1 ? 2 (1 ? 2 ? 2 ? 3 ?

1

(18)解:(Ⅰ)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M. ∵点 F 为 PD 中点,∴ FM ? ∵k ?

P

1 CD . …………2 分 2

F

M

1 1 ,∴ AE ? AB ? FM , 2 2
……4 分
A E

D

C

∴AEMF 为平行四边形,∴AF∥EM,

B

∵ AF ? 平面PEC,EM ? 平面PEC , ∴直线 AF // 平面 PEC. (Ⅱ) ……………6 分
P z

?DAB ? 60 ,? DE ? DC .如图所示,建立坐标系,则
F

P(0,0,1),C(0,1,0),E(

1 3 3 3 1 ,0,0),A( , ? ,0), B( , , 0) , 2 2 2 2 2
A x E

D

C

y

∴ AP ? ? ?

? ? ?

3 1 ? , ,1? , AB ? ? 0,1,0? . …8 分 2 2 ? ?

B

设平面 PAB 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? .

5

? 3 1 3 x? y?z ?0 ?? ∵ n ? AB ? 0 , n ? AP ? 0 ,∴ ? 2 ,取 x ? 1 ,则 z ? , 2 2 ?y ? 0 ?
∴平面 PAB 的一个法向量为 n ? (1, 0,

3 ). 2

…………………………10 分

设向量 n与PC所成角为?, ∵ PC ? (0,1, ?1) ,∴ cos ? ?

n ? PC n PC

?

?

3 2

7 ? 2 4

??

42 , 14

∴PC 平面 PAB 所成角的正弦值为

42 . 14

.…………………………12 分 ……………………1 分 …………3 分

(19)解:(Ⅰ)两个班数据的平均值都为 7,

2 2 2 2 2 6-7) +(5-7) +(7-7) +(9-7) +(8-7) 2 ( s ? =2 , 甲班的方差 1 5

乙班的方差 s2 ?
2

2 2 2 2 2 (4-7) +(8-7) +(9-7) +(7-7) +(7-7) 14 = , …………5 分 5 5

2 2 因为 s1 ,甲班的方差较小,所以甲班的成绩比较稳定. ? s2

………………6 分

(Ⅱ) X 可能取 0,1,2

P ( X ? 0) ?

2 1 1 3 1 3 3 1 2 1 1 ? ? , P ( X ? 1) ? ? ? ? ? , P( X ? 2) ? ? ? , 5 2 5 5 2 10 5 2 5 2 2

所以 X 分布列为:

X
P
数学期望 EX ? 0 ?

0

1

2

1 5

1 2

3 10
…………………………………9 分

1 1 3 11 ? 1? ? 2 ? ? . 5 2 10 10

Y 可能取 0,1,2
3 1 3 2 4 8 3 4 2 1 14 P(Y ? 0) ? ? ? , P(Y ? 1) ? ? ? ? ? , P (Y ? 2) ? ? ? , 5 5 25 5 5 25 5 5 5 5 25
所以 Y 分布列为:

Y
P

0

1

2

3 25

14 25

8 25

6

数学期望 EY ? 0 ?

3 14 8 6 ? 1? ? 2 ? ? . 25 25 25 5

…………………………12 分

(20)解:(Ⅰ)

b ? 1, e ?

x2 c 3 ? y 2 ? 1. ………………2 分 , ? a ? 2, b ? 1 ,? 椭圆 C 方程为 = 4 a 2

(Ⅱ)法一:椭圆 C1 : 故 y? ? ?

x2 y 2 x2 ? ? 1 ,当 时, y ? 0 y ? n 1? 2 , m2 n2 m


nx ? m2

1 x2 1? 2 m

? 当 y0 ? 0 时, k ? ?

n x0 ? m2

1
2 x0 1? 2 m

??

