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高二数学竞赛模拟试卷(2)


高二数学竞赛模拟试卷(2) 班级 姓名

一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代 表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 1.函数 y ? f ? x

? 与 y ? g ? x ? 的定义域和值域都是 R ,且都有反函数,则函数

y ? f ?1 g ?1 ? f ? x ? ? 的反函数是( A. y ? f g ? f ?1 ? x ? ? C. y ? f ?1 g ? f ? x ? ?

?

?



?

?
?

B. y ? f g ?1 ? f ?1 ? x ? ? D. y ? f ?1 g ?1 ? f ? x ? ?

?

?
?
x ,

?

?

2.集合 M 由满足如下条件的函数 f ? x ? 组成:当 x1 , x2 ? ? ?1, 1 ? 时,有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 x1 ? x2 ,对于两个函数 f1 ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 5, f 2 ? x ? ?
以下关系中成立的是( )

A. f1 ? M , f2 ? M ; B. f1 ? M , f2 ? M ; C. f1 ? M , f2 ? M ; D. f1 ? M , f2 ? M ;
3. ?ABC 中, BC ? a, AC ? b, AB ? c, 则比式

?b ? c ? a ? : ? a ? c ? b ? : ? a ? b ? c ? 等于
A B C : sin : sin 2 2 2 A B C C. tan : tan : tan 2 2 2 A. sin B. cos A B C : cos : cos 2 2 2 A B C D. cot : cot : cot 2 2 2

4.抛物线 y ? 2x2 上两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 关于直线 y ? x ? m 对称,

若 2x1x2 ? ?1 ,则 2m 的值是(

).

A. 3,

B. 4,

C. 5,

D. 6

x2 y 2 5.椭圆 2 ? 2 ? 1 a b
O, F , G, H ,则

? a ? b ? 0 ? 的中心,右焦点,右顶点,右准线与 x 轴的交点依次为
的最大值为( ).

FG OH

A.

1 , 2

B.

1 , 3

C.

1 , 4

D. 不能确定.


6.函数 f ? x ? ?

x ? 3 ? 12 ? 3x 的值域为(
B. ?1, ? 3? ? ? 3? C. ?1, ? ? 2?

A. ?1, ?

2? ?

D.

?1, 2?

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上.

7.若

1 ? cos? 1 ? ,则 4 ? cos3 ? ? 3 ? sin3 ? ? 2 4 ? sin ? 2

?

??

?

.

? 8.数列 ?xn ? : 1,3,3,3,5,5,5,5,5, 由全体正奇数自小到大排列而成,并且每个奇数 k 连
续出现 k 次, k ? 1,3,5,? ,如果这个数列的通项公式为 xn ? a ? bn ? c ? ? d

?

?

则 a ?b ?c ? d ? 9. x, y 为实数,满足 x2 ? y2 ? 1 ,则 x2 ? 2xy ? y2 的最大值为 .

10.若集合 A 中的每个元素都可表为 1, 2,?,9 中两个不同的数之积,则集 A 中元素个数 的最大值为 . 11.作出正四面体每个面的中位线,共得 12 条线段,在这些线段中,相互成异面直线的 “线段对”有 个. 12. 用五种不同的颜色给图中的 “五角星” 的五个顶点染色, (每 D 点染一色, 有的颜色也可以不用) 使每条线段上的两个顶点皆不同色,
E C

A

B

则不同的染色方法有

种.

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
13.设 a1, a2 ,?, an 为正数,证明:

a1 ? a2 ??? an ? a2 ? a3 ??? an ? a3 ? ?? an ? ?? an
? a1 ? 4a2 ? 9a3 ? ? ? n2 an

14.已知二次函数 y ? x2 ? 2mx ? n2 (1)若 m n 变化时,它们的图象是不同的抛物线,如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的 , 交点,过这三个交点作圆,证明这些圆都经过同一定点,并求出这个定点的坐标。 (2)若此二次函数的图象经过点(1,1) ,且记 m n ? 4 两数中较大者为 P,试求 P 的最小值。 ,

15.设 p 是质数,且 p2 ? 71的不同正因数的个数不超过 10 个.求 p .

高二数学竞赛模拟试卷(2)参考答案
二、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代 表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分.

1.函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的定义域和值域都是 R ,且都有反函数,则函数

y ? f ?1 g ?1 ? f ? x ? ? 的反函数是( A. y ? f g ? f ?1 ? x ? ? C. y ? f ?1 g ? f ? x ? ?
答:C. 解:由 y ? f
?1 ?1

?

