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高二下学期理科数学周日练习卷---第13周


高二下学期理科数学周日练习卷---第 13 周 1 1 1 1 1 一.选择题 1.复数 z ? 的共轭复数是 ( )A. ? i B. ? i C.1 ? i D.1 ? i 1? i 2 2 2 2
2.由直线与圆相切时,圆心到切点的连线与直线垂直,想到平面与球相切时,球心与切点连线 与平面垂直,这种思维方式是( )A.归纳推理 B. 演绎推理 C. 类比推理 D.

其他推理 3.已知平面内 A、B、C、D 四点,任意三点不在同一直线上,则连接任意两点的所有向量的个 数为( ) A.6 B.12 C.24 D.48 4.随机变量 ? 服从正态分布 N (40, ? 2 ) ,若 P(? ? 30) ? 0.2 ,则 P(30 ? ? ? 50) ? ( A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 )

5.用火材棒摆“金鱼”,如图所示:

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火材棒的根数为( A.8n-2 B.8n+2 C.6n-2 D.6n+2 6.函数 y ? x ? ln x ? 2 的单调增区间是(
1 3 1 2 n

) C. ( ,??)

)A. (0, )

1 e

B. (0, e)

1 e

D. (e,??)

7.设 (3 x ? x ) 展开式的各项系数之和为 t,其二项式系数之和为 h,若 t+h=272,则展开式中

x 2 的系数是(

) A.

1 2

B.1

C.12

D.81

8.设一汽车在前进途中经过 4 个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 通行)的概率为

3 ,遇到红灯(禁止 4

1 。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进, ? 表示停车时已经通过 4
) D.
'

的路口数。则停车时最多已经通过 2 个路口的概率是( A.

9 64

B.

37 64

C.
'

27 256

175 256
'

二、填空题 9. 设 f 0 ( x) ? cos x, f1 ( x) ? f 0 ( x), f 2 ( x) ? f1 ( x),..., f n ?1 ( x) ? f n ( x)(n ? N ) ,则

f 2013 ( x) ?

.

10.若 X ~ B (n, ) ,且 E ( x) ? 8, 则 D ( x) =

1 3

.

11.一物体在力 F ( x) ? 2 x ? 1(力的单位:N)的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=0 处运 动到 x=4 处(单位:m) ,则力 F ( x) 所作的功为 .

1

1 ? ? 12. ? 2 x3 ? ? 的展开式中常数项的值是 x? ?
13. [ n ] 表示不超过 n 的最大整数.

7

.(用数字作答)

S1 ? [ 1] ? [ 2] ? [ 3] ? 3 S2 ? [ 4] ? [ 5] ? [ 6] ? [ 7] ? [ 8] ? 10 S3 ? [ 9] ? [ 10] ? [ 11] ? [ 12] ? [ 13] ? [ 14] ? [ 15] ? 21
14.已知抛物线 那么

S5 ?

.

的右焦点重合, 抛物线的准线与 x 轴的 y 2 ? 2 px 的焦点 F 与双曲线 x 2 y 2 ? ?1 7 9 △ . 交点为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |? 2 | AF | ,则 AFK 的面积为 三、解答题 15.盒子中有大小相同的球 10 个,其中标号为 1 的球 3 个,标号为 2 的球 4 个,标号为 5 的球 3 个.先从盒子中任取 2 个球(假设取到每个球的可能性相同),设取到两个球的编号之和为

? .(1)求随机变量 ? 的分布列;(2)求两个球编号之和大于 6 的概率.

16. 甲、乙两位篮球运动员定点投篮 , 甲投篮一次命中的概率为

1 乙投篮一次命中的概率为 2,

2 .每人各投 4 个球,两人投篮命中的概率互不影响.(1)求甲至多命中 1 个球且乙至少命中 1 3
个球的概率;(2)若规定每投篮一次命中得 3 分,未命中得 ?1分,求乙所得分数? 的概率分布列和 数学期望.

2

17.如图,在圆锥 PO 中,已知 PO ? 2 ,⊙O 的直径 AB ? 2 , C 是 AB 的中点, D 为 AC 的 中点.(1)证明:平面 POD ? 平面 PAC ; (2)求二面角 B ? PA ? C 的余弦值.

18.数列 {an } 满足 Sn ? 2n ? an (n ? N* ) . (1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ,由此猜想通项公式 an ,并用数学归纳法证明此猜想; (2)若数列 {bn } 满足 bn ? 2n?1 an ,求证:

1 1 ? ? b1 b2

?

