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解析几何竞赛题求解的几种常见策略


解析几何竞赛题求解的几种常见策略 陈硕罡 吴国建(浙江省东阳中学 322100)
解析几何作为高中数学的重要内容之一,研究问题的主要方法是坐标法,解题的基本过程 是:首先用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系,将几何问题代数化,解决代数 问题,得到结果,分析代数结果的几何意义,最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需 要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力

,需要熟练掌握数形结合与转换的思想,同时 还要具有较强的运算能力,所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几 年的全国数学联赛中一试试题中,一般有一或两道填空题和一道解答题,分值在 30 分左右,占 一试总分值的四分之一,其重要性不言而喻。下面笔者结合自己的教学实践,提出解析几何竞 赛题求解的几种常见策略,与同仁们探讨。 一、用函数(变量)的观点来解决问题 函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题中引起变化的主变量, 并用一个具体的量(斜率或点的坐标等)来表示它,同时把问题中的的因变量用主变量表示出 来,从而变成一个函数的问题, 这就是解决问题的函数观点。在解析几何问题中,经常会碰到 由于某个量(很多时候是线或点)的变化,而引起图形中其它量(面积或长度等)的变化的情 况,所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。 【例 1】 (2010 全国高中数学联赛试题)已知抛物线 y ? 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 ) 和
2

B( x2 , y2 ) , 其中 x1 ? x2 且 x1 ? x2 ? 4 . 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C , 求△
ABC 面积的最大值.
【分析】通过对题目的分析可以发现线段 AB 中点的横坐标已经是定值,只有纵坐标在变化, 可以把 AB 中点的纵坐标作为主变量,这样只要把 ?ABC 的面积表示成以 AB 中点的纵坐标的 函数即可,这是问题就转化为求函数的最值问题。 【解析】设线段 AB 的中点 M 坐标为( (2, y0 ) ,则 则直线 AB 的斜率: k ?

y1 ? y2 y1 ? y2 6 3 ? 2 ? ? 2 y1 y2 x1 ? x2 y1 ? y2 y0 ? 6 6
y0 ( x ? 2) ,易知线段 AB 的中垂线与 x 轴的交点为定点 3

线段 AB 的中垂线方程: y ? y0 ? ?

C (5, 0)
直线 AB 的方程: y ? y0 ? (1) , 由 题 意 ,

3 2 ( x ? 2) ,联立抛物线方程消去 x 可得: y2 ? 2 y0 y ? 2 y0 ?12 ? 0 y0

y1 , y2 是 方 程 ( 1 ) 的 两 个 实 根 , 且 y1 ? y2 , 所 以

2 2 ? ? 4 y0 ? 4(2 y0 ?12) ? 0 ? ?2 3 ? y0 ? 2 3

弦长 | AB |? 1 ? (

y0 2 y2 2 2 2 ) | y1 ? y2 |? (1 ? 0 )[( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? (9 ? y0 )(12 ? y0 ) 3 9 3
2

点 C(5,0)到直线 AB 的距离: h ?| CM |? 9 ? y0

则 S?ABC ?

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 | AB | ?h ? (9 ? y0 )(12 ? y0 ) ? 9 ? y0 ? (9 ? y0 )(9 ? y0 )(24 ? 2 y0 ) 2 3 3 2

2 2 2 ? 9 ? y0 ? 24 ? 2 y0 1 1 9 ? y0 14 ? ?( )3 ? 7 3 2 3 3

2 2 当且仅当 9 ? y0 , 即 y0 ? ? 5 , 点 A( ? 24 ? 2 y0

6? 3 5 6 ?3 5 , 5 ? 7) , ( B , 5 3 3

7) ?