?



?

?
?

B. y ? f g ?1 ? f ?1 ? x ? ? D. y ? f ?1 g ?1 ? f ? x ? ?
?1

?

?
?

?

?

? g ? f ? x ??? 依次得 f ? y ? ? g ? f ? x ?? , g ? f ? y ?? ? f ? x ? ,
y ? f ?1 g ? f ? x ? ? .

f ?1 g ? f ? y ? ? ? x ,互易 x, y 得

?

?

?

?

2.集合 M 由满足如下条件的函数 f ? x ? 组成:当 x1 , x2 ? ? ?1, 1 ? 时,有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 x1 ? x2 ,对于两个函数 f1 ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 5, f 2 ? x ? ?
以下关系中成立的是( )

x ,

A. f1 ? M , f2 ? M ; B. f1 ? M , f2 ? M ; C. f1 ? M , f2 ? M ; D. f1 ? M , f2 ? M ;
答:D.
2 2 解: f1 ? x1 ? ? f1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 ? 4 x1 ? x2 .

f 2 ? x1 ? ? f 2 ? x2 ? ?

x1 ?

x2 ?

x1 ? x2 x1 ?
?

x2

,取 x1 ?

1 1 , , x2 ? 900 3600

则 f 2 ? x1 ? ? f 2 ? x2 ? ?

x1 ? x2 x1 ? x2

x1 ? x2 ? 20 x1 ? x2 ? 4 x1 ? x2 . 1 1 ? 30 60

3. ?ABC 中, BC ? a, AC ? b, AB ? c, 则比式

?b ? c ? a ? : ? a ? c ? b ? : ? a ? b ? c ? 等于
A B C : sin : sin 2 2 2 A B C C. tan : tan : tan 2 2 2 A. sin B. cos A B C : cos : cos 2 2 2 A B C D. cot : cot : cot 2 2 2

答: D.

A

A 解:如图易知, b ? c ? a ? 2 AD ? 2r cot 2 B C a ? c ? b ? 2r cot , a ? b ? c ? 2r cot 2 2 因此选 D

D

I C

B

4.抛物线 y ? 2x2 上两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 关于直线 y ? x ? m 对称, 若 2x1x2 ? ?1 ,则 2m 的值是( ).

A. 3,
答: A . 解:由

B. 4,

C. 5,

D. 6

y1 ? y2 y ?y x ?x 2 ? ?1, 1 2 ? 1 2 ? m, 2 x1 x2 ? ?1 以及 y1 ? 2 x12 , y2 ? 2 x2 x1 ? x2 2 2

2 2 得 x2 ? x1 ? y1 ? y2 ? 2 x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? ? 2 2m ? ? y1 ? y2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 2 ? x12 ? x2 ? ?

?

?

1 , 2

1 2

? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ?
2

1 1 1 ? 2? ? 2 ? ? 3 2 4 2

5.椭圆

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? a ? b ? 0 ? 的中心,右焦点,右顶点,右准线与 x 轴的交点依次为
的最大值为( ).

O, F , G, H ,则

FG OH

1 , 2 答: C . A.
解:

B.

1 , 3

C.

1 , 4

D. 不能确定.

FG a ? c e ? 1 e ?1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? .( e ? 2 时取等号) 1 a OH e 4 ? e ? 1? ? 1 2 ? ? e ? 1? ? e ?1 c

6.函数 f ? x ? ?

x ? 3 ? 12 ? 3x 的值域为(



A. ?1, ?
答: D .

2? ?

B. ?1, ?

3? ?

? 3? C. ?1, ? ? 2?

D.

?1, 2?
?
2

解: f ? x ? 的定义域为 3 ? x ? 4, 则 0 ? x ? 3 ? 1,令 x ? 3 ? sin 2 ? , 0 ? ? ?

,则

f ? x ? ? x ? 3 ? 3 ? 4 ? x ? ? sin ? ? 3 1 ? sin 2 ? ? sin ? ? 3 cos? ? 2sin(? ? ) 3 ? ? 5? 1 ? ? 因 ?? ? ? ,则 ? sin(? ? ) ? 1, 1 ? 2sin(? ? ) ? 2 . 3 3 6 2 3 3

?

?

?

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上. 7.若

1 ? cos? 1 ? ,则 4 ? cos3 ? ? 3 ? sin3 ? ? 4 ? sin 2 ? 2 答: 9 .

?

??

?

.

