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高中数学必修一:1.2.1-1《函数的概念》课件(新人教版A)


初中函数的概念:
在某变化过程中,有两个变量x、y,如果给定 一个x ,相应地确定唯一的一个y 值。那么就称 y是x 的函数,其中x是自变量,y是因变量。
从上面概念知道:可以用函数描述变量x, y之间的依赖关系。下面我们将进一步的 学习函数及其构成要素。 首先请看这几例子:

引例一 一枚炮弹发射后,经过60s落到地面击中目标。炮弹

的射高 为4410m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间(单 位:s)变化的规律是 h=294t-4.9t2

思考以下问题: (1) 炮弹飞行1秒、8秒、15秒、25秒时距地面多高? (2) 炮弹何时距离地面最高? (3) 你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和 集合B表示出来。 (4)对于集合A中的任意一个时间t,按照对应关系,在B 中是否都有唯一确定的高度h和它对应?

引例二
近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问 题.下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变 化情况

思考: (1)能从图中看出哪一 年臭氧层空洞的面积 最大? (2)哪些年的臭氧层空 洞的面积大约为1500 万平方千米? (3)变量t的取值范围是 多少?

引例三 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情 况如下表:
年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 家庭 恩格 53.8 尔系 数% 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9

请问:
(1)恩格尔系数与年份之间的关系是否和前两个事例中 的两个变量之间的关系相似? (2)如何用集合与对应的语言来描述这个关系?

以上三个实例有那些公共的特点?

它们的关系可以描述为: 对于数集A中的每一个t,按照某种对应 关系f,在数集B中都有唯一确定的h和它 对应,记作:

f:A

B

所以得到函数的概念:

设A和B是两个非空集合,如果按照某种对应关 系f,使A的任何一个x,在B中都有唯一确定的 f(x)和它对应,那么就称 f:A B为从集 合A到集合B的一个函数。记作:

y ? f x , x?A
? ? ? ? ? ? ? ?

x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域, 与x的值对应的y值叫做函数值。 函数值的集合{f ? x ? | x ? A}叫做函数的值域。

例如:
(1)一次函数y=ax+b(a≠0) 定义域为R x
(2)二次函数 定义域为R x 值域为R y=ax+b (a≠0)

y ? a x2 ? bx ? c(a ? 0)
值域为B

y ? a x2 ? bx ? c(a ? 0) 4ac ? b2} 当a ? 0时,B ? { y | y ? 4a 4ac ? b2} 当a ? 0时,B ? { y | y ? 4a

例1 已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ?

(1)求函数的定义域 2 (2)求 f ( ?3), f ( 3 ) 的值

1 x?2

(3)当a>0时,求 f (a), f (a ? 1) 的值 解(1) x ? 3 有意义的实数x的集合是{x|x≥-3} 1 x ? 2 有意义的实数x的集合是{x|x≠2} 所以 这个函数的定义域就是 {x | x ? ?3} ? {x | x ? ?2} ? {x | x ? ?3, x ? ?2}

1 f ? ?1 (2) ( ?3) ? ? 3 ? 3 ? ?3? 2 2 2 1 11 3 3 33 f( )? ?3? ? ? ? ? 2 3 3 3 8 8 3 ?2 3 (3)因为a>0,所以f(a),f(a-1)有意义 1 f (a) ? a ? 1 ? a?2 1 1 f ( a ? 1) ? a ? 1 ? 3 ? ? a?2? a ?1? 2 a ?1

课堂练习:P21 练习1/2

问题思考
设A={1,2,3},B={1,4,8,9},对应关系是f: 平方。问对应f:A B是否为从A到B的 一个函数? ? 这个函数的定义域是什么?值域C又是什 么?一般情况下,C与B之间有关什么关系? ? 两个函数相等的条件是什么?
?