A(

6 ? 35 6 ? 35 , ? 5 ? 7), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立,所以 ?ABC 面积的最大值为 3 3

14 7。 3
【评析】在解答过程中用韦达定理代入消元转化,蕴含了“设而不求”的解题策略,把面积 S 表示为中点坐标 y0 的函数,同时注意 y0 的取值范围,体现了函数问题首先关注定义域,在对
2 函数求最值的过程中运用了基本不等式,其实也可设 9 ? y0 ? t, t ?[9, 21) ,转化为一个 t 的三

次函数,利用导数求最值也是一种常用技巧。 【例 2】 (2009 全国高中数学联赛试题) 设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , 与椭圆 m 为整数)

x2 y 2 ? ?1 16 12

x2 y 2 交于不同两点 A , B ,与双曲线 ? ? 1 交于不同两点 C , D ,问是否存在直线 l ,使得向 4 12 ???? ??? ? 量 AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由. 【分析】通过分析可以看出本题的根本变量是直线方程中的 k , m ,所以其余各量均可用 k , m , ???? ???? 所 以 我 们 这 里 可 用 一 个 二 元 函 数 f (k , m) 来 表 示 A C ? B D, 本 题 就 转 化 为 解 二 元 方 程

f (k , m) ? 0 .
? y ? kx ? m ? 【解析】由 ? x 2 y 2 消去 y 化简整理得: 3 ? 4k 2 x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 48 ? 0 ?1 ? ? ?16 12 8km 2 设 A ? x1 ,y1 ? , B ? x2 ,y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ? , ?1 ? ?8km? ? 4 3 ? 4k 2 4m2 ? 48 ? 0 ① 2 3 ? 4k ? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 消去 y 化简整理得: 3 ? k 2 x2 ? 2kmx ? m2 ?12 ? 0 ? ? 1 ? ? 4 12 2km 2 设 C ? x3 ,y4 ? , D ? x4 ,y4 ? ,则 x3 ? x4 ? , ?2 ? ? ?2km? ? 4 3 ? k 2 m2 ? 12 ? 0 ② 2 3? k ???? ??? ? 因为 AC ? BD ? 0 ,所以 ? x4 ? x2 ? ? ? x3 ? x1 ? ? 0 ,此时 ? y4 ? y2 ? ? ? y3 ? y1 ? ? 0 .

?

?

?

??

?

?

?

?

??

?

8km 2km . ? 2 3 ? 4k 3 ? k2 4 1 所以 2 km ? 0 或 ? .由上式解得 k ? 0 或 m ? 0 . ? 2 3 ? 4k 3 ? k2 当 k ? 0 时,由①和②得 ?2 3 ? m ? 2 3 .因 m 是整数,所以 m 的值为 ?3 , ?2 , ?1 , 0 , 1 , 2,3. 当 m ? 0 ,由①和②得 ? 3 ? k ? 3 .因 k 是整数,所以 k ? ?1 , 0 , 1 . 于是满足条件的直线共有 9 条. 【评析】如果题目中的主变量需要用两个变量来表示时,可先把这个因变量表示为一个两元函
由 x1 ? x2 ? x3 ? x4 得 ?

数,如题设中有其他条件能找到这两个变量间的关系,那只需用一个两来表示另一个量,这时 就可转化为一元函数,这也体现了解析几何中“设而不求”的思想;如题设条件不能直接给出 两变量者之间的关系,我们可直接对二元函数进行处理. 二、用平面几何的知识来解决问题 解析几何是用坐标法把几何问题代数化,用代数的方法来解决几何问题,但说到底解析几 何还是几何。在解决某些解析几何问题的时候,如果其平面几何背景非常明显的时候,我们往 往可以借助平面几何知识来快速准确解决问题。 【例 3】(2012 全国高中数学联赛试题)抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,准线为 l ,A、B 是抛物线上的两个动点, 且满足 ?AFB ? 的最大值是________ 【分析】根据梯形的中位线定理和抛物线的定义,|MN=|AF|+|BF|,结合 ?AFB ? 定理得出等量关系。 【解析】 由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 MN ?

