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数学竞赛测试——数列


数学竞赛测试——数列
班级 姓名 分数 1、已知正项等比数列 {an } 满足: a7 ? a6 ? 2a5 , 若存在两项 an 、 am 使得 am an ? 4a1 , 则

1 4 ? 的最小值为 m n

.

2、在数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? an ? an ?

>
1 , 则 a99 ? 4

.

3、已知数列 {an } 满足 a1 ? 32 , an?1 ? an ? 2n (n ? N * ) , 则

an 的最小值为 n

.

4、已知 {an } 是公差不为 0 的等差数列, {bn } 是等比数列, 其中 a1 ? 3, b1 ? 1 , a2 ? b2 ,

3a5 ? b3 , 且存在常数 ?、 ? 使得对每一个正整数 n 都有 an ? log? bn ? ? , 则 ? ? ? ?
5、已知 S n、Tn 分别是等差数列 {an } 与 {bn } 的前 n 项的和, 且

.

S n 2n ? 1 ? (n ? 1, 2,?) , 则 Tn 4n ? 2

a10 a11 ? ? b3 ? b18 b6 ? b15

.

6、 数列 {an } 中, a1 ? 6 , an ? 2an?1 ?

2an?1 ? n ? 1 (n ? 2) , 则此数列的通项公式 an ? n
.

.

7、在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? 2 ? an (n ? 1) . 则 an ?

8、 设正数列 a0 , a1 , a2 ,? 满足 an an?2 ? an?1an?2 ? 2an?1 (n ? 2) , 且 a0 ? a1 ? 1 . 则此数列 的通项公式是 .

9、设数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? an ? . 10、使不等式 的值为

n ?1 , n ? 1, 2,? , 则通项 an ? n(n ? 1)

1 1 1 1 ? ??? ? a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 a n ?1 n ? 2 2n ? 1 3
.

11、给定正数数列 {xn } 满足 S n ? 2S n ?1 , n ? 2,3,? , 这里 Sn ? x1 ? ? ? xn . 证明:存在常数
C ? 0 , 使得 xn ? C ? 2n , n ? 1, 2,? .

12、已知数列 {an } 满足:

a1 ? 2t ? 3 ( t ? R, 且t ? ?1), an?1 ?
(1) 求数列 {an } 的通项公式;

(2t n?1 ? 3)an ? 2(t ? 1)t n ? 1 (n ? N ? ) . an ? 2t n ? 1

(2)若 t ? 0 , 试比较 a n ?1 与 an 的大小.

13、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n (n ? 1, 2, 3,?) , {bn } 满足 b1 ? 1,

bn ?1 ? bn ?

2 bn 1 (n ? 1, 2, 3,?) , 证明: ? n 2

?
k ?1

n

1 ak ?1bk ? kak ?1 ? bk ? k

?1


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