今后如无特别声明,已知函数即指B为函数值域。 于是函数有三要素,即:
定义域

函数

对应关系 值域

*值域是由定义域和对应关系决定的。 *如果两个函数的定义域和对应关系完全 一致,就知这两个函数相等。
*通常用

y ? f x , x?A 表示函数已有所反映 。
? ? ? ? ? ? ? ?

例2下列函数哪个与函数y=x相等

(1) y ? (

x)

2

(2) y ? 3
( 4) y ?
2

x3
x2

(3) y ?

x2

解(1) y ? ( x ) ? x( x ? 0) ,这个函数与y=x(x∈R) 对应一样,定义域不不同,所以和y=x (x∈R)不相等 (2) y ? 3 x3 ? x( x ? R) 这个函数和y=x (x∈R) 对应关系一样 ,定义域相同x∈R,所以和y=x (x∈R)相等 x,x≥0 这个函数和y=x(x∈R) (3)

x

y?

x2

?| x |?

-x,x<0

定义域相同x ∈R,但是当x<0时,它的对应关系为y=-x 所以和y=x(x∈R)不相等

(4) ? y

x2

x

? x 的定义域是{x|x≠0},与函数 y=x(x∈R)

的对应关系一样,但是定义域 不同,所以和y=x(x∈R)不相 等

课堂练习:P21 练习3

设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:
⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间, 表示为[a,b]
⒉满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间, 表示为(a,b) ⒊满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做 半开半闭区间,表示为[a,b)或(a,b] 这里的实数a,b叫做相应区间的端点

定义 {x|a≤x ≤ b} {x|a<x < b}

名称 闭区间 开区间

符号 [a,b] (a,b)

数轴表示 a a a b b b

{x|a≤x < b} 半开半闭区间 [a,b)

{x|a<x ≤ b} 半开半闭区间 (a,b]

a

b

实数集R可以表示为(-∞,+ ∞) x≥a x >a
x≤b x<b
( -∞ ,b]
(a,+∞) (-∞,b) [a,+∞)

例3 设f(x)的定义域是[-1,3],值域为[0,1], 试求函数f(2x+1)的定义域及值域。 ? 分析:函数f(2x+1)的自变是仍是x,不是2x+1,
故应由2x+1满足的条件中求出x的取值范围, 进而得所求定义域;而2x+1已取遍定义域内的 每一个实数,所以值域没有改变。 解:由已知-1≤2x+1≤3,得-1≤x≤1。得函数 f(2x+1)的定义域是[-1,1],值域仍为[0,1]。 辩:将值域写成y∈[0,1]行吗?0≤y≤1呢?

?

?

例4(1)(孪生问题1)已知f(x)=x2-x+1,求f(2x+1)。 (2) (孪生问题2)已知f(2x+1)的定义域是[-1,3], 且f(x)的定义域由f(2x+1)确定,试求f(x)的定义域。 ? 解(1):f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+1=4x2+2x+1。 解(2):由已知-1≤x≤3,得2x+1∈[-1,7],又f(x) 的定义域由f(2x+1)确定,故f(x)的定义域为[1,7]。 注:(1)f(x)意含对x的一种运算法则; (2)解题时经常将一个变量作为整体看; (3) 2x+1∈[-1,7]与-1≤2x+1≤7是同义句。

课堂小结
一个概念,二种语言,三个要素。 ? 四项注意: 1、已知函数均指由定义域到值域的函数; 2、函数问题首先看定义域; 3、f(x)含对x的一种操作规定; 4、根据需要,常常要用整体看问题。
?

数学天才——莱布尼兹

函数这个数学名词是莱布尼兹在 1694年开始使用的,以描述曲线的一 个相关量,如曲线的斜率或者曲线上 的某一点。莱布尼兹所指的函数现在 被称作可导函数,数学家之外的普通 人一般接触到的函数即属此类。对于 可导函数可以讨论它的极限和导数。 此两者描述了函数输出值的变化同输 入值变化的关系,是微积分学的基础。

?再见!

祝大家有个好心 情!


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