? | MN | . 设线段AB的中点 M 在 l 上的投影为 N, 则 3 | AB |

? ,可用余弦 3

AF ? BF . 在 ?AFB 中,由余弦定理得 2

AB ? AF ? BF ? 2 AF ? BF cos

2

2

2

?
3

? ( AF ? BF )2 ? 3 AF ? BF

? ( AF ? BF )2 ? 3(

AF ? BF 2 AF ? BF 2 2 ) ?( ) ? MN . 2 2

当且仅当 AF ? BF 时等号成立.故

MN AB

的最大值为 1.

【评析】 一些解析几何客观题, 往往需要借助圆锥曲线的定义和平面几何的一些性质进行解题。 【例 4】 (2005 全国高中数学联赛试题)过抛物线 y=x2 一点 A(1,1) 作抛物线的切线交 x 轴于 D,交 y 轴于 B,C 在抛物线上,E 在线段 AC 上,

AE BF ? ?1 ,F 在线段 BC 上, ? ?2 ,且 λ1+λ2=1,线段 EC FC

CD 与 EF 交于 P,当 C 在抛物线上移动时,求 P 的轨迹方程。 【分析】通过初略计算可知 D 为 AB 的中点,而题设中有很多的线 段比例关系,可考虑用三角形的面积之比来解决问题。 【解析】 AB 的方程为 y ? 2 x ? 1, B(0,?1), D( ,0), 故 D 是 AB 的中点. 令? ?

1 2

CD CA CB , t1 ? ? 1 ? ?1 , t 2 ? ? 1 ? ? 2 , 则 t1 ? t 2 ? 3. CP CE CF

因为 CD 为 ?ABC 的中线,? S ?CAB ? 2S ?CAD ? 2S ?CBD . 所 以

S S t ?t 1 CE ? CF S ?CEF 1 1 1 3 3 ? ? ? ?CEP ? ?CFP ? ( ? )? 1 2 ? ,?? ? , t1t 2 CA ? CB S ?CAB 2S ?CAD 2S ?CBD 2 t1? t 2? 2t1t 2? 2t1t 2? 2
? P 是 ?ABC 的重心.

2 设 P( x, y),C( x0 , x0 ), 因点 C 异于 A,则 x0 ? 1, 故重心 P 的坐标为
2 2 0 ? 1 ? x0 1 ? x0 ? 1 ? 1 ? x0 x0 1 2 x? ? , ( x ? ), y ? ? , 消去 x0 , 得 y ? (3 x ? 1) 2 . 3 3 3 3 3 3

故所求轨迹方程为 y ?

1 2 (3 x ? 1) 2 ( x ? ). 3 3

【评析】从函数的观点进行分析,易发现点 C 的横坐标 x0 为主变量,P 点的横坐标和纵坐标均 表示成 x0 的函数,在消去参数 x0 就得到点 P 的轨迹方程,思路虽然简单,但由于本题所含字母 较多,进行代数运算时运算量大且容易出错。如果我们能够分析其平面几何背景,运用平面几 何的知识,就能比较快速准确的解决问题当解析几何题目。 三、用极坐标知识来解决解析几何问题 解析几何中的坐标法是指建立直角坐标系,用这个点在两坐标轴上的射影 x, y 来确定。而 极坐标是用角度和距离(很多时候就是长度)这两个量来确定一个点的位置,其几何意义很明 显,如果在题目中涉及到的量能用角度和距离非常方便的表示出来,那么建立一个极坐标系进 行运算,会比我们在直角坐标系下运算快速有效的多。 【例 5】 (2008 江苏省数竞赛试题)A、B 是椭圆

??? ? ??? ? x2 y 2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA ? OB ? 0 。 9 4

(1)求证:

1 1 ? 为定值; (2)动点 P 在线段 AB 上,满 2 | OA | | OB |2

足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上。

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 【 分 析 】 由 OA ? OB ? 0 可 知 O A ? O B, 所 以 ?AOB ? 90? , 而
| OA |,| OB | 能用距离(长度)直接给表示出来,这里的问题都可以
用角度和距离来表示,可以考虑建立极坐标系来解决。 【解析】 (1)如图以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 设 | OA |? a,| OB |? b, ?AOx ? ? ,则点 A(a cos ?, a sin ?) , 则点 B(b cos(? ? 点 A 、 B

