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2015年全国高考文科数学试题及答案-广东卷


绝密★启用前

试卷类型:B

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1. 若集合 ? ? ??1,1? , ? ? ??2,1, 0? ,则 ? ? ? ? ( A. ?0, ?1? 【答案】C 【解析】 试题分析: ? ? ? ? ?1? ,

故选 C. 考点:集合的交集运算. 2. 已知 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ? ? (
2

) C. ?1? D. ??1,1?

B. ?0?

) C. ?2i D. 2i

A. ?2 【答案】D

B. 2

考点:复数的乘法运算. 3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A . y ? x ? sin x
2 2

) C . y ? 2x ?

B . y ? x ? cos x

1 2x

D. y ? x ? sin 2 x 【答案】A 【解析】 试题分析:函数 f ? x ? ? x ? sin x 的定义域为 R ,关于原点对称,因为 f ?1? ? 1 ? sin1 ,
2

f ? ? x ? ? 1 ? sin1 ,所以函数 f ? x ? ? x 2 ? sin x 既不是奇函数,也不是偶函数;函数
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f ? x ? ? x 2 ? cos x 的定义域为 R ,关于原点对称,因为
f ? ? x ? ? ? ? x ? ? cos ? ? x ? ? x 2 ? cos x ? f ? x ? ,所以函数 f ? x ? ? x 2 ? cos x 是偶函数;函数
2

1 1 1 的定义域为 R ,关于原点对称,因为 f ? ? x ? ? 2? x ? ? x ? x ? 2 x ? f ? x ? ,所以 x 2 2 2 1 函数 f ? x ? ? 2 x ? x 是偶函数;函数 f ? x ? ? x ? sin 2 x 的定义域为 R ,关于原点对称,因为 2 f ? x ? ? 2x ?

f ? ? x ? ? ? x ? sin ? ?2 x ? ? ? x ? sin 2 x ? ? f ? x ? ,所以函数 f ? x ? ? x ? sin 2 x 是奇函数.故选 A.
考点:函数的奇偶性.

?x ? 2 y ? 2 ? 4. 若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为( ?x ? 4 ?
A. 10 【答案】C B. 8 C. 5



D. 2

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考点:线性规划. 5. 设 ???C 的内角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c .若 a ? 2 , c ? 2 3 , cos ? ?

3 ,且 2

b ? c ,则 b ? (
A. 3 【答案】B 【解析】

) B. 2 C. 2 2 D. 3

试题分析:由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ,所以 22 ? b 2 ? 2 3

?

?

2

? 2?b? 2 3 ?

3 , 2

即 b 2 ? 6b ? 8 ? 0 ,解得: b ? 2 或 b ? 4 ,因为 b ? c ,所以 b ? 2 ,故选 B. 考点:余弦定理. 6. 若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 ? 内, l2 在平面 ? 内, l 是平面 ? 与平面 ? 的交线,则下列 命题正确的是( ) B. l 与 l1 , l2 都相交 D. l 与 l1 , l2 都不相交

A. l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 C. l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 【答案】A

考点:空间点、线、面的位置关系. 7. 已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次品的概率 为( A. 0.4 【答案】B 【解析】 试题分析: 5 件产品中有 2 件次品,记为 a , b ,有 3 件合格品,记为 c , d , e ,从这 5 件产品中 ) B. 0.6 C. 0.8 D. 1

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任取 2 件, 有 10 种, 分别是 ? a, b ? ,? a, c ? ,? a, d ? ,? a, e ? ,? b, c ? ,? b, d ? ,? b, e ? ,? c, d ? ,? c, e ? ,

