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2016届松江区高三一模数学卷及答案(理科)


松江区 2015 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟)
2016.1

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? , A 是 U 的子集,

满足 A ? ?1,2,3? ? 2? , A ? ?1, 2,3? ? U , 则集合 A = ▲ . ▲ . 2.若复数 z ? 1 ? ai (i 是虚数单位)的模不大于 2,则实数 a 的取值范围是 3.行列式

?

cos 20? sin 20?

sin 40? 的值是 cos 40?
? ? ? 2 2





4.若幂函数 f ? x ? 的图像过点 ? 2,

? ?1 ? ? ,则 f ? 2 ? = ?



. ▲ .

5.若等比数列 ?an ? 满足 a1 ? a3 ? 5 ,且公比 q ? 2 ,则 a3 ? a5 ?

6.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为 S1 、 S 2 , 则有

S1 : S2 ?



. ▲ .

7.如图所示的程序框图,输出的结果是 8.将函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 图像上的所有点向右平移

? 6

开始

个单位,再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),则所得图像的函数解析式为 ▲

1 倍 2


a ? 1,
a?3


b ?1


9. 一只口袋内装有大小相同的 5 只球, 其中 3 只白球, 2 只黑球 , 从中一次性随机摸出 2 只球 , 则恰好有 1 只是白球 的概率为 ▲ (结果用数值表示). 10. 在 ?ABC 中, 内角 A 、B 、C 所对的边分别是 a 、b 、

b ? b ? 2a
a ? a ?1
第 7 题图

输出 b

1 c . 已知 b ? c ? a , 2sin B ? 3sin C ,则 cos A = 4
▲ .
n ??

结束

7 11.若 (1 ? 3x) 展开式的第 4 项为 280 ,则 lim x ? x ? ? ? x
2

?

n

??





12.已知抛物线 C : y ? 4x 的准线为 l ,过 M (1, 0) 且斜率为 k 的直线与 l 相交于点 A ,与
2

抛物线 C 的一个交点为 B .若 AM ? 2MB ,则 k ?

???? ?

????





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1

O ,点 P 为圆 O 上一 13.已知正六边形 A 1 A2 ? A 6 内接于圆
点,向量 OP 与 OAi 的夹角为 ? i ( i ? 1, 2,?,6 ),若将 则该等 ?1,?2 ,?,?6 从小到大重新排列后恰好组成等差数列, 差数列的第 3 项为 ▲ . 14.已知函数 f ( x) ,对任意的 x ? [1, ??) ,恒有

??? ?

????

A3

A2

A4 O A5 A6

A1

f (2 x) ? 2 f ( x) 成立, 且当 x ? [1, 2) 时, f ( x) ? 2 ? x . 则
方程 f ( x ) ?

1 x 在区间 [1,100] 上所有根的和为 3





二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在 答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知双曲线 方程为

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点相同,则此双曲线的渐近线 m 5

A. y ? ?

5 x 2

B. y ? ?

2 5 x 5

C. y ? ?

5 3 5 x D. y ? ? x 3 5

16.设 a, b ? R ,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的

A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

C1 D1 C A1 F E D A

B1

17. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别是棱 AB 、

AA1 的中点, M 、 N 分别是线段 D1 E 与 C1 F 上的点,则与
平面 ABCD 平行的直线 MN 有

A. 0 条

B. 1 条

C. 2 条

D. 无数条

B

18.在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项,使其等于两 相邻项的和, 我们把这样的操作叫做该数列的一次 “H 扩展” .

已知数列 1,2. 第一次“H 扩展”后得到 1,3,2;第二次“H 扩展”后得到 1,4,3,5, 2; 那么第 10 次“H 扩展”后得到的数列的所有项的和为

A. 88572

B. 88575

C. 29523

D. 29526

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 2

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规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , PA ? 平 面 ABC ,
AC ? AB , AP ? BC ? 4 , ?ABC ? 30? , D 、E 分别

P

是 BC 、 AP 的中点. (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成的角为 ? ,求 tan ? 的值.

