当前位置:首页 >> 数学 >>

陕西省西安市第一中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学理试题


西安市第一中学 2012-2013 学年度第一学期期末考试 高二年级数学(理)试题
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.每题只有一个正确选 项,请将答案填在答题纸上) 1.命题“若 A ? B ,则 sin A ? sin B ”的逆否命题是( ) A.若 sin A ? sin B ,则 A ? B B.若 sin A ? sin B

,则 A ? B C.若 A ? B ,则 sin A ? sin B D.若 A ? B ,则 sin A ? sin B 2、对抛物线 y ? 4x2 ,下列描述正确的是( A、开口向上,焦点为 (0,1) )

1 ) 16 1 C、开口向右,焦点为 (1, 0) D、开口向右,焦点为 (0, ) 16 3. “直线 l 与平面 ? 内无数条直线都平行” “直线 l 与平面 ? 平行” 是 的( A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 4.以下四组向量中,互相平行的有( )组. ? ? ? ? (1) a ? (1, ?2,1) , b ? ( ?1, 2, ?1) ; (2) a ? (8, 4, 0) , b ? (2,1, 0) ; ? ? ? 4 ? (3) a ? (1, 0, ?1) , b ? (?3, 0,3) ; (4) a ? (? ,1, ?1) , b ? (4, ?3,3) 3 A.1 B.2 C.3 D.4
B、开口向上,焦点为 (0,
2 5.命题“对任意的 x ?R ,都有 x ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为( 2 A.存在 x ?R , x ? 2 x ? 4 ? 0 使 2 C.存在 x ?R ,使 x ? 2 x ? 4 ? 0

)

)

2 B.对任意的 x ?R , 都有 x ? 2 x ? 4 ? 0 2 D.存在 x ?R ,使 x ? 2 x ? 4 ? 0

6. 已知两定点 F1 (5,0) , F2 (?5,0) ,曲线上的点 P 到 F1 、 F2 的距离之差的绝对值 是 6,则该曲线的方程为( A.
x2 y 2 ? ?1 9 16

) C.
x2 y 2 ? ? 1 D. 25 36

B.

x2 y 2 ? ?1 16 9

y 2 x2 ? ?1 25 36

7.设 M 是椭圆

x2 y2 ? ? ? 1 上的一点, F , F2 为焦点,且 ?F1MF2 ? ,则 ?MF F2 1 1 25 16 6

的面积为(



A、

16 3 3

B、 16(2 ? 3)

C、 16(2 ? 3)

D、16

8. 设 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交 4 3

于 P、Q 两点,当四边形 PF1QF2 面积最大时, PF1 ? PF2 的值等于( A.0 B.1 C.2 D.4



x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 9、设点 P 是以 F1 , F2 为左、右焦点的双曲线 a 左支上一点,

? 2 且 满 足 PF ? PF2 ? 0, t a n PF F1 ? 1
( A. 3 )
13 B. 2

2 ,则此双曲线的离心率为 3

C. 5

D. 13

10.椭圆

b2 ?1 1 x2 y2 + 2 =1(a>b>0)的离心率是 ,则 的最小值为( 3a 2 a2 b



A.

3 3

B.1

C.

2 3 3

D.2

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡上) 11. 焦点在 y 轴上,虚轴长为 8,焦距为 10 的双曲线的标准方程是 ; 12. 过椭圆

x2
3

+y2=1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点,则 A 、 B 与 .
29 且 ? ? 0 ,

椭圆的另一焦点 F2 构成的△ ABF2 的周长为
? ? ? ? 13. 已知向量 a ? (0, ?1,1) , b ? (4,1, 0) , | ? a ? b |? 则 ? = ____________.

14.若点 P 到点 F (4,0) 的距离比它到直线 x ? 5 ? 0 的距离少 1, 则动点 P 的轨迹方 程是 __________. ;

15. 直线 y ? x 被曲线 2 x2 ? y2 ? 2 截得的弦长为

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证

明过程)
y2 x2 13 16.已知椭圆的顶点与双曲线 ? ? 1 的焦点重合,它们的离心率之和为 , 4 12 5 若椭圆的焦点在 x 轴上,求椭圆的方程.

