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2015年高中数学同步检测:4.2.3《直线与圆的方程的应用》(人教A版必修2)]


数学·必修 2(人教 A 版)

4.2 4.2.3
基 础 达 标

直线、圆的位置关系 直线与圆的方程的应用

1.若直线 3x+4y+k=0 与圆 x +y -6x+5=0 相切,则 k 的值等于( A.1 或-19 C.-1 或-19 B.10 或-10 D.-1 或 19

2

r />
2

)

.解析:圆方程为(x-3) +y =2 ,∵圆与直线相切, ∴圆心到切线距离等于半径. ∴ |9+k| =2,∴k=1 或-19. 5

2

2

2

答案:A

3 y 2 2 2.如果实数 x,y 满足等式(x-1) +y = ,那么 的最大值是( 4 x A. 1 2 B. 3 3 C. 3 2 D. 3

)

y 解析: 的几何意义是圆上的点 P(x,y)与原点连线的斜率,结合图形得,斜率的最大值 x 为 3,

?y? ∴? ?max= 3. ?x?
答案:D

3.方程 x(x +y -1)=0 和 x -(x +y -1) =0 表示的图形是( A.都是两个点 B.一条直线和一个圆

2

2

2

2

2

2

)

C.前者是一条直线和一个圆,后者是两个圆 D.前者为两个点,后者是一条直线和一个圆

答案:C

4.设 A 为圆 C:(x+1) +y =4 上的动点,PA 是圆 C 的切线,且|PA|=1,则点 P 的轨 迹方程是________.

2

2

答案:(x+1) +y =5

2

2

5.下图所示是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度 AB=20 m,拱高 OP= 4 m,建造时每间隔 4 m 需要用一根支柱支撑,求支柱 A2P2 的高度(精确到 0.01 m).

解析:建立如下图所示直角坐标系,使圆心在 y 轴上,只需求出 P2 的纵坐标,就可得出 支柱 A2P2 的高度.

设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是 r,那么圆的方程是 x +(y-b) =r . 下面确定 b 和 r 的值. 因为 P,B 都在圆上,所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程 x +(y-b) =r .于是
? ?0 + 得到方程组? 2 ?10 + ?
2 2 2 2

2

2

2

- -

2

=r ,
2

2

=r ,

2

解得 b=-10.5,r =14.5 ,
2 2

2

2

所以,圆的方程是 x +(y+10.5) =14.5 .把点 P2 的横坐标 x=-2 代入圆的方程,得 (-2) +(y+10.5) =14.5 , 即 y+10.5= 14.5 - - 支柱 A2P2 的高度约为 3.86 m.
2 2 2 2 2

2

(P2 的纵坐标 y>0,平方根取正值).所以 y≈3.86(m),

巩 固 提 升 6.已知 x+y+1=0,那么 +
2





2

的最小值是________.

解析:



2





2

表示点(x,y)与点(-2,-3)之间的距离,又点(x,y)

|-2-3+1| 在直线 x+y+1=0 上, 故最小值为点(-2, -3)到直线 x+y+1=0 的距离, 即 d= 2 =2 2. 答案:2 2

7.当曲线 y=1+ 4-x 与直线 y=k(x-2)+4 有两个相异交点时,实数 k 的取值范围 是( ) 5? ? A.?0, ? 12 ? ? C.?

2

?1 3? B.? , ? ?3 4? ?5 ? D.? ,+∞? ?12 ?

? 5 ,3? ? ?12 4?

5 2 2 2 解析: 曲线 y=1+ 4-x 表示半圆 x +(y-1) =4(y≥1), 若直线与曲线相切则 k= . 12 5 3 结合图形得直线与半圆有两个不同交点时, <k≤ . 12 4 答案:C

8.若 x,y 满足(x-1) +(y+2) =4,则 2x+y 的最大值和最小值分别为________和 ________.x +y 的最大值和最小值分别是________和________.
2 2

2

2

答案:2 5

-2 5

5+2

5 -2

9.设有半径为 3 公里的圆形村落,A,B 两人同时从村落中心出发,A 向东而 B 向北前 进, A 离开村后不久, 改变前进方向, 斜着沿切于村落周界的方向前进, 后来恰好与 B 相遇. 设 A,B 两人的速度都一定,其比为 3∶1,问 A,B 两人在何处相遇?

解析:如图所示,

以村落中心为坐标原点,以东西方向为 x 轴建立直角坐标系,又设 A 向东走到 D 转向到 x y C 恰好与 B 相遇,设 CD 方程为 + =1(a>3,b>3),设 B 的速度为 v,则 A 的速度为 3v,依题 a b

? ? 意有? ? ?

|ab| a +b
2 2

2

=3,

a +b +a b = . 3v v

2

a=5, ? ? 解得? 15 b= . ? 4 ?

所以 B 向北走 3.75 公里时相遇.


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