E A C D B

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 . (1)当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f (x)的值域;

(2)求函数 y = f (x)的图像与直线 y =1相邻两个交点间的最短距离.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 在一次水下考古活动中, 潜水员需潜入水深为 30 米的水底进行作业. 其用氧量包含以下 三个方面:①下潜时,平均速度为每分钟 x 米,每分钟的用氧量为

1 2 x 升;②水底作业需 90

要 10 分钟,每分钟的用氧量为 0.3 升;③返回水面时,速度为每分钟 量为 0.2 升;设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为 y 升. (1)将 y 表示为 x 的函数; (1)若 x ? [4,8] ,求总用氧量 y 的取值范围.

1 x 米,每分钟用氧 2

22.(本题满分 16 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题中 5 分、第 2 小题 8 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点,C、D 两点的坐标为 C (- 1, 0), D(1, 0) , 曲

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3

线 E 上的动点 P 满足 PC + PD = 2 3 .又曲线 E 上的点 A、B 满足 OA ? OB . (1)求曲线 E 的方程; (2)若点 A 在第一象限,且 OA ?

3 OB ,求点 A 的坐标错误!未找到引用源。; 2

(3)求证:原点到直线 AB 的距离为定值.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 对于数列 ?an ? ,称 P( ak ) ?

k ? 2, k ? N )为数列 ?an ? 的前 k 项“波动均值”.若对任意的 k ? 2, k ? N ,都有

1 ( a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 ? ak ) (其中 k ?1

P(ak ?1 ) ? P(ak ) ,则称数列 ?an ? 为“趋稳数列”.
(1)若数列 1, x ,2 为“趋稳数列”,求 x 的取值范围; (2)若各项均为正数的等比数列 ?bn ? 的公比 q ? (0,1) ,求证: ?bn ? 是“趋稳数列”; (3)已知数列 ?an ? 的首项为 1,各项均为整数,前 k 项的和为 Sk . 且对任意 k ? 2, k ? N , 都有 3P( Sk ) ? 2P(ak ) , 试计算: Cn P ? a2 ? ? 2Cn P ? a3 ? ? ?? (n ? 1)Cn P ?an ?
2 3 n

( n ? 2, n ? N ).

松江区 2015 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷参考答案
2016.1

4

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一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.

?2,4? .

2. [? 3, 3] . 7. 15 . 12. ?2 2 .

3.

1 . 2

4.

1 . 4

5. 20 . 10. ?

6. 3 : 2 . 11. ?

8. sin 4 x . 13.

9. 0.6 . 14. 190

1 . 4

2 . 5

5? . 12

1 . 2

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须 在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.A. 16.B. 17.D. 18.B.

19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 解: (1)由已知得, AC ? 2 , AB ? 2 3 , 所以 ,体积 VP ?? ABC ? ????????2 分

1 8 3 ????????5 分 S ?ABC PA ? 3 3 (2)取 AC 中点 F ,连接 DF , EF ,则 AB // DF , 所以 ?EDF 就 是异面直线 AB 与 ED 所成的角 ? . ????????8 分 由已知, AC ? EA ? AD ? 2 , AB ? 2 3 , PC ? 2 5 , ? AB ? EF , ? DF ? EF . ????????10 分
在 Rt?EFD 中, DF ? 3 , EF ? 5 , 所以, tan? ?

15 . 3

????????12 分

20.(满分 14 分)本题有 3 小题,第 1 小题 7 分,第 2 小题 3 分,第,3 小题 4 分. 解:(1)

f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3
????????4 分 当 x ? [0,

?

?
2

] 时, 2 x ?

?
3

? [?

? 2?
3 , 3

] ,所以 f ( x) 的值域为 [? 3, 2] ??7 分

(2) f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

3 5? 2 x ? ? 2 k ? ? 或 2 x ? ? 2 k? ? ,k ?Z 3 6 3 6

) ?1

∴ sin(2 x ?

