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2015年高考数学《新高考创新题型》之1:集合与常用逻辑用语(含精析)


之 1.集合与常用逻辑用语(含精析)
一、选择题。 1 .用 C(A) 表示非空集合 A 中的元素个数,定义 A*B= ?

?C ( A) ? C ( B),C ( A) ? C ( B) .若 C ( B ) ? C ( A ), C ( A ) ? C ( B ) ?

A ={1,2},B= {x | ( x 2 ? ax) ? ( x 2 ? ax ? 2) ? 0} ,且 A*B=1,设实数 a 的所有可能取值集合是 S, 则 C(S)=( A.4 ) B.3 C.2 D.1

2 .下列命题:①△ ABC 的三边分别为 a , b, c 则该三角形是等边三角形的充要条件为

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc ;②数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn ,则 Sn ? An2 ? Bn 是数列 ?a n ?
为等差数列的必要不充分条件;③在△ABC 中,A=B 是 sin A=sin B 的充分必要条件;④
2 已 知 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 都 是 不 等 于 零 的 实 数 , 关 于 x 的 不 等 式 a1 x ? b1 x ? c1 ? 0 和

a2 x 2 ? b2 x ? c2 ? 0 的解集分别为 P,Q,则
正确的命题是( A.①④ B.①②③ ) C.②③④

a1 b1 c1 ? ? 是 P ? Q 的充分必要条件,其中 a2 b2 c2

D.①③

3 .若存在实常数 k 和 b ,使得函数 F ( x ) 和 G(x) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足:

F (x) ? kx ? b 和 G(x) ? kx ? b 恒成立, 则称此直线 y ? kx ? b 为 F ( x ) 和 G(x) 的“隔离直线”. 已
知函数 f (x) ? x2 (x ?R), g(x) ? (x ? 0), h(x) ? 2e ln x .有下列命题:
1 ① F (x) ? f (x) ? g(x) 在 x ? (? 3 ,0) 内单调递增; 2

1 x

② f ( x ) 和 g ( x ) 之间存在“隔离直线”, 且 b 的最小值为-4; ③ f ( x ) 和 g ( x ) 之间存在“隔离直线”, 且 k 的取值范围是 (?4,0] ; ④ f ( x ) 和 h( x ) 之间存在唯一的“隔离直线” y ? 2 ex ? e . 其中真命题的个数有( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

4.定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集,记为 P ? A? , 用 n ? A? 表示 有限集 A 的元素个数, 给出下列命题: ①对于任意集合 A , 都有 A ? P ? A? ; ②存在集合 A , 使得 n ? ? P ? A?? ? ? 3; ③用 ? 表示空集, 若A ⑤若 n ? A? ?

B ? ? ,则 P ? A? P ? B? ? ? ;④若 A ? B , 则 P ? A? ? P ? B ? ;

n ? B ? ? 1,则 n ? ? P ? A?? ? ? 2? n ? ? P ? B ?? ? 其中正确的命题个数为(
A. 4 B. 3 C. 2

) D.1

5.已知集合 M={ ( x, y )| y ? f ( x ) },若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是 “垂直对点集”.给出下列四个集合:
①M={ ( x, y )| y ?

1 }; x

②M={ ( x, y )| y ? sin x ? 1 }; ④M={ ( x, y )| y ? e ? 2 }.
x

③M={ ( x, y )| y ? log2 x }; 其中是“垂直对点集”的序号是( A.①② B.②④ C.①④

) D.②③

二、填空题。 6 . 定 义 : 如 果函 数 y ? f ( x) 在 定 义 域 内 给 定 区间 [a,b] 上 存 在 x0 (a ? x0 ? b) , 满 足

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a) b?a ,则称函数 y ? f ( x) 是 [a,b] 上的“平均值函数” , x0 是它的一个均值

点.例如 y=| x |是 [ ?2 ,2] 上的“平均值函数” ,0 就是它的均值点.给出以下命题:

2? ] 上的“平均值函数” ①函数 f ( x) ? cos x ? 1 是 [?2? , .

a?b [ a , b ] y ? f ( x ) ②若 是 上的“平均值函数” ,则它的均值点 x0≥ 2 .
2 1] 上 的 “ 平 均 值 函 数 ” ③ 若 函 数 f ( x) ? x ? mx ? 1 是 [?1, ,则实数 m 的取 值范围是

m ? (0 ,2) .

④若 f ( x) ? ln x 是区间[a,b] (b>a≥1)上的“平均值函数” , x0 是它的一个均值点,则

ln x0 ?

