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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修1:第三章 函数的应用 单元同步测试]


第三章测试
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.二次函数 f(x)=2x2+bx-3(b∈R)的零点个数是( A.0 C.2 B.1 D.不确定 )

解析 方程 2x2+bx-3=0 的判别式 Δ

=b2+24>0 恒成立, 所以方 程有两个不等实根,因而函数 f(x)有两个零点. 答案 C

2.若函数 y=f(x)唯一的一个零点在区间(0,2),(1,2),(0,4)内,则 下列命题中正确的是( )

A.函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数 f(x)在区间(1,1.5)内有零点 C.函数 f(x)在区间(2,4)内无零点 D.函数 f(x)在区间(1,4)内无零点 解析 可用排除法,由题意知在(0,1)内没有零点,所以 A 错.B

不一定,因为在(1,4)内一定有零点,所以 D 错,故 C 正确. 答案 C

3.根据表中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的 区间是( ) x ex -1 0.37 0 1 1 2 3

2.72 7.39 20.09

x +2 A.(-1,0) C.(1,2) 答案 C

1

2

3

4 B.(0,1) D.(2,3)

5

4.方程 lnx+2x-8=0 根的个数是( A.0 个 C.2 个 解析 利用图象作答. 答案 B

)

B.1 个 D.3 个

5.下列函数中,随着 x 的增大,其增大速度最快的是( A.y=0.001ex C.y=x1000 B.y=1000lnx D.y=1000· 2x

)

解析 增大速度最快的应为指数型函数,又 e≈2.718>2. 答案 A

6.已知直角梯形 OABC 中,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC= BC=2,直线 x=t 截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴 影部分)为 y,则函数 y=f(t)的大致图象为图中的( )

解析

按一般方法求解,应先求出函数表达式,根据表达式确定

图象,然而按小题小作的原则,不必求出解析式,观察图象不难发现 C 正确,因为一开始面积增长较快,当 1≤t≤2 时,面积平均增长,图象 为直线,只有 C 适合这种规律. 答案 C

7.已知函数 f(x)=ex-x2+8x,则在下列区间中 f(x)必有零点的是 ( ) A.(-2,-1) C.(0,1) 解析 B.(-1,0) D.(1,2)

f(x)=ex-x2+8x,f(-2)=e-2-4-16<0,f(-1)=e-1-1-

8<0,f(0)=e0=1>0,∴f(x)在区间(-1,0)内至少有一个零点,故选 B. 答案 B
? ?

N? ? 8.已知函数 t=-144lg?1-100?的图象可表示打字任务的“学习 曲线”,其中 t(h)表示达到打字水平 N(字/min)所需的学习时间,N 表 示打字速度(字/min),则按此曲线要达到 90 字/min 的水平,所需的学 习时间是( A.144 h C.60 h ) B.90 h D.40 h

90 ? ? 解析 由 N=90 可知,t=-144lg?1-100?=144 h.
? ?

答案

A

9.在一次数学实验中,运用计算器采集到如下一组数据: x y -2.0 -1.0 0.24 0.51 0 1 1.00 2.00 3.00 2.02 3.98 8.02

则 x,y 的函数关系与下列哪类函数最接近(其中,a,b 为待定系 数)( ) A.y=a+bx C.y=a+logbx 解析 B.y=a+bx b D.y=a+x

B 为匀速递增,对 C,x 要求大于 0,D 是成反比,又因为

函数值增长速度越来越快,只有 A 项中指数型函数最接近. 答案 A

10.实数 a,b,c 是图象连续不断的函数 y=f(x)定义域中的三个 数,且满足 a<b<c,f(a)· f(b)<0,f(b)· f(c)<0,则函数 y=f(x)在区间(a, c)上的零点个数为( A.2 C.偶数 解析 画出示意图. ) B.奇数 D.至少是 2

可知,至少有 2 个零点,应选 D. 答案 D

11. 某方程在区间 D=(2,4)内有一无理根, 若用二分法求此根的近 似值,要使所得近似值的精确度达到 0.1,则应将 D 分( )

A.2 次 C.4 次

B.3 次 D.5 次

解析 等分 1 次,区间长度为 1,等分 2 次区间长度为 0.5,?, 等分 4 次,区间长度为 0.125,等分 5 次,区间长度为 0.0625<0.1,符 合题意.故选 D. 答案 D