?

)?

?

?

?

1 ,????????9 分 2
????????12 分 ????????14 分

∴当 f ( x) ? 1 时,两交点的最短距离为

? 3

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 解:(1)下潜所需时间为

30 60 分钟;返回所需时间为 分钟 x x

????2 分

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5

1 2 30 60 ????5 分 x ? ? 10 ? 0.3 ? ? 0.2 90 x x x 12 y? ? ?3 ????6 分 (x ? 0 ) 3 x x 12 x 12 x 12 (2) ? ,即 x ? 6 时取等号. ?8 分 ?2 ? ? 4 ,当且仅当 ? 3 x 3 x 3 x x 12 因为 x ? [4, 8] ,所以 y ? ? ? 3 在 [4, 6] 上单调递减,在 [6, 8] 上单调递增 3 x 所以 x ? 6 时, y 取最小值 7 ????11 分 1 1 又 x ? 4 时, y ? 7 ; x ? 8 时, y ? 7 , ????13 分 3 6 1 所以 y 的取值范围是 [7, 7 ] . ????14 分 3
∴y? 22.(本题满分 16 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题中 5 分、第 2 小题 8 分) 解(1)由 CD ? 2 , PC + PD = 2 3 > 2 知,曲线 E 是以 C、D 为焦点,长轴 2 3 的椭 圆, ……………… 1 分
2 2

x y ? 2 ? 1 ,则有 a ? 3, c ? 1 , 2 a b x2 y2 ? ?1 ∴曲线 E 的方程为 3 2
设其方程为

……………… 3 分

(2)设直线 OA 的方程为 y ? kx(k ? 0) ,则直线 OB 的方程为 y ? ? 由?

1 x ( k ? 0) k

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 y ? kx ?

2 2 2 得 2 x ? 3k x ? 6 ,解得 x1 ? 2 ? 3k 2 .………………4 分
2

6

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 ? 同理,由则 ? 1 y?? x ? k ?
由 OA ?

6k 2 解得 x ? 2k 2 ? 3 .
2 2

………………5 分

3 2 2 OB 知 4 OA ? 3 OB , 2 6 1 6k 2 ? 3(1 ? 2 ) ? 2 即 4(1 ? k 2 ) ? 2 2 ? 3k k 2k ? 3 2 解得 k ? 6 ,因点 A 在第一象限,故 k ? 6 ,
此时点 A 的坐标为 (

………………6 分 ………………7 分 ………………8 分

30 3 5 , ) 10 5

(3)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 当直线 AB 平行于坐标轴时,由 OA ? OB 知 A、B 两点之一为 y ? ? x 与椭圆的交点,

6

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? ?x ? ? ?2 x ? 3 y ? 6 ? 由? 解得 ? ? y ? ?x ?y ? ? ? ?
2 2

30 5 30 5

此时原点到直线 AB 的距离为 d ?

30 …10 分 5

当直线 AB 不平行于坐标轴时,设直线 AB 的方程 x ? my ? b ,

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 ? x ? my ? b 由 x1 x2 ? y1 y2 ? 0
由?
2

得 (2m ? 3) y ? 4bmy ? 2b ? 6 ? 0
2 2 2

………………12 分

得 (my1 ? b)(my2 ? b) ? y1 y2 ? 0
2

即 (m ? 1) y1 y2 ? mb( y1 ? y2 ) ? b ? 0

4bm 2b2 ? 6 , y y ? ………………14 分 1 2 2m 2 ? 3 2m 2 ? 3 2b2 ? 6 4b 2m 2 2 2 ? ? b ? 0 即 5b2 ? 6(m2 ? 1) ……15 分 代入得 (m ? 1) 2 2 2m ? 3 2 m ? 3 b 6 30 原点到直线 AB 的距离 d ? ………………16 分 ? ? 2 5 5 m ?1


y1 ? y 2 ? ?