1 ab

. . (写出所有真命题的序号)

其中的真命题有

7.若三个非零且互不相等的实数 a、b、c 满足

1 a

?

1 b

?

2 c

,则称 a、 b、c 是调和的;若满

a + c = 2b 足,则称 a、b、c 是等差的.若集合 P 中元素 a、b、c 既是调和的,又是等差的, 则称集合 P 为“好 集”.若集合 M ? x x ≤ 2014, x ? Z ,集合 P ? ?a, b, c? ? M .则 (1)“好集” P 中的元素最大值为 (2)“好集” P 的个数为 . ;

?

?

8.给定有限单调递增数列 {xn }(n ? N * ,数列 { xn } 至少有两项)且

xi ? 0(1 ? xi ? n) ,定义集合 A ? {( xi , x j ) |1 ? i, j ? n, 且i, j ? N *} .若对任意点 A1 ? ? ,
存在点 ? 2 ? ? 使得 OA1 ? OA2 (O 为坐标原点),则称数列 { xn } 具有性质 P . (1)给出下列四个命题,其中正确的是 ①数列 {xn }: -2,2 具有性质 P ; ②数列 { yn } :-2,-1,1,3 具有性质 P ; ③若数列 { xn } 具有性质 P ,则 { xn } 中一定存在两项 xi , x j ,使得 xi ? x j ? 0 ; ④若数列 { xn } 具有性质 P , x1 ? ?1, x2 ? 0 且 xn ? 1(n ? 3) ,则 x2 ? 1 . (2)若数列 { xn } 只有 2014 项且具有性质 P, x1 ? ?1, x3 ? 2 ,则 { xn } 的所有项和 S2014 ? . .(填上所有正确命题的序号)

9. 若自然数 n 使得作加法 n+(n+1)+(n+2)运算均不产生进位现象, 则称 n 为“给力数”, 例如: 32 是“给力数”, 因 32+33+34 不产生进位现象; 23 不是“给力数”, 因 23+24 + 25 产生进位现象.设小于 1 000 的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合 A,则集合 A 中的数字和为________. 10.设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果 ?a, b ? S , 有 ab ? S ,则称 S 关于数的乘法是封闭 的. 若 T , V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T V ? Z 且 ?a, b, c ? T , 有 abc ? T ; ?x, y, z ?V , 有 xyz ?V ,有四个命题:① T ,V 中至少有一个关于乘法是封闭的;② T ,V 中至多 有一个

关于乘法是封闭的; ③ T ,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的;④ T ,V 中每一个关于乘法 都是封闭的.其中所有正确命题的序号是 .

11. 用 | S | 表示集合 S 中的元素的个数, 设 A、B、C 为集合, 称 ( A, B, C ) 为有序三元组. 如 果集合 A、B、C 满足 A I B = B I C = C I A = 1,且 A I B I C ? ? ,则称有序三元组

( A, B, C ) 为最小相交.由集合 {1,2,3,4} 的子集构成的所有有序三元组中,最小相交的有序
三元组的个数为 .

12 . 已 知 等 比 数 列 {an } 的 首 项 为

4 1 ,公比为 ? ,其前 n 项和记为 S ,又设 3 3

?1 3 5 Bn ? ? , , , ?2 4 8

,

n 2? ? 1 ? ? ? n ? N , n ? 2 ? , Bn 的所有非空子集中 的最小元素的和为 n 2 ?


T ,则 S ? 2T ? 2014 的最小正整数 n 为

1.B 【 解 析 】 因 为 C ( A) ? 2 ,A *B ? , 1 所 以 C ( B ) ? 1或 C ( B) ? 3 . 由 x 2 ? ax ? 0 得 : 满足题设.对 x 2 ? ax ? 2 ? 0 , 当 ? ? 0 时, x1 ? 0, x2 ? ?a .当 a ? 0 时,B ? {0}, C ( B) ? 1 ,

a ? ?2 2 ,此时 C ( B) ? 3 符合题意.
当 ? ? 0 时 , a ? ?2 2 或 a ? 2 2 , 此 时 必 有 C ( B )? 4, 不 符 合 题 意 . 所 以 B. S ?{ 0? , 2 2 , 2 .选 2} 2.D 【 解 析 】 对 于 ① : 显 然 必 要 性 成 立 , 反 之 若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc , 则

2 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2?ab ? ac ? bc? , 整 理 得 ?a ? b? ? ?b ? c? ? ?a ? c? ? 0 , 当 且 仅 当
2 2 2

?