解:由条件得, 2 ? 2cos? ? 4 ? sin2 ? , ? ? cos? ?1? ? 4, ? cos? ? ?1
2

则 4 ? cos3 ? ? 3 ? sin3 ? ? 9 .

?

??

?

? 8.数列 ?xn ? : 1,3,3,3,5,5,5,5,5, 由全体正奇数自小到大排列而成,并且每个奇数 k 连续出
现 k 次, k ? 1,3,5,? ,如果这个数列的通项公式为 xn ? a ? bn ? c ? ? d

?

?

则 a ?b ?c ? d ? 答: 3 . 解:由 xk 2 ?1 ? xk 2 ?2 ? ? ? x
? k ?1?2

? 2k ?1 ,即当 k 2 ? 1 ? n ? ? k ? 1? 时, xn ? 2k ?1
2

k ? ? n ? 1? ,所以 xn ? 2 ? n ? 1? ? 1 ,于是, ? a, b, c, d ? ? ? 2,1, ?1,1? , a ? b ? c ? d ? 3 ? ? ? ?
9. x, y 为实数,满足 x2 ? y2 ? 1 ,则 x2 ? 2xy ? y2 的最大值为 答: 2 . 解:设 x ? r cos ? , y ? r sin ? , 0 ? r ? 1, ? ? ? ? ? ? ,则 .

x2 ? 2xy ? y2 ? r 2 cos2 ? ? 2sin? cos? ? sin2 ? ? r 2 sin 2? ? cos2?

(当 ? 2r 2 sin(2? ? ) ? 2 , r ? 1, 2? ? ? ? 时取等号). 4 4 2 10.若集合 A 中的每个元素都可表为 1, 2,?,9 中两个不同的数之积,则集 A 中元素个数的 最大值为 答: 31 . .

?

?

?

2 解:从 1, 2,?,9 中每次取一对作乘积,共得 C9 ? 36 个值,但其中有重复,重复的情况为

1? 6 ? 2 ? 3, 1? 8 ? 2 ? 4, 2 ? 9=3 ? 6, 2 ? 6 ? 3 ? 4, 3 ? 8 ? 4 ? 6 ,共 5 种,因此集合 A 中
2 至多有 C9 ? 5 ? 31 个数 .

11.作出正四面体每个面的中位线,共得 12 条线段,在这些线段中,相互成异面直线的 “线段对”有 个. 答: 24 个“线段对”. 解:任取一条中位线 AB 考虑, AB 所在的侧面没有与 AB 异面的线段;含点 A 的另一个侧面 恰有一条中位线与 AB 异面;含点 B 的另一个侧面恰有一条中位线与 AB 异面;不含 A, B 的侧 面恰有两条中位线与 AB 异面;因此与 AB 异面的中位线共有 4 条,即含有线段 AB 的异面“线 段对”共有 4 个,于是得异面“线段对” 12 ? 4 ? 48 个, (其中有重复). 但每一个异面“线段对”中有两条线段,故恰被计算了两次,因此得

48 ? 24 个异面“线段对”. 2
种.

12.用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色, (每点染一色,有的颜色也可以不 用)使每条线段上的两个顶点皆不同色,则不同的染色方法有 答: 1020 种. D 解: 将其转化为具有五个扇形格的 圆盘染五色,使邻格不同色的染色问题。 设有 k 个扇形格的圆盘染五色的方法数 E 为 xk ,则有

D

A C

C

B E

xk ? xk ?1 ? 5 ? 4 k ?1 ,于是

A

B

x5 ? ? x5 ? x4 ? ? ? x4 ? x3 ? ? ? x3 ? x2 ? ? x2 ? 5 44 ? 43 ? 42 ? 4 ? 1020

?

?

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)

13.设 a1, a2 ,?, an 为正数,证明:

a1 ? a2 ??? an ? a2 ? a3 ??? an ? a3 ? ?? an ? ?? an
? a1 ? 4a2 ? 9a3 ? ? ? n2 an

证:对 n 归纳, n ? 1 时显然成立等号;设 n ? k 时结论对于任意 k 个正数成立,
当 n ? k ?1 时,对于任意 k ? 1 个正数 a1, a2 ,?, ak , ak ?1 ,据假设有

a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 ? a3 ? ? ? ak ?1 ? ? ? ak ?1 ? a2 ? 4a3 ? 9a4 ? ? ? k 2 ak ?1 ,?5 分

所以

a1 ? a2 ? ? a ? k?

1

? a2 ? a3 ? ?

k?

?a

1

? ?