1 5 ? . bn 3

3

19.已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A、B 两点. a 2 b2

(1)若半焦距 c ? 3 ,直线 x ? ? a 与 y ? ?b 围成的矩形 ABCD 的面积为 8,求椭圆的方程; (2)若 OA ? OB ? 0 ( O 为坐标原点),求证:

1 1 ? 2 ?2; 2 a b

(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率 e 满足

3 2 ,求椭圆长轴长的取值范围. ?e? 3 2

20.已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) . x

(1)函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上是增函数还是减函数?证明你的结论; (2)当 x ? 0 时, f ( x ) ?

k 恒成立,求整数 k 的最大值; x ?1

4

一.选择题:ACBCD CBB 二.填空题:9. ? sin x ; 10.

16 ;11. 20J ; 3

12. 14

13. 55

14. 32

三.解答题:15. ? 的取值为 2,3,4,6,7,10
1 1 2 C32 C3 C4 4 1 C4 2 p (? ? 2) ? 2 ? , p (? ? 3) ? 2 ? , p (? ? 4) ? 2 ? , C10 15 C10 15 C10 15 1 1 1 1 C3 C3 1 C4 C3 4 C32 1 , , ? p ( ? ? 7 ) ? ? p ( ? ? 10 ) ? ? 2 2 2 C10 5 C10 15 C10 15

p (? ? 6) ?

? 的分布列为 ?
P 2
1 15

3
4 15

4
2 15

6
1 5

7
4 15

10
1 15

(2) p (? ? 6) ? p (? ? 7) ? p (? ? 10) ?

4 1 1 ? ? 。 15 15 3

16.解: (1)设“甲至多命中 1 个球””为事件 A,“乙至少命中 1 个球”为事件 B,……1 分

1 4 5 2 1 80 ? ? P( B) ? 1 ? (1 ? ) 4 ? 1 ? ? …5 分 16 16 16 3 81 81 5 80 25 ? ? ∴甲至多命中 2 个球且乙至少命中 2 个球的概率为 P ( AB ) ? P ( A) P ( B ) ? …6 分 16 81 81 (2)乙所得分数? 的可能取值为 ?4, 0, 4,8,12 , …………7 分 1 4 1 8 24 1 2 1 3 2 2 2 1 2 则 P (? ? ?4) ? ( ) ? , P (? ? 0) ? C4 ( )( ) ? , P (? ? 4) ? C4 ( ) ( ) ? , 3 81 3 3 81 3 3 81 2 16 32 3 2 3 1 P (? ? 8) ? C4 ( ) ( ) ? , P(? ? 12) ? ( ) 4 ? …………11 分 3 81 3 3 81 ? 分布列如下: ? 12 0 4 8 ?4 1 8 24 32 16 P 81 81 81 81 81 1 8 24 32 16 20 ? 0? ? 4? ? 8? ? 12 ? ? ……13 分 E? ? ?4 ? …14 分 81 81 81 81 81 3 17.解如图所示,以 O 为坐标原点, OB, OC , OP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴, z 轴建立空间 1 1 直角坐标系,则 O(0,0,0), A(?1,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), P(0,0, 2) , D ( ? , , 0) …2 分 2 2 (1)设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 POD 的一个法向量,
由题意得,P ( A) ? ( ) ? C4 ( ) ( ) ?
4 1 1 3

1 2

1 2

1 2

5

1 ? 1 ?? x1 ? y1 ? 0, 2 则由 n1 ? OD ? 0, n1 ? OP ? 0 ,得 ? 2 所以 z1 ? 0, x1 ? y1 , ? 2 z ? 0. ? 1
取 y1 ? 1 得 n1 ? (1,1,0) …4 分设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 PAC 的一个法向量,

? ? y2 ? 2 z2 ? 0. 所以 x2 ? ? 2z2 , y2 ? 2z2 ,取 z2 ? 1 ,得 n2 ? (? 2, 2,1)

则由 n2 ? PA ? 0, n1 ? PC ? 0 ,得 ?

? ?? x2 ? 2 z2 ? 0,
……6 分

因为 n1 ? n2 ? (1,1,0) ? (? 2, 2,1) ? 0 ,所以 n1 ? n2 从而平面 POD ? 平面 PAC 8 分 (2)因为 y 轴 ? 平面 PAB ,所以平面 PAB 的一个法向量为 n3 ? (0,1,0) 由(1)知,平面 PAC 的一个法向量为 n2 ? (? 2, 2,1) 设向量 n2 和 n3 的夹角为 ? ,则 cos ? ? 所以二面角 B ? PA ? C 的余弦值为

n2 ? n3 n2 ? n3

?