? d , e ? ,恰有一件次品,有 6 种,分别是 ? a, c ? , ? a, d ? , ? a, e ? , ? b, c ? , ? b, d ? , ? b, e ? ,设事件
,则 ? ? ? ? ? ? ? “恰有一件次品” 考点:古典概型. 8.已知椭圆 A. 9 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意得: m 2 ? 25 ? 42 ? 9 ,因为 m ? 0 ,所以 m ? 3 ,故选 C. 考点:椭圆的简单几何性质. 9. 在平面直角坐标系 x?y 中,已知四边形 ??CD 是平行四边形, ?? ? ?1, ?2 ? , ?D ? ? 2,1? , 则 ?D ? ?C ? ( A. 2 【答案】D 【解析】 试题分析:因为四边形 ??CD 是平行四边形,所以 ?C ? ?? ? ?D ? ?1, ?2 ? ? ? 2,1? ? ? 3, ?1? ,所 以 ?D ? ?C ? 2 ? 3 ? 1? ? ?1? ? 5 ,故选 D. 考点:1、平面向量的加法运算;2、平面向量数量积的坐标运算. 10. 若集合 ? ?

6 ? 0.6 ,故选 B. 10

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 )的左焦点为 F1 ? ?4, 0 ? ,则 m ? ( 25 m 2
B. 4 C. 3

) D. 2

??? ?

????

???? ??? ?

) B. 3 C. 4 D. 5

??? ?

??? ? ????

???? ??? ?

?? p, q, r , s ? 0 ? p ? s ? 4, 0 ? q ? s ? 4, 0 ? r ? s ? 4且p, q, r , s ? ?? ,

F ? ?? t , u , v, w ? 0 ? t ? u ? 4, 0 ? v ? w ? 4且t , u , v, w ? ?? ,用 card ? ? ? 表示集合 ? 中的元素个
数,则

card ? ? ? ? card ? F ? ? (
A. 50 【答案】D

) B.100 C.150 D. 200

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考点:推理与证明.

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题)
11. 不等式 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 的解集为 【答案】 ? ?4,1? 【解析】 试题分析:由 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 得: ?4 ? x ? 1 ,所以不等式 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 的解集为 ? ?4,1? ,所 以答案应填: ? ?4,1? . 考点:一元二次不等式. 12. 已知样本数据 x1 , x2 , ??? , xn 的均值 x ? 5 ,则样本数据 2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1 , ??? , 2 xn ? 1 的 均值为 【答案】 11 . . (用区间表示)

考点:均值的性质. 13. 若三个正数 a , b , c 成等比数列,其中 a ? 5 ? 2 6 , c ? 5 ? 2 6 ,则 b ?
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【答案】 1 【解析】 试题分析: 因为三个正数 a , 所以 b ? ac ? 5 ? 2 6 c 成等比数列, b,
2

?

??5 ? 2 6 ? ? 1 ,因为 b ? 0 ,

所以 b ? 1 ,所以答案应填: 1 . 考点:等比中项.

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选作一题)
14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 x?y 中,以原点 ? 为极点, x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? cos ? ? sin ? ? ? ?2 ,曲线 C 2 的参数方程为
2 ? ?x ? t ( t 为参数) ,则 C1 与 C 2 交点的直角坐标为 ? ? ? y ? 2 2t



【答案】 ? 2, ?4 ? 【解析】 试题分析:曲线 C1 的直角坐标方程为 x ? y ? ?2 ,曲线 C 2 的普通方程为 y ? 8 x ,由 ?
2

? x ? y ? ?2
2 ? y ? 8x

得: ?

?x ? 2 ,所以 C1 与 C 2 交点的直角坐标为 ? 2, ?4 ? ,所以答案应填: ? 2, ?4 ? . ? y ? ?4

考点:1、极坐标方程化为直角坐标方程;2、参数方程化为普通方程;3、两曲线的交点. 15. (几何证明选讲选做题)如图 1 , ?? 为圆 ? 的直径, ? 为 ?? 的延长线上一点,过 ? 作圆 ? 的切线,切点为 C ,过 ? 作直线 ?C 的垂线,垂足为 D .若 ?? ? 4 , C? ? 2 3 ,则

?D ?



【答案】 3

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考点:1、切线的性质;2、平行线分线段成比例定理;3、切割线定理.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤. )
16、 (本小题满分 12 分)已知 tan ? ? 2 .

? 的值; 4? sin 2? 的值. ? 2? 求 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 ?
【答案】 (1) ?3 ; (2) 1 .