B

P O

A

? ? ), b sin(? ? )) ? (?b sin ?, b cos ?) , 2 2
在 椭 圆 上 , 把 点 坐 标 带 入 椭 圆 方 程 可 得 :

a2 (

cos 2 ? sin 2 ? 1 cos 2 ? sin 2 ? ? ) ?1? 2 ? ? 9 4 a 9 4
1 1 1 1 13 1 sin 2 ? cos 2 ? ? ? ,两式相加可得: 2 ? 2 ? ? ? 为定值。 2 a b 9 4 36 b 9 4
) 由

同理可得:



2

??? ? ??? ? O ? P? 0

A知

B OP ? AB







| OP | ? | AB |?| OA | ? | OB |?| OP |?

| OA | ? | OB | ab ? | AB | a 2 ? b2

?

1 1 1 ? a 2 b2

?

36 36 为定值,所以 P 在以 O 为圆心,半径 的定圆上。 13 13
1 ,以 k 为主变量进行运算,但 k

【评析】本题也可利用 OA ? OB ,设他们的斜率分别为 k , ?

| OA |,| OB | 用 k 来 表 示 比 较 麻 烦 。 如 能 观 察 到 用 角 度 和 距 离 两 个 量 非 常 简 洁 的 表 示 | OA | , |OB ,选用极坐标系,则解题可事半功倍。 |
【例 6】(2012 全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系 xOy 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 (1)求证: | OA | ? | OC | 为定值; (2)当点 A 在 OB ? OD ? 6 . 半圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求点 C 的轨迹. 【分析】根据图中的菱形和等腰三角形的性质可知 O、A、C 三点共 线,结合菱形的对角线垂直可知边长关系,第(1)小题用平面几何 方法可快速求解,由点 O、A、C 三点共线知三点的角度是一样的, 只有长度不一样,加上(1)的结论可知,|AO|与|OC|的长度之积为 定值 20,第(1)小题可以用极坐标( ? ,? )求解。 【解析】 (1)因为 OB ? OD , AB ? AD ? BC ? CD 所以 O, A, C 三点共线,如图,连结 BD ,则 BD 垂直平分线段 AC ,设垂足为 K ,于是有

OA ? OC ? ( OK ? AK )( OK ? AK ) ? OK ? AK
2 2 2 2 2 2

2

2

? ( OB ? BK ) ? ( AB ? BK ) ? OB ? AB ? 62 ? 42 ? 20 (定值)
(2)以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设 A( ?1 , ? ), C ( ? 2 , ? )( ?

?

4

?? ?

?

4

) ,则由(1)的结论可得: ?1 ? ?2 ? 20 (*)

而点 A 所在的半圆的极坐标方程为: ? ? 4cos ? ( ? 所以 ?1 ? 4cos? ,带入(*)可得: ? 2 ?

?
4

?? ?

?
4

)

5 ? ? (? ? ? ? ) cos ? 4 4

在转化为直角坐标: x ? ?2 cos? ? 5, y ? ?2 sin ? ? 5tan ? ?[?5,5] 故点 C 的轨迹为线段 x ? 5(?5 ? y ? 5) 。 高中数学竞赛中的解析几何题的解题策略多种多样,还有很多方法和技巧,比如说用直线 的参数方程来求解某些有关定点到动点距离的问题会比较方便,用曲线的参数方程在化两元为 一元的问题上有很多的优势等,我们只有掌握一些常用的技巧和方法,在做题的时候根据题设

和结论的背景和特征,选择合适的方法,才能快速准确的解决解析几何问题。 【同步练习】

3 4 x2 y 2 1、 已知椭圆方程: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,过椭圆左焦点 F 的一条动弦 AB, 其斜率 k ? [ , ] , 4 3 a b
并且 3a2 ? 4b2 ? 0, AF ? ? BF ,求 ? 的取值范围。 【解析】由 3a ? 4b ? 0 知 a ? 2c, b ? 3c ,所以椭圆方程可化为: 3x2 ? 4 y 2 ? 12c2
2 2

??? ?