?

a ? b ? c 时 成 立 故 充 分 性 成 立 , 故 ① 是 真 命 题 ; 对 于 ② : 由 Sn ? An2 ? Bn 得

a1 ? A ? B ;当 n ? 2 时 , an ? sn ? sn?1 ? 2 An ? A ? B ,显 然 n ? 1 时 适 合 该 式 ,因 此
数 列 ?a n ? 是 等 差 数 列 , 故 满 足 充 分 性 , 故 ② 是 假 命 题 ; 对 于 ③ : 在 三 角 形 中

A ? B ? a ? b ,又由正弦定理得

a b c ? ? , 则 a ? b ? s i nA ? s i nB , s i n A s i nB s i nC

2 所 以 A ? B ? s i nA ? s i nB , 故 ③ 是 真 命 题 ; 对 于 ④ : 实 际 上 不 等 式 x ? x ? 5 ? 0
2 与 x ? x ? 2 ? 0 的 解 集 都 是 R ,但 是

1 1 5 ? ? ,故 不 满 足 必 要 性 ,故 ④ 是 假 命 题 . 1 1 2

故 选 D. 3.C 【解析】 (1) F (x) ? f (x) ? g(x) = x 2 ?

1 1 1 , 则 F ? ? x ? ? 0, 解得 x ? (? 3 ,0) , ? F ? ? x? ? 2x ? 2 , x x 2

1 所以 F (x) ? f (x) ? g(x) 在 x ? (? 3 ,0) 内单调递增;故①正确. 2

(2) f ( x ) 和 g ( x ) 之间存在“隔离直线”,设“隔离直线”为 y ? kx ? b ,当“隔离直线”与

f ( x) ? x 2 , g ( x) ?

1 ( x ? 0), 同时相切时,截距最小,令切点坐标为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 x

1 ? 2 x1 ? ? 2 ? x2 1 2 1 ? 2 切线方程为 y ? 2 x1 x ? x1 或y ? ? 2 x ? , 所以 ? ,故 x1 ? ?2, x2 ? ? ,所 2 x2 x2 ? ?x 2 ? 2 1 ? x2 ?

以 b ? ? x1

2

? ?4 ,此时截距最小,故②正确;此时斜率为 2 x1 ? ?4 , k 的取值范围是

[?4, 0] .故③错误.
④令 F(x)=h(x)-m(x)=x -2elnx(x>0),再令 F′(x)═ 2 x ?
2

2e =0,x>0,得 x= e x

从而函数 h(x)和 m(x)的图象在 x= e 处有公共点. 因此存在 h(x)和 m(x)的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为 k, 则 隔离直线方程为 y-e=k(x- e ),即 y=kx-k e +e. 由 h(x)≥kx-k e +e 可得 x -kx+k e -e≥0 当 x∈R 恒成立, 则△=k -4k e +4e= (k ? 2
2 2

只有 k=2 e 时, 等号成立, 此时直线方程为: y=2 e x-e. e )2 ≤0,

同理证明,由 φ (x )≤kx-k e +e,可得只有 k=2 e 时,等号成立,此时直线方程为: y=2 e x-e. 综上可得,函数 f(x)和 g(x)存在唯一的隔离直线 y=2 e x-e,故④正确.

5.B 【解析】依题意:要使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,只需过原点任作一直线 l1 与该函数的图象相

交, 再过原点作与 l1 垂直的直线 l2 也与该函数的图象相交即可。 对①取 l1 : y ? x , l2 : y ? ? x 与函数 y ?

1 图象没有交点,①中 M 不是“垂直对点集”; ③中取 l1 : y ? 0 , l2 : x ? 0 与 x

函数 y ? log 2 x 图象没有交点, ③中 M 不是“垂直对点集”; 作出②、 ④中两个函数图象知:

6.①③④ 【解析】①正确.因为 f(0)=f(-2π )=f(2π )=0,可知①正确. ②不正确.反例:f(x)=0 在区间[0,6]上. ③正确.由定义: x0 ? mx0 ? 1 ?
2

?m?m 2 得 x0 ? 1 ? ( x0 ? 1)m ? m ? x0 ? 1 , 2

又 x0 ? ( ?1,1) 所以实数 m 的取值范围是 m∈(0,2) ④正确.理由如下:由题知 ln x0 ? 要证明 ln x0 ?

ln b ? ln a . b?a

1 ln b ? ln a 1 b b?a b a ? ? ln ? ? ? ,即证明: , b ? a a a b ab ab ab



b 1 1 ? t ? 1 ,原式等价于 ln t 2 ? t ? ? 2 ln t ? t ? ? 0 . a t t

令 h(t ) ? 2 ln t ? t ? (t ? 1) ,则 h?(t ) ?