12.西南大旱,为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民 生活用水,实行“阶梯水价”.计算方法如下表: 每户每月用水量 不超过 12m3 的部分 水价 3 元/m3

超过 12 m3 但不超过 18 m3 的部分 6 元/m3 超过 18 m3 的部分 9 元/m3

若某户居民本月交纳的水费为 48 元,则此户居民本月用水量 ( ) A.比 12 m3 少 B.比 12 m3 多,但不超过 18 m3 C.比 18 m3 多 D.恰为 12 m3 答案 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在 题中横线上) 13.为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套 设计的,研究表明:假设课桌的高度为 y cm,椅子的高度为 x cm,则 y 应是 x 的一次函数.下表列出两套符合条件的课桌椅的高度: 第一套 第二套

椅子高度 x(cm) 课桌高度 y(cm)

40.0 75.0

37.0 70.2

则 y 与 x 的函数关系为________.(不需注明定义域). 解析 依题意,由于课桌高度 y 是椅子高度 x 的一次函数,故可 设 y=ax+b(a≠0), 将给出的符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函 数关系式,
? ?40a+b=75, 得? ? ?37a+b=70.2, ? ?a=1.6, 解得? ?b=11. ?

所以 y 与 x 的函数关系式是 y=1.6x+11. 答案 y=1.6x+11

14.用二分法求方程 x3+4=6x2 的一个近似解时,已经将一根锁 定在区间(0,1)内,则下一步可断定该根所在的区间为________. 解析 设 f(x)=x3-6x2+4, 显然 f(0)>0,f(1)<0,
?1? ?1? ?1? 又 f?2?=?2?3-6×?2?2+4>0, ? ? ? ? ? ? ?1 ? ∴下一步可断定方程的根所在的区间为?2,1?. ? ? ?1 ? 答案 ?2,1? ? ?

15.函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,则函数 g(x)=bx2-ax 的零 点是________. 解析 ∵f(x)=ax+b 有一个零点是 2,∴2a+b=0.而 g(x)=bx2- a 1 ax=x(bx-a)=0,∴x=0,或 x=b=-2.

1 答案 0,-2 16.已知 y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示.令 f(x)=x(x-1)(x+1) +0.01,则下列关于 f(x)=0 的解叙述正确的是________.

①有三个实根;②x>1 时恰有一实根;③当 0<x<1 时恰有一实根; ④当-1<x<0 时恰有一实根;⑤当 x<-1 时恰有一实根. 解析 f(x)的图象是将函数 y=x(x-1)(x+1)的图象向上平移 0.01

个单位得到的,故 f(x)的图象与 x 轴有三个交点,它们分别在区间(- 1? ?1 ? ? ∞,-1),?0,2?和?2,1?内,故只有①⑤正确.
? ? ? ?

答案

①⑤

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知二次函数 f(x)的图象过点(0,3),它的图 象的对称轴为 x=2, 且 f(x)的两个零点的平方和为 10, 求 f(x)的解析式. 解 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), b 由题意知,c=3,-2a=2. 设 x1,x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两根,

b c 则 x1+x2=-a,x1· x2=a.
2 2 ∵x2 1+x2=10,∴(x1+x2) -2x1x2=10,即

? b?2 2c 6 ?- ? - =10,∴(-4)2- =10, a a ? a?

∴a=1,b=-4. ∴f(x)=x2-4x+3. 18.(本小题满分 12 分)A、B 两城相距 100 km,在两地之间距 A 城 x km 处 D 地建一核电站给 A、B 两城供电,为保证城市安全.核电 站与城市距离不得少于 10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电 量之积成正比,比例系数 λ=0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月,B 城为 10 亿度/月. (1)求 x 的范围; (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数; (3)核电站建在距 A 城多远,才能使供电费用最小. 解 (1)x 的取值范围为 10≤x≤90;