??? ?

设直线 AB: x ? my ? c ,联立椭圆方程消去 x 可得: (3m2 ? 4) y 2 ? 6mcy ? 9c2 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则由 AF ? ? BF 得 ? ? ?

??? ?

??? ?

y1 , y2

结合: y1 ? y2 ?

6mc ?9c 2 , y ? y ? 消去 y1 , y2 得: 1 2 3m2 ? 4 3m2 ? 4

(1 ? ? ) 2

?

?

4m 2 4 4 36 16 ? ? ?[ , ] 2 2 3m ? 4 3 ? 4 3 ? 4k 91 21 2 m
13 7 3 7 ??? 或 ??? 7 3 7 13

再解关于 ? 的不等式组可得:

2、如图,已知 A、B 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,Q 为椭圆的右准线与 x 轴 a 2 b2

的交点,过 Q 的直线与椭圆交于点 C、D(C 在 Q,D 之间) ,直线 AD 与 BC 相交于点 P,求 点 P 的轨迹方程。 【解析】记椭圆的右焦点为 F,连接 CF、DF、PF,其中 DF 交椭圆与点 G,PF 交 DQ 与 E 根据椭圆的第二定义:

CQ CF ? (1) DQ DF

FQ 为 ? DFC 中 ?DFC 的外角平分线, 则 ?CFQ ? ?QFG ? ?DFA (2) P D E A O F G C B Q



AF a ? c AQ ? ? , FB a ? c QB

所以 A、F、B、Q 为调和点列。 而 D、E、C、Q 四点共线, 所以 D、E、C、Q 也是调和点列。 则

DE DF DE DQ ? ? , 由(1)式得: EC FC EC QC

所以 PF 为 ? DFC 中 ?DFC 的角平分线, ?DFP ? ?PFC ,结合(2)式得: PF ? x 轴

而 P 点在椭圆外,所以点 P 的轨迹方程为: x ? c ( y ?

b2 b2 或y?? ) a a

x2 y 2 3、过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 右焦点 F(1,0)的直线(长轴除外)与椭圆交于 M、N 两点, a b
自 M、 N 向右准线 l : x ? 4 做垂线, 垂足分别为 M1 , N1 ,记 ?FMM1 , ?FM1 N1 , ?FNN1 的面积分
2 别为 S1 , S2 , S3 ,是否存在 ? ,使得 S2 ? ?S1S3 恒成立?若存在求出 ? 的值,若不存在,说明理

由。 【解析】以右焦点 F 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为:

??

ep 1 ? e cos ?

设 | FM |? ?1 ,| FN |? ?2 , ?MFx ? ? , 则 M ( ?1 , ? ) , N ( ?2 , ? ? ? ) 易知椭圆的离心率 e ? 则

1 ,由椭圆的第二定义可知 | MM1 |? 2?1 ,| NN1 |? 2?2 , 2 1 S1 ? | MF || MM 1 | sin ?M 1MF ? ?12 sin ? 同 2
1



1 2 | N | F? | , 1 ? ? 2 1 3 而 S3 ? ? 3( ?1 sin ? ? ? 2 sin ? ) ? ( ?1 ? ? 2 ) sin ? 2 2 S3 ?
2

N ? |

N s

2

i

N

n

N

ep ep [ ? ]2 SS 9( ?1 ? ? 2 ) 9 1 ? e cos ? 1 ? e cos(? ? ? ) 9 4 ?? 1 3 ? ? ? ? ? ? 4 为定值。 2 2 2 ep ep S2 4 ?1 ? ? 2 4 ( )2 ( ) 2 4 (ep) 1 ? e cos ? 1 ? e cos(? ? ? )
2 所以存在实数 ? ? 4 使得 S2 ? 4S1S3 恒成立。

M

M1

O

F

N

N1


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