17. 如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱) ABC ? A1 B1C1 ,底面 ?ABC中

CA ? CB ? 1, ?BCA? 900 ,棱 AA1 ? 2 , M、N 分别为 A1 B1、A1 A 的中点.
(1)求 cos ? BA1 , CB1 >的值; (2)求证: BN ? 平面C1 MN (3)求 点B1到平面C 1MN 的距离 .
A1 M N C A B C1 B1

18. 图 1 是一个正方体的表面展开图,MN 和 PB 是两条面对角线,请在图 2 的正 方体中将 MN 和 PB 画出来,并就这个正方体解决下列问题 (1) 求证:MN//平面 PBD; (2) 求证:AQ ? 平面 PBD; (3)求二面角 P-DB-M 的余弦值。

19.已知抛物线 y 2 ? 4 x 及点 P ( 2,2) , 直线

l 的斜率为 1 且不过点 P,与抛物线交于 A,B 两点。
(1) 求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围; (2) 若 AP,BP 分别与抛物线交于另一点 C,D,证明:AD、BC 交于定点。 20.已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点 到两个焦点的距离分别是 7 和 1 (1)求椭圆 C 的方程 (2)若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,
OP OM ?e

(e 为椭圆 C 的离心率) ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线?

附加题: (每题 10 分,共 20 分) x2 1、已知 F1 、 F2 分别是椭圆 ? y 2 ? 1 的左、右焦点。 4 (1) P 是第一象限内该椭圆上的一点,PF ? PF2 ? ? 若 1

5 , 求点 P 的坐标; 4

(2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,且 ?AOB 为 锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 2、已知椭圆 C :
x2 y 2 1 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 P (1, ) , F 为其右焦 2 a b 2 2

点. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 设过点 A(4, 0) 的直线 l 与椭圆相交于 M 、N 两点 (点 M 在 A, N 两点之间) , 若 △ AMF 与 △MFN 的面积相等,试求直线 l 的方程. 高二数学(理科)答案 一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 题 号 A B C D C A C C 答 案 二、填空题(每空 4 分,共 24 分) 11、
y2 x2 ? ?1 9 16

9 D

10 A

12、 4 3

13、 3

14、 y 2 ? 16x

15、

4 3 3

三、解答题: (17、18 题各 8 分,其余题每题 10 分,共 46 分) x2 y 2 16、解:设所求椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,其离心率为 e ,焦距为 2 c ,双曲线 a b 2 2 y x ? ? 1 的焦距为 2 c1 ,离心率为 e1 , ,则有: 4 12 c12 ? 4 ? 12 ? 16 , c1 =4 c ∴ e1 ? 1 ? 2 2 13 3 c 3 ∴ e ? ? 2 ? ,即 ? ① 5 5 a 5 又 b ? c1 =4 ②
a 2 ? b2 ? c 2 ③

由①、 ②、③可得 a 2 ? 25 ∴ 所求椭圆方程为
x2 y2 ? ?1 25 16

17、解:以 C 为原点,CA、CB、CC1 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如 图所示的坐标系 O - xyz (1)依题意得 A1 (1,0,2), C(0,0,0), B1 (0,1,2) ,∴ BA1 ? (1,?1,2), CB1 ? (0,1,2) ∴
BA1 ? CB1 ? 1? 0 ? (?1) ? 1 ? 2 ? 2 ? 3
BA1 ? 6 , CB1 ? 5

,

∴ cos ? BA1 , CB1 >=

BA ? CB1 1 BA ? CB1 1

?

