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综合法与分析法


2.2.1 综合法与分析法

1.综合法

综合法是从原因推导到结果的思维方法, 而分析法是一种从结果追溯到产生这一结 果的原因的思维方法。具体地说,综合法 是从已知条件出发,经过逐步的推理,最 后达到待证结论。分析法则是从待证结论 出发,一步一步寻求结论成立的充分条件, 最后达到题设的已知条件或已被证明的事 实。

例1.求证:lo g

1
5

? 19
1

2 lo g 3 1 9

?

3 lo g 2 1 9

? 2

证明:因为

lo g a b ?

lo g b a

所以 左式=log195+2log193+3log192 =log19(5×32×23)=log19360. 因为log19360<log19361=2, 所以
1 lo g 5 1 9 ? 2 lo g 3 1 9 ? 3 lo g 2 1 9 ? 2

例2.如图,设四面体PABC中, ∠ABC=90°,PA=PB=PC,D 是AC的中点,求证:PD垂直于 △ABC所在的平面。

P

A

D C B

证明:连接PD,BD,因为BD是Rt△ABC 斜边上的中线, 所以 DA=DB=DC,又因为 PA=PB=PC, 而PD是△PDA、△PBD、△PCD的公共边, 所以△PDA≌△PBD≌△PCD,

于是∠PDA=∠PDB=∠PDC, 而∠PDA=∠PDC=90°, 可见PD⊥AC,PD⊥BD, 由此可知,PD垂直于△ABC所在的平面.
这个证明的步骤是: (1)由已知BD是Rt△ABC斜边上的中线, 推出DA=DB=DC,记为P0(已知)?P1; (2)由DA=DB=DC,和已知条件,推出 三个三角形全等,记为P1?P2;

(3)由三个三角形全等,推出∠PDA= ∠PDB=∠PDC=90°,记为P2?P3; (4)由∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°,推出 PD垂直于△ABC所在的平面,记为 P3? P4(结论);

这个证明步骤用符号表示就是
P0(已知)?P1?P2?P3?P4(结论).

2.分析法 例3.求证:
证明:因为
3 ? 7 ? 2 5

3 ?

7和 2
3 ?
2

5

都是正数,
5
5)
2

所以为了证明

7 ? 2

只需证明

(

3 ?

7 ) ? (2

展开得 1 0 ? 所以不等式

2

21 ? 20



21 ? 5

只需证明21<25,因为21<25成立,
3 ? 7 ? 2 5

成立。

分析法证明的逻辑关系是: B(结论) ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ? A(已知). 在分析法证明中,从结论出发的每一个 步骤所得到的判断都是结论成立的充分条 件,最后一步归结到已被证明的事实。因

此从最后一步可以倒推回去,直到结论,
但这个倒推过程可以省略。

例4.求证:当一个圆与一个正方形的周长 相等时,这个圆的面积比正方形的面积大 证明:设圆和正方形的周长为L,

依题意,圆的面积为 ? (
正方形的面积为 (
L 4 )
2

L 2?

)

2

因此本题只需证明

?(

L 2?

) ? (
2

L 4

)

2

为了证明上式成立,只需证明

?L
4?

2 2

?

L

2

16

?L
4?

2 2

?

L

2

16
4 L
2

两边同乘以正数



1

?

?

1 4 L
) ? (
2

因为上式是成立的,所以

?(

L 4

2?

)

2

这就证明了如果一个圆与一个正方形的 周长相等,那么这个圆的面积比这个正方 形的面积大。

3.小结: 分析法和综合法是思维方向相反的两种 思考方法。在数学解题中,分析法是从数 学题的待证结论或需求问题出发,一步一 步地探索下去,最后达到题设的已知条件。 综合法则是从数学题的已知条件出发,经 过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或 需求问题。对于解答证明来说,分析法表 现为执果索因,综合法表现为由因导果, 它们是寻求解题思路的两种基本思考方法, 应用十分广泛。

(1)综合法与分析法是对立统一的两个方面,前者由 因导果,宜于表达;后者由果索因,利于思考。后者是 一种重要的探求方式,但不是一种好的书写形式,如果 不写“只需证明”,则错。而用综合法书写证明过程, 掩盖了分析、探索的过程。所以,通常是用分析法探求 证题途径,用综合法书写解题过程。 (2)分析法与分析不同,前者为一种论证方法,后者 为一种思维方法,前者离不开后者。 (3)证明的模式:论证“若A则B”

证明:欲证命题B成立,只需证命题B1成立,从而又…… 只需证命题B2成立,从而又…… …… 只需证命题A为真. 已知A为真,故B为真.



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