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高中数学必修4第二章平面向量课件 平面向量数量积的物理背景及其含义 人教A版


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平面向量数量积 的物理背景及其含义

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一、复习回顾

1、O是平面上的一定点, A、B、C是 平面上不共线的三个点,动点P满足 AB AC OP ? OA ? λ( ? ), λ ? ?0,? ??, AB AC 则P的轨迹一定经过?ABC 的(B ) A.外心 B. 内心 C.重心 D.垂心

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2、过?ABC 的重心G ,任作一直线交AB、 AC分别与D、E ,若AD ? x AB , AE ? y AC . 1 1 3 xy ? 0,则 ? 的值为______ 。 x y

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法一、特殊值法 法二、利用三点共线性 质

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二、平面向量数量积的物理背景

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一个物体在力 F的作用下发生了位移s, 那么该力对物体作的功是多少?

F ? ?
s

W ? F s cos θ
4

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三、向量的数量积 1、定义

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对于两个非零向量 a和b, 它们的夹角为θ, 规定 a b cos θ叫向量a和b的数量积(内积)

再规定零向量与任意向量的数量积为 0

记为 a ? b, 即: a ? b ? a b cos θ
0?a ? 0

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2、投影 定义: b cos θ叫做b在a方向上的投影 B b
O
B1 a

A

定义: a cos θ叫做a在b方向上的投影
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互动探究 (1)当θ ? 0时, a ? b ? a b
π π 当θ ? 时, a ? b ? a b cos ? 0 ? a ? b 2 2 当θ ? π时, a ? b ? ? a b

( 2) ? a b ? a ? b ? a b
( 3) ? a ? a ? a ? a a cos 0 ? a ? a ? a
2 2 2

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例1:已知 a ? 1, b ?

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(1)a // b,求a ? b; 3 ( 2)θ ? π ,求a ? b、 b cos θ、 a cos θ的值 4 解析: (1)由a // b ,分两种情况: 当 a, b 同向, a ? b ? 2;
3 ( 2)a ? b ? 1 ? 2 ? cos π ? ?1 4 2 b cos θ ? ?1, a cos θ ? ? 2

当a , b 反向, a ? b ? ? 2。

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3、向量数量积 a?b 的几何意义
a的长度 a 与b在a方向上的投影 b cos θ的乘积 或 b的长度 b与a在b方向上的投影 a cos θ的乘积

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4、向量数量积满足的运算律 ? ? ? a、b 、c 是任意三个向量 , λ? R

(1) a ? b ? b ? a; ( 2)( λa ) ? b ? a ? ( λb ) ? λ(a ? b ) ? λa ? b; ( 3)(a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

? ? ? ? ? ? 但: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )
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四、例题研究 例2、求证: ? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1)(a ? b ) ? a ? 2 a ? b ? b ? ? ? ? ?2 ?2 ?2?(a ? b ) ? (a ? b ) ? a ? b

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例3:已知 a ? 1, b ? 2,夹角θ ? 120 ,求: (1)(3a ? 2b ) ? (4a ? b )
2

0

( 2) a ? b
2

(1)原式 ? 12a ? 3a ? b ? 8a ? b ? 2b ? ?9 2 2 2 ( 2) a ? b ? (a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ? ? 3
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变式
已知a , b都是非零向量,且(a ? 3b ) ? (7a ? 5b ), (a ? 4b ) ? (7a ? 2b ).求a , b的夹角 π 3

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自主学习书 P105例4
例4.已知a ? e , e ? 1.对任意t ? R,恒有 a ? t e ? a ? e,则( B) A.a ? e B .e ? ( a ? e ) C .a ? ( a ? e ) D .(a ? e ) ? (a ? e )

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五、能力训练
1、已知 a ? b ? 1, a与b夹角为 120 , 问t取何值时, a ? t b 最小?
0

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2、已知a ? b ? c ? 0,且 a ? 3, b ? 5, c ? 7, 求a与 b的夹角 θ . ? ? ? ? ? ? ? 解 : 由题可知, a ? b ? c ? 0 ? a ? b ? ? c

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15 ?2 a ? b a | ?| b | ) ? a? b ? 2 a? b 1 故 cos θ ? ? ? ? , 2 | a || b | 又0 ? θ ? π ? ? π π ? θ ? ,即 a 与 b 的夹角是 . 16 3 3
2 ?| c | ?(| ? ? 2 2

?| a ? b | ? ( a ? b ) ? ( a ? b ) ?| c |
? ? ? ? ?

?

?

2

?

?

?

?

?

2
? ?

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六、小结: 1、平面向量数量积的物理背景 2、向量数量积的定义 3、向量数量积的几何意义 4、投影 5、运算律

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拓展研究
直径所对的圆周角是直角。

C

A
O

B

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