30 10
1 1 ∴ M ( , ,2) , 2 2

(2) 依题意得 A1 (1,0,2), C1 (0,0,2), B1 (0,1,2), N (1,0,1)

1 1 ∴ C 1M ? ( , ,0) , C1 N ? (1,0,?1) , BN ? (1,?1,1) 2 2 1 1 ∴ C1 M ? BN ? ? 1 ? ? (?1) ? 1? 0 ? 0 2 2
C1 N ? BN ? 1? 1 ? 0 ? (?1) ? (?1) ? 1 ? 0



C1 M ? BN , C1 N ? BN

∴ ∴

BN ? C1 M , BN ? C1 N
(Ⅲ)

BN ? 平面C1 MN

3 3

18.解: 画出 MN 和 PB 如图所示 (1) 证明:在正方体 ABCD-PMQN 中
?

MN//BD

? MN//平面 PBD

(2)证明:在正方体 ABCD-PMQN 中

?

BD ? AC ? BD ? CQ

BD ? 面ACQ

?

BD ? AQ

同理可证 : PD ? AQ

?

AQ ? 面PBD

(3) 解: 建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为 1 则 A(1,0,0), Q(0,1,1) , C(0,1,0) 由知平面 PBD 的一个法向量是 AQ ? (?1,1,1) 平面 MBD 的一个法向量是 AC ? (?1,1,0)

?

cos ? AQ, AC ?? ? ?

AQ ? AC AQ ? AC 2 3? 2 6 3
6 3

? 二面角 P-DB-M 的余弦值为

19、 解: (1) 设直线 l 的方程为 y ? x ? b ,由于直线 l 不过点 P,因此 b ? 0
?y ? x ? b 由? 2 得 x 2 ? (2b ? 4) x ? b 2 ? 0 y ? 4x ?

由 ? ? 0, 解得 b ? 1 所 以 直 线 l 在 y 轴 上 截 距 的 取 值 范 围 是 (?? ,0) ? (0,1) 。 (2) 证明:设 A,B 两点的坐标分别为 A(
m2 n2 , m), B( , n) 4 4

因为 AB 的斜率为 1,所以 m ? n ? 4 设点 D 坐标为 ( 得 yD ?

yD , y D ) ,因为 B,P,D 共线,所以 K PB ? PDP 4

2

8 ? 2n 2m ? 2?n m?2
yD ? m yD m2 ? 4 4
2

直线 AD 的方程为 y ? m ?

(x ?

m2 ) 4

当 x ? 0 时, y ?

my D 2m 2 ? ?2 y D ? m 2m ? m 2 ? 2m

即直线 AD 与 y 轴的交点为 (0,2) 同理可得 BC 与 y 轴的交点也为 (0,2) 所以 AD、BC 交于定点 (0,2) 20、解: (1)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得

{

a ? c ? 1, a ? c ? 7.

解得 a=4,c=3, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 7

(2)设 M(x,y),P(x, y1 ),其中 x ? ? ?4, 4?. 由已知得

x2 ? y12 ? e2 . 2 2 x ?y
而e ?

3 ,故 16( x 2 ? y12 ) ? 9( x 2 ? y 2 ). 4
y12 ? 112 ? 7 x 2 , 16



由点 P 在椭圆 C 上得 代入①式并化简得 9 y2 ? 112, 所以点 M 的轨迹方程为 y ? ? 附加题: 1、 (1)因为椭圆方程为

4 7 (?4 ? x ? 4), 轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3

x2 ? y 2 ? 1 ,知 a ? 2, b ?1 c ? 3 ,? F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) , , 4

???? ???? ? 5 设 P( x, y )( x ? 0, y ? 0) , PF1 ?PF2 ? (? 3 ? x, ? y)? 3 ? x, ? y) ? x 2 ? y 2 ? 3 ? ? , 则 ( 4
7 ? 2 ? x ?1 x ? y2 ? ? x2 ? 1 ? x 3 ? ? ? 4 2 又 ? y ? 1 ,联立 ? 2 ,解得 ? 2 3 ? ? 3 , ? P(1, 2 ) ??6 4 ?y ? ?y ? ? x ? y2 ? 1 ? 4 ? 2 ? 4 ?
2

分 (2)显然 x ? 0 不满足题意,可设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? x2 2 12 16k ? ? y ?1 联立 ? 4 , , x1 ? x2 ? ? ? (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 12 ? 0 ? x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? y ? kx ? 2 ?
且△ ? (16k )2 ? 4(1 ? 4k 2 ) ?12 ? 0,? k 2 ?