n 1 n2 x0 x ? ? ? . 0 y0 m2 m2 y0 n

……………4 分

n2 x0 切线方程为 y ? y0 ? ? 2 ? ? x ? x0 ? , m y0
2 2 n2 x0 x ? m2 y0 y ? m2 y0 ? n2 x0 ? m2n2 ,

x0 x y0 y ? 2 ? 1. m2 n

…………………………6 分

同理可证, y0 ? 0 时,切线方程也为 当 y0 =0 时,切线方程为 x ? ? m 满足

x0 x y0 y ? 2 ? 1. m2 n x0 x y0 y ? 2 ? 1. m2 n

综上,过椭圆上一点 Q( x0 , y0 ) 的切线方程为

x0 x y0 y ? 2 ? 1. m2 n

……………………7 分

解法 2. 当斜率存在时,设切线方程为 y ? kx ? t ,联立方程:

? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 可得 n2 x2 ? m2 (kx ? t )2 ? m2n2 ,化简可得: (n2 ? m2 k 2 ) x2 ? 2m2ktx ? m2 (t 2 ? n2 ) ? 0 ,① ?m n ? y ? kx ? t ?
由题可得: ? ? 4m k t ? 4m (n ? m k )(t ? n ) ? 0 ,
4 2 2 2 2 2 2 2 2

……………………4 分

2 2 2 2 化简可得: t ? m k ? n ,①式只有一个根,记作 x0 , x0 ? ?

m2 kt m2 k ? ? , x0 为切点的横坐标, n 2 ? m2 k 2 t

切点的纵坐标 y0 ? kx0 ? t ?

n2 x n2 x m2 k ,所以 0 ? ? 2 ,所以 k ? ? 2 0 , t y0 n m y0

n2 x0 所以切线方程为: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ? ? 2 ( x ? x0 ) , m y0
化简得:

x0 x y0 y ? 2 ? 1. m2 n

…………………………… 6 分

7

当切线斜率不存在时,切线为 x ? ? m ,也符合方程

x0 x y0 y ? 2 ? 1, m2 n

综上:

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 0 2 ? 02 ? 1 . 2 m n m n
………………………… 7 分

(其它解法可酌情给分)

(Ⅲ)设点 P ( xp , y p ) 为圆 x2 ? y 2 ? 16 上一点, PA, PB 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1的切线,切点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,过点 4

A 的椭圆的切线为

x1 x xx ? y1 y ? 1 ,过点 B 的椭圆的切线为 2 ? y2 y ? 1 . 4 4

两切线都过 P 点,?

x1 x p 4

? y1 y p ? 1, xx p 4

x2 x p 4

? y2 y p ? 1 .
…………………… 9 分

? 切点弦 AB 所在直线方程为

? yy p ? 1 .

2 2 1 4 16 1 ? 16 1 ? x ? y p 2 ? M (0, ) , N ( , 0) ,? MN ? 2 ? 2 = ? 2 ? 2 ? ? p ? xp yp ? yp xp ? x p y p ? 16

=

2 ? 1? y2 x2 y2 1 ? xp p p p ? ? 17 ? 16 ? ? 17 ? 2 16 ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? ? 16 ? y p x p ? 16 ? y p xp ?

? 25 ?? . ? 16 ?

当且仅当

x2 p y
2 p

? 16

y2 p x
2 p

2 ,即 xP ?

64 16 , yP 2 ? 时取等, 5 5
……………………………………12 分

? MN ?

5 5 ,? MN 的最小值为 . 4 4

(21)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f '( x) ? f '(1)e2 x?2 ? 2x ? 2 f (0) ,所以 f '(1) ? f '(1) ? 2 ? 2 f (0) ,即 f (0) ? 1 . 又 f (0) ?

f ?(1) ?2 ? e ,所以 f '(1) ? 2e2 , 2
2x

所以 f ( x) ? e (Ⅱ)

? x2 ? 2x .

……………………………………4 分

f ( x) ? e 2 x ? 2 x ? x 2 ,

x 1 1 1 ? g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? e x ? x 2 ? x ? x 2 ? (1 ? a ) x ? a ? e x ? a ( x ? 1) . 2 4 4 4
……………5 分

? g ?( x) ? e x ? a ,
①当 a ≤ 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x 在 ) R 上单调递增; .……………6 分

? ②当 a ? 0 时,由 g ( x) ? e ? a ? 0 得 x ? ln a ,
x

8

∴ x ? ? ??,ln a ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; x ? ? ln a, ??? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增. 综上,当 a ≤ 0 时,函数 g ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) ;当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? ln a, ??? , 单调递减区间为 ? ??,ln a ? . (Ⅲ)解:设 p ( x) ? .……………8 分

e ? ln x, q ( x) ? e x ?1 ? a ? ln x , x

p '( x) ? ?