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 解:(1)由题意 1 ? x ? 解得 x ?

1? x ? x ? 2 ,即 1 ? x ? x ? 2 ??????2 分 2

3 ??????4 分 2 (2)由已知,设 bn ? b1qn?1 (b1 ? 0) ,因 b1 ? 0 且 0 ? q ? 1 ,故对任意的 k ? 2, k ? N * ,
都有 bk ?1 ? bk ∴ P(bk ) ? ??????5 分

1 ( b1 ? b2 ? b2 ? b3 ? ? ? bk ?1 ? bk ) k ?1 1 b (1 ? q) ? (b1 ? b2 ? b2 ? b3 ? ? ? bk ?1 ? bk ) ? 1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q k ?2 ) k ?1 k ?1 b (1 ? q) P(bk ?1 ) ? 1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q k ?1 ) , ??????7 分 k 因 0 ? q ? 1 ∴ qi ? qk ?1 (i ? k ? 1)
∴1 ? q
k ?1

,q ? q
2 2

k ?1

,q ? q
2

k ?1

,? , q

k ?2

? q k ?1 ,
???????8 分
2 k ?2

∴ 1 ? q ? q ? ?? q
2

k ?2

? (k ? 1)qk ?1 ) ? (k ? 1)(1 ? q ? q ? ?? q
2 k ?2 k ?1

∴ k (1 ? q ? q ? ? ? q ∴

k ?2

?q )

k ?1

(1 ? q ? q ? ? ? q ) (1 ? q ? q ? ? ? q ? q ) ? k ?1 k 2 k ?2 b1 (1 ? q)(1 ? q ? q ? ? ? q ) b1 (1 ? q)(1 ? q ? q 2 ? ? ? q k ?2 ? q k ?1 ) ? ∴ k ?1 k 即对任意的 k ? 2, k ? N * ,都有 P(bk ) ? P(bk ?1 ) ,故 ?bn ? 是“趋稳数列”??10 分
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7

k ?2

(3) 当 k ? 2 时,

1 1 ( S1 ? S2 ? S2 ? S3 ? ? ? Sk ?1 ? Sk ) ? ( a2 ? a3 ? ? ? ak ) k ?1 k ?1 1 ( a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 ) 当 k ? 3 时, P ( Sk ?1 ) ? k ?2 ∴ (k ? 1)P(Sk ) ? (k ? 2) P( Sk ?1) ? ak P ( Sk ) ?
同理, (k ? 1) P(ak ) ? (k ? 2) P(ak ?1 ) ? ak ?1 ? ak 因 3P( Sk ) ? 2P(ak ) ∴ 3(k ? 1) P( Sk ) ? 2(k ? 1) P(ak ) ?????? 12 分

3(k ? 2) P( Sk ?1 ) ? 2(k ? 2) P(ak ?1 )
即 3 ak ? 2 ak ?1 ? ak 所以 3ak ? 2(ak ?1 ? ak ) 或 ?????? 14 分

3ak ? ?2(ak ?1 ? ak ) 2 所以 ak ? ?2ak ?1 或 ak ? ak ?1 5 因为 a1 ? 1 ,且 ak ? Z ,所以 ak ? ?2ak ?1 , 从而 ak ? (?2) k ?1 ???? 16 分
所以 P(ak ) ?

1 3(2k ? 1) (1 ? (?2) ? (?2) ? (?2)2 ? ? ? (?2) k ?1 ? (?2) k ) ? k ?1 k ?1 2 3 4 n Cn P ? a2 ? ? 2Cn P ? a3 ? ? 3Cn P ? a4 ? ??? (n ?1)Cn P ? an ?
2 3 4 n 2 3 4 n ? 3[(Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? Cn ? 23 ??? Cn ? 2n?1 ) ? (Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn )] 1 3 ? 3[ (3n ? 2n ? 1) ? (2n ? n ? 1)] ? (3n ? 2n ?1 ? 1) ???? 18 分 2 2

8

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