??? ??? ? ? 又 ?AOB 为锐角,?OA ? OB ? 0 ,? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,? x1x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 ,

3 4

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? (1 ? k 2 )

12 16k 4(4 ? k 2 ) ? 2k ( ? )?4? ?0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

?k 2 ? 4, 又? k 2 ?

3 3 3 3 ,? ? k 2 ? 4 , ? k ? (?2, ? ) ? ( , 2) 2 2 4 4
c 1 ? ,所以 a ? 2c ,b ? 3c . a 2

2、解: (1)因为

设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ?1 , 4c 2 3c

3 1 3 又点 P (1, ) 在椭圆上,所以 2 ? 2 ? 1 , 2 4c 4c

解得 c 2 ? 1 ,

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

(2)易知直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,

? y ? k ( x ? 4), ? 消去 y 整理,得 由 ? x2 y 2 ? ? 1, ? 3 ? 4

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 ,
由题意知 ? ? (32k 2 )2 ? 4(3 ? 4k 2 )(64k 2 ?12) ? 0 ,
1 1 解得 ? ? k ? . 2 2

设 M ( x1, y1 ) ,N ( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ? 则

32k 2 64k 2 ? 12 ?????? ①, x1 x2 ? , .? ②. 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为 △ AMF 与 △MFN 的面积相等, 所 以 A M?
x1 ?

M N 所 以 2x1 ? x2 ? 4 . ?????? ,



由 ① ③ 消 去 x2 得

4 ? 16k 2 . ?????? ④ 3 ? 4k 2 64k 2 ? 12 ?????? ⑤ 3 ? 4k 2 .

将 x2 ? 2x1 ? 4 代入②得 x1 (2 x1 ? 4) ?

将④代入⑤

4 ? 16k 2 4 ? 16k 2 64k 2 ? 12 (2 ? ? 4) ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

整理化简得 36k 2 ? 5 ,解得 k ? ?

5 ,经检验成立. 6

所以直线 l 的方程为 y ? ?

5 ( x ? 4) . 6


相关文章:
陕西省西安市第一中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学理试题
陕西省西安市第一中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学理试题_数学_高中教育_教育专区。金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 西安市第一中学 2012-2013 学年度第...
陕西省西安市第一中学2013-2014学年度第一学期期末考试高二理科数学试卷(解析版)
陕西省西安市第一中学2013-2014学年度第一学期期末考试高二理科数学试卷(解析版)...西安市第一中学 2013-2014 学年度第一学期期末 高二数学(理)试题答案 一、 ...
陕西省西安市第一中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
陕西省西安市第一中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。西安市第一中学 2013-2014 学年度第一学期期末...
陕西省西安市第一中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
陕西省西安市第一中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。西安市第一中学 2013-2014 学年度第一学期期末 高二数学...
陕西省西安市第一中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
陕西省西安市第一中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 西安市第一中学 2013-2014 学年度第一学期...
陕西省西安市第一中学2012-2013学年高二上学期期末考试历史理试题
陕西省西安市第一中学2012-2013学年高二上学期期末考试历史理试题_数学_高中教育_教育专区。西安市第一中学 2012-2013 学年度第一学期期末 历史(理科) (必修 3)...
陕西省西安市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理
陕西省西安市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理_数学_高中教育_教育专区。西安市第一中学 2015-2016 学年度第一学期期末考试 高二数学(理科)...
陕西省西安市第一中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学文试题
西安市第一中学 2012-2013 学年度第一学期期末 高二年级数学文科试题一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选 项中...
陕西省西安市第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试理科数学试题
陕西省西安市第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试理科数学试题_数学_高中教育_教育专区。陕西省西安市第一中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试 理科数学试题...
更多相关标签:
西安市长安区第一中学 | 西安市曲江第一中学 | 西安市东城第一中学 | 西安市经开第一中学 | 西安市远东第一中学 | 西安市浐灞第一中学 | 西安市高新第一中学 | 陕西省礼泉县第一中学 |