e 1 ? ? 0 ,? p( x) 在 x ? [1, ??) 上为减函数,又 p(e) ? 0 , x2 x

? 当 1 ? x ? e 时, p( x) ? 0 ,当 x ? e 时, p( x) ? 0 .
q '( x) ? e x ?1 ? 1 1 x ?1 , q ''( x) ? e ? 2 ? 0 , x x

? q '( x ) 在 x ? [1, ??) 上为增函数,又 q '(1) ? 0 , ? x ? [1, ??) 时, q '( x) ? 0 ,? q( x) 在 x ? [1, ??) 上为增函数,
? q( x) ? q(1) ? a ? 2 ? 0 .
①当 1 ? x ? e 时, | p ( x) | ? | q( x) |? p( x) ? q( x) ? 设 m( x ) ?

e ? e x ?1 ? a , x

e e ? e x ?1 ? a ,则 m '( x) ? ? 2 ? e x ?1 ? 0 ,? m( x) 在 x ? [1, ??) 上为减函数, x x

? m( x) ? m(1) ? e ? 1 ? a ,

a ? 2 ,? m( x) ? 0 ,? | p( x) |?| q( x) | ,?

e x ?1 比 e + a 更接近 ln x . x

②当 x ? e 时, | p( x) | ? | q( x) |? ? p( x) ? q( x) ? ? 设 n( x) ? 2ln x ? e
x ?1

e ? 2 ln x ? e x ?1 ? a ? 2 ln x ? e x ?1 ? a , x

? a ,则 n '( x) ?

2 x ?1 2 ? e , n ''( x) ? ? 2 ? e x ?1 ? 0 , x x

? n '( x ) 在 x ? e 时为减函数,? n '( x) ? n '(e) ?

2 e ?1 ?e ? 0, e

? n( x) 在 x ? e 时为减函数,? n( x) ? n(e) ? 2 ? a ? ee?1 ? 0 ,

? | p( x) |?| q( x) | ,?

e x ?1 比 e + a 更接近 ln x . x e x ?1 比 e + a 更接近 ln x . x
…………………………… 12 分

综上:在 a ? 2, x ? 1 时,

(22) 解: (1)连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线,? BD ? OC ,

? ?ODB ? ?DOC ? 90? ,又? AB 为圆 O 的直径,? AD ? DB ,
9

? ?ADO ? ?ODB ? 90? ? ?OAD ? ?ODA ,? ?OAD ? ?DOC ,即得证,……5 分
(2)? AO ? OD ,? ?DAO ? ?DOC ,? Rt △ BAD ∽△ COD ,

AD ? OC ? AB ? OD ? 8 .

………………………………………………………… 10 分

(23)解:(1)圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?
…………………………………………2 分 …………………5 分 ………………………6 分

所以普通方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4

? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0
(2)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

d?

| 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | 2

………………………7 分

△ ABM 的面积 S ?

1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | ……………9 分 2 4
………………………10 分

所以△ ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2

?? x ? 4, x ? ?1 ? (24) 解:(1) f ( x) ? ?3 x, ?1 ? x ? 2 , ? x ? 4, x ? 2 ?

………………………2 分

当 x ? ?1, ? x ? 4 ? 2, x ? ?6,? x ? ?6 当 ?1 ? x ? 2,3x ? 2, x ?

2 2 ,? ? x ? 2 3 3

当 x ? 2, x ? 4 ? 2, x ? ?2,? x ? 2 综上所述 ? x | x ?

? ?

2 ? 或x ? ?6? . ………5 分 3 ?
11 t 恒成立, 2

2 (2)易得 f ( x)min ? f (?1) ? ?3 ,若 ?x ? R , f ( x ) ? t ?

2 则只需 f ( x) min ? ?3 ? t ?

7 3 t ? 2t 2 ? 7t ? 6 ? 0 ? ? t ? 2 , 2 2
………………………10 分

综上所述

3 ? t ? 2. 2

10


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