?k ?a

1

? a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ? a2 ? 4a3 ? 9a4 ? ? ? k 2 ak ?1

只要证,
a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ? a2 ? 4a3 ? ? ? k 2 ak ?1 ? a1 ? 4a2 ? ? ? (k ? 1)2 ak ?1 ?

1 ○

平方整理,只要证,
a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ? a2 ? 4a3 ? ? ? k 2 ak ?1 ? a2 ? 2a3 ? 3a4 ? ? ? kak ?1 ?○?10 分 2

由柯西不等式

? ? ?

? a ? ?? a ?
2 2 3

2

???

?

2 ak ?1 ? ? ? ? ? ? ?

? ? a ? ? ?2 a ?
2 2 3

2

2 ? ?? k ak ?1 ? ? ?

?

?

?

?

a2 ? a2 ? a3 ? 2 a3 ? a4 ? 3 a4 ? ? ? ak ?1 ? k ak ?1

?

2

?????15 分



? a2 ??? ak ?1 ? ? ?a2 ? 4a3 ??? k 2ak ?1 ? ? (a2 ? 2a3 ? 3a4 ??? kak ?1)2

所以 ? a1 ? a2 ??? ak ?1 ? ? a2 ? 4a3 ??? k 2ak ?1 ? (a2 ? 2a3 ? 3a4 ??? kak ?1 )2 即○成立,因此当 n ? k ?1 时结论成立.故由归纳法知,所证不等式成立. 2 ????????????20 分
14.已知二次函数 y ? x2 ? 2mx ? n2 (1)若 m n 变化时,它们的图象是不同的抛物线,如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的 , 交点,过这三个交点作圆,证明这些圆都经过同一定点,并求出这个定点的坐标。

?

?

(2)若此二次函数的图象经过点(1,1) ,且记 m n ? 4 两数中较大者为 P,试求 P 的最小值。 , [解答]:

(1)图象与坐标轴有三个不同的交点,可设交点坐标为A(x1 , 0), B( x2 , 0), C (0, ?n 2 )。 又x1 x2 ? ?n 2 , 若n ? 0, 则与三个交点不符, x1 x2 ? ?n 2 ? 0,? x1 , x2 分在原点左右两侧。(3分) ? 又 ? x1 x2 ? n 2 ? 1, 存在点P0 (0,1)使得 OA ? OB ? OP0 ? OC ,所以A, B, C , P0四点共圆, ? ? 这些抛物线必过定点P0 0, ( 1 )(6分)
(2)由过点(1,1)得到: m ?

n2 2
P

要比较m,n ? 4大小,即: m ? n ? 4) ( ? n2 2 ? n ? 4) (

1 ? (n 2 ? 2n ? 8) 2 1 ? (n ? 4)n ? 2) ( 2

o

n

? n2 (n ? ?2或n ? 4) ? (9 分) ?P ? ? 2 ?n ? 4 ( ? 2 ? n ? 4) ?
如图所示,当 n ? ?2 时? P ? 2 (12 分) min 15.设 p 是质数,且 p2 ? 71的不同正因数的个数不超过 10 个.求 p . 解:当 p ? 2 时, p2 ? 71 ? 75 ? 3? 52 ,有 ?1 ? 1?? 2 ? 1? ? 6 个正因数; 当 p ? 3 时, p2 ? 71 ? 80 ? 24 ? 5 ,有 ? 4 ? 1??1 ? 1? ? 10 个正因数. 所以 p ? 2 、 p ? 3 满足条件. 当 p ? 3 时, p ? 71 ? ? p ? 1?? p ? 1? ? 72 .
2

其中 p 为奇质数, 所以 ? p ? 1? 与 ? p ? 1? 是相邻的两个偶数, 从而必然有一个 2 的倍数和 4 个倍

数,还必然有一个 3 的倍数,从而 ? p ? 1?? p ? 1? 是 24 的倍数. 设 p2 ? 71 ? 24 ? m ? 23 ? 3? m ,其中 m ? 4 . 若 m 中有不同于 2 、 3 的质因数,则 p2 ? 71的正因数个数 ? ? 3 ? 1??1 ? 1??1 ? 1? ? 10 ; 若 m 中含有质因数 3 ,则则 p2 ? 71的正因数个数 ? ? 3 ? 1?? 2 ? 1? ? 10 ; 若 m 中仅有质因数 2 ,则 p2 ? 71的正因数个数 ? ? 5 ? 1??1 ? 1? ? 10 . 所以 p ? 3 不满足条件. 综上所说,所求得的质数 p 是 2 或 3 .


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