2 10 ? ……13 分 5 5

10 . 5

……14 分

18.解: (1)当 n=1 时,a1=S1=2-a1,∴a1=1. 3 当 n=2 时,a1+a2=S2=2× 2-a2,∴a2= ……1 分 2 7 当 n=3 时,a1+a2+a3=S3=2× 3-a3,∴a3= . 4 2n-1 15 当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=S4=2× 4-a4,∴a4= . …2 分由此猜想 an= n-1 (n∈N*)4 分 8 2 1 2 -1 现用数学归纳法证明如下:①当 n=1 时, a1= 0 =1,结论成立. 2 2k-1 ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N*)时,结论成立,即 ak= k-1 ,那么当 n=k+1 时, 2 ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1, 2k-1 2+ k-1 + 2 2+ak 2k 1-1 ∴2ak+1=2+ak,∴ak+1= = = ,故当 n=k+1 时,结论成立, 2 2 2k 2n-1 由①②知猜想 an= n-1 (n∈N*)成立……8 分 2 (2)由(1)知, bn ? 2
n ?1

an ? 2n ?1 ?

2n ? 1 1 1 ? 2n ? 1 , ? n .……9 分 n ?1 2 bn 2 ? 1

解法 1:当 n ? 3 时,?

1 1 2n?1 ? 1 ? n ? n bn 2 ? 1 (2 ? 1)(2n?1 ? 1)
? 2n?1 1 1 ? n?1 ? n n n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
6

………10 分

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( n?1 ? n ) bn 3 3 7 7 15 2 ?1 2 ?1 5 1 5 ? ? n ? . ………12 分 3 2 ?1 3 1 n 1 2 1 1 1 1 1 解法 2:当 n ? 2 时, ( ) ? ( ) ,? ? ? ? ? n?2 …10 分 2 2 bn 2n [1 ? ( 1 )n ] 2n [1 ? ( 1 )2 ] 3 2 2 2 1 1 ? n ?1 5 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1 ? ( 0 ? 1 ? 2 ? ? n?2 ) ? 1 ? ? 2 ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? 3 b1 b2 bn 3 2 2 2 2 3 1? 1 3 2 2 2 2 ?a ? b ? 3 ?a ? 2 x2 ? y 2 ? 1.....4 分 19.解: (1)由已知得: ? 解得 ? 所以椭圆方程为: 4 ?b ?1 ? 4ab ? 8 ? ?
(2)设 A(x1, y1), B( x2, y 2) ,由 ?

1 1 ? ? b1 b2

?b2 x2 ? a2 y2 ? a2 b2 ,得 (a2 ? b2 )x2 ? 2a2 x ? a 2 (1 ?b 2 ) ? 0 x ? y ? 1 ? 0 ?
2 2

由 ? 2a2b2 (a2 ? b2 ? 1) ? 0 ,得 a ? b ? 1

2a 2 a 2 (1 ? b2 ) ? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 a ? b2 a ? b2 由 OA ? OB ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0
∴ 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 即 a ? b ? 2a b ? 0 ,故
2 2 2 2

……7 分 ……8 分

(3)由(2)得 b ?
2

a2 2a 2 ? 1

1 1 ? 2 ?2 ……9 分 2 a b c2 a 2 ? b2 2 2 2 2 2 由e ? 2 ? ,得 b ? a ? a e , a a2

1 ……12 分 1 ? e2 3 3 2 5 2 ?e? 由 得 ? a ? ,∴ 5 ? 2a ? 6 4 2 3 2 所以椭圆长轴长的取值范围为 [ 5, 6] …14 分
∴ 2a ? 1 ?
2

1 ? ln( x ?1)] x ? 1 ? 20.解: (1)由题 x ? 0, f ( x) ? ? ?0 x2 故 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上是减函数 [
7

…………2 分 …………3 分

k x ?1 [1 ? ln( x ? 1)] 在 (0, ??) 上恒成立, …4 分 恒成立,即 k ? x ?1 x x ?1 x ? 1 ? ln( x ? 1) [1 ? ln( x ? 1)] ,则 h ' ( x) ? 取 h( x ) ? , ………5 分 x x2 1 x ? ? 0, 再取 g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1), 则 g ?( x) ? 1 ? …………6 分 x ?1 x ?1 故 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增 而 g (1) ? ? ln 2 ? 0, g (2) ? 1 ? ln 3 ? 0, g (3) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 故 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 上存在唯一实数根 a ? (2,3) ,? a ? 1 ? ln(a ? 1) ? 0 ……8 分 故当 x ? (0, a) 时, g ( x) ? 0 , h?( x) ? 0 ,当 x ? (a, ??) 时 g ( x) ? 0 , h?( x) ? 0 a ?1 故 h( x) min ? h(a ) ? ?1 ? ln(a ? 1)? ? a ? 1? (3, 4), ? k ? 3 故 kmax ? 3 …10 分 a
(2)当 x ? 0 时, f ( x ) ?

8


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