1 t

2 1 ? t 2 ? 2t ? 1 (t ? 1) 2 ?1? 2 ? ? ? ? 0, t t t2 t2

所以 h(t ) ? 2 ln t ? t ? ? h(1) ? 0 得证. 7. (1)2012; (2)1006 【解析】因为若集合 P 中元素 a、b、c 既是调和的,又是等差的,则

1 t

1 1 2 ? ? 且 a + c = 2b, a b c

则 a ? ?2b, c ? 4b , 故 满 足 条 件 的 “ 好 集 ” 为 形 如 ??2b, b,4b? (b ? 0) 的 形 式 , 则

?2014 ? 4b ? 2014 ,解得 ?503 ? b ? 503 ,且 b ? 0 ,符合条件的b的值可取 1006 个,
故“好集” P 的个数为 1006 个,且 P 中元素的最大值为 2012.

9.6 【解析】给力数的个位取值:0,1,2 给力数的 其它数位取值:0,1,2,3,所以 A={0,1,2,3} 集合 A 中的数字和为 6. 10.① 【解析】 因为关于乘法封闭的规定是. S 是整数集 Z 的非空子集, 如果 ?a, b ? S , 有 ab ? S ,

V 代表非负数集合, 则称 S 关于数的乘法是封闭的.如果 T 代表负数集合, 则 T V ? Z 成立,

且 ?a, b, c ? T , 有 abc ? T ; ?x, y, z ?V , 有 xyz ?V . 但是 ab ? T . 所以 T 不是乘法封闭 . 所以 ④不正确 . 如果 T 代表奇数集合, V 代表偶数集合,则 T V ? Z 成立 , 且 ?a, b, c ? T , 有

abc ? T ; ?x, y, z ?V , 有 xyz ?V .显然 T ,V 都是乘法封闭的,所以②③都不正确 . 若 T ,V
都不满足乘法封闭, ?a, b, c ? T , 有 abc ? T .假设 1 ? T ,若存在 ab ? T ,则 1 ? a ? b ? T 与题 意矛盾.所以①正确.故填① 11.96 【解析】 A, B, C 三个集合不可能有一元集,否则不能满足 A

B C ? ? ,又因为 S 中只

有 4 个 元 素 , 则 A, B, C 中 不 可 能 有 两 个 集 合 都 有 3 个 元 素 , 否 则 不 能 满 足

A I B = B I C = C I A =1,但 A, B, C 中可以三个集合都含有 2 个元素,也可能是一个
集合有 3 个元素,其它两个集合含有 2 个元素,情形如下: 如三个集合都含有 2 个元素这种情形 A ? {a1 , a2 } , B ? {a2 , a3} , C ? {a1 , a3} ,这种类型 有 C4 ? 4 种可能,另外第 4 个元素 a4 可任意加入上述 4 种可能中的 每一个集合,又形成不
3

同的情形,这样就又有 3 ? 4 ? 12 种,于是就共有了 4 ? 12 ? 16 种情形,在每一种情形
3 ( A, B, C ) 中,它们的顺序可以打乱,每种可形成 A3 ? 6 个,因此共有 16 ? 6 ? 96 个有序三

元组. 12.45

4 1 [1 ? (? ) n ] 3 ? 1 ? (? 1 ) n ,对于和 T ,我们首先把 B 中的元 素按从 【解析】由题意有 S ? 3 n 1 3 1 ? (? ) 3
小到大顺序排列,当 n ? 4 时,

2n ? 1 2n ? 3 ? n ?1 ? 2n 2

?

7 1 5 3 ? ? ? ,对于 Bn 中的任一 16 2 8 4

元素

2k ? 1 (k ? 4) ,比它大的有 k ? 1 个,这 k ? 1 个元素组成的集合的所有子集有 2 k ?1 个, k 2



2k ? 1 2k ? 1 加进这些子集形成新的集合,每个都是以 为最小元素的 Bn 的子集,而最小 k 2 2k 2k ? 1 2k ? 1 k ?1 的 Bn 的子集也只有这些,故在 T 中 出现 2 次,所以 k 2 2k

元素为


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