?1? 求 tan ? ?? ?

??

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考点:1、两角和的正切公式;2、特殊角的三角函数值;3、二倍角的正、余弦公式;4、同角三角 函数的基本关系. 17、 (本小题满分 12 分) 某城市 100 户居民的月平均用电量 (单位: 度) , 以 ?160,180 ? ,?180, 200 ? ,

? 200, 220 ? , ? 220, 240 ? , ? 240, 260 ? , ? 260, 280 ? , ? 280,300? 分组的频率分布直方图如图 2 .

?1? 求直方图中 x 的值; ? 2 ? 求月平均用电量的众数和中位数; ? 3? 在月平均用电量为 ? 220, 240 ? ,? 240, 260 ? ,? 260, 280 ? ,? 280,300? 的四组用户中,用分层抽 样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在 ? 220, 240 ? 的用户中应抽取多少户?
【答案】 (1) 0.0075 ; (2) 230 , 224 ; (3) 5 . 【解析】 试题解析: (1) 由 ? 0.002 ? 0.0095 ? 0.011 ? 0.0125 ? x ?0.005 ?0.0025 ? ?20 ?1 得:x ? 0.0075 , 所以直方图中 x 的值是 0.0075

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考点:1、频率分布直方图;2、样本的数字特征(众数、中位数) ;3、分层抽样. 18 、 (本小题满分 14 分)如图 3 ,三角形 ?DC 所在的平面与长方形 ??CD 所在的平面垂直, ?D ? ?C ? 4 , ?? ? 6 , ?C ? 3 .

?1? 证明: ?C// 平面 ?D? ; ? 2 ? 证明: ?C ? ?D ; ? 3? 求点 C 到平面 ?D? 的距离.

【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3) 【解析】

3 7 . 2

试题解析: (1)因为四边形 ??CD 是长方形,所以 ?C//?D ,因为 ?C ? 平面 ?D? , ?D ? 平面

?D? ,所以 ?C// 平面 ?D?
(2)因为四边形 ??CD 是长方形,所以 ?C ? CD ,因为平面 ?DC ? 平面 ??CD ,平面 ?DC ? 平面 ??CD ? CD , ?C ? 平面 ??CD ,所以 ?C ? 平面 ?DC ,因为 ?D ? 平面 ?DC ,所以

? C ? ?D
( 3 )取 CD 的中点 ? ,连结 ?? 和 ?? ,因为 ?D ? ?C ,所以 ?? ? CD ,在 Rt???D 中 ,

?? ? ?D 2 ? D? 2

? 42 ? 32 ? 7 ,因为平面 ?DC ? 平面 ??CD ,平面 ?DC ? 平面 ??CD ? CD , ?? ? 平面

?DC ,所以 ?? ? 平面 ??CD ,由(2)知:?C ? 平面 ?DC ,由(1)知:?C//?D ,所以 ?D ?
平面 ?DC ,因为 ?D ? 平面 ?DC ,所以 ?D ? ?D ,设点 C 到平面 ?D? 的距离为 h ,因为

V三棱锥C??D? ? V三棱锥???CD







1 1 S ??D? ? h ? S ??CD ? ?? 3 3





1 S ??CD ? ?? 2 ? 3 ? 6 ? 7 3 7 3 7 h? ? ? ,所以点 C 到平面 ?D? 的距离是 1 S ??D? 2 2 ? 3? 4 2
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考点:1、线面平行;2、线线垂直;3、点到平面的距离. 19、 (本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , n ? ? ? .已知 a1 ? 1 , a2 ? 且当 n ? 2 时, 4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 .

3 5 , a3 ? , 2 4

?1? 求 a4 的值;

? 2 ? 证明: ? ?an ?1 ?

? ? 3? 求数列 ?an ? 的通项公式.

1 ? an ? 为等比数列; 2 ?
n ?1

7 ?1? 【答案】 (1) ; (2)证明见解析; (3) an ? ? 2n ? 1? ? ? ? 8 ?2?



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考点:1、等比数列的定义;2、等比数列的通项公式;3、等差数列的通项公式.

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