(2)y=0.25×20x2+0.25×10(100-x2) 5 =5x2+2(100-x)2(10≤x≤90); 5 15 15 ? 100? (3) 由 y = 5x2 + 2 (100 - x)2 = 2 x2 - 500x + 25000 = 2 ?x- 3 ? 2 + ? ? 50000 3 . 100 则当 x= 3 km 时,y 最小. 100 故当核电站建在距 A 城 3 km 时,才能使供电费用最小. 19.(本小题满分 12 分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方 案:当销售利润不超过 15 万元时,按销售利润的 10%进行奖励;当销

售利润超过 15 万元时,若超过部分为 A 万元,则超出部分按 2log5(A +1)进行奖励,没超出部分仍按销售利润的 10%进行奖励.记资金总 额为 y(单位:万元),销售利润为 x(单位:万元). (1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式; (2)如果业务员老张获得 5.5 万元的资金,那么他的销售利润是多 少万元? 解 (1)由题意,

? ?0.1x,0<x≤15, 得 y=? ?1.5+2log5?x-14?,x>15. ?

(2)∵x∈(0,15]时,0.1x≤1.5, 又 y=5.5>1.5,∴x>15, 所以 1.5+2log5(x-14)=5.5,x=39. 答:老张的销售利润是 39 万元. 20.(本小题满分 12 分)某医药研究所开发一种新药,如果成年人 按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与 时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.

(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定:每毫克血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗

疾病有效. ①求服药一次治疗疾病有效的时间; ②当 t=5 时,第二次服药,求服药后 30 分钟,每毫升血液中的含 药量. 解 (1)把点 M(1,4)分别代入所给解析式可得

? ?4t ?0≤t<1?, y=? 3-t ? ?t≥1?. ?2 ? ?0≤t<1, (2)①∵? 解得 0.0625≤t<1. ?4t≥0.25, ? ? ?t≥1, 又? 3-t 解得 1≤t≤5. ?2 ≥0.25, ?

综上知,0.0625≤t≤5. ②由题设知,第二次服药后血液中每毫升的含药量 1 y=2×4+23-5.5 =2+0.177=2.177(微克). 1 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x-1+2x2-2, 试利用基本初 等函数的图象判断 f(x)有几个零点; 并利用零点存在性定理确定各零点 所在的范围(各区间长度不超过 1). 解

1 1 由 f(x)=0,得 x-1=-2x2+2,令 y=x-1,y=-2x2+2,其中抛物 线顶点为(0,2),与 x 轴交于点(-2,0),(2,0). 1 如图所示 y=x-1,y=-2x2+2 的图象有 3 个交点,从而函数 f(x) 有 3 个零点. ∵x≠0,f(x)图象在(-∞,0),(0,+∞)上分别是连续不断的,
?1? 1 13 1 且 f(-3)= 6 >0,f(-2)=-2<0,f?2?=8>0, ? ?

1 1 f(1)=-2<0,f(2)=2>0,
?1? 即 f(-3)· f(-2)<0,f?2?· f(1)<0, ? ?

f(2)· f(1)<0,
?1 ? ∴ 三个零点分别在区间(-3,-2),?2,1?,(1,2)内. ? ?

22.(本小题满分 12 分)某县城出租车的收费标准是:起步价是 5 元(乘车不超过 3 公里);行驶 3 公里后,每公里车费 1.2 元;行驶 10 公里后,每公里车费 1.8 元. (1)写出车费与路程的关系式; (2)一顾客行程 30 公里,为了省钱,他设计了两种乘车方案:

①分两段乘车:乘一车行 15 公里,换乘另一车再行 15 公里; ②分三段乘车:每乘 10 公里换一次车. 问哪一种方案最省钱. 解 (1)车费 f(x)与路程 x 的关系式为

5 ?0<x≤3?, ? ? f(x)=?5+?x-3?×1.2 ?3<x≤10?, ? ?5+7×1.2+?x-10?×1.8 ?x>10?, 5 ?0<x≤3?, ? ? 即 f(x)=?1.2x+1.4 ?3<x≤10?, ? ?1.8x-4.6 ?x>10?. (2)30 公里不换车的车费为 1.8×30-4.6=49.4(元); 方案①:行驶两个 15 公里的车费为 (1.8×15-4.6)×2=44.8(元); 方案②:行三个 10 公里的车费为 (1.2×10+1.4)×3=40.2(元). 由此可见,方案①和方案②都比不换车省钱,方案②比方案①更 省钱.


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