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2014高考数学 分项练习大集结 数系的扩充与复数的引入


2014 高考数学分项练习大集结:数系的扩充与复数的引入
一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.复数

1? i (i 是虚数单位)的虚部为( 1? i
B.0

) C.1 D.2

A.-1 【答案】C

2. ?ABC 的三个顶点所对的复数分别为 Z 1 , Z 2 , Z 3 ,复数 Z 满足

| Z ? Z 1 |?| Z ? Z 2 |?| Z ? Z 3 | ,则 Z 的对应点是 ?ABC 的(
A.外心 【答案】A B.内心 C.重心

) D.垂心

3.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. ? 1 ? i 【答案】D 4.复数 Z= B, ? 1 ? i

2 ) ? z 2 等于( z C. 1 ? i
)

D. 1 ? i

?1? i ? 1 ,在复平面内,Z 所对应的点在( 1? i
B.第二象限 C.第三象限

A.第一象限 【答案】B 5.复数 z =

D.第四象限

i ,则 z 在复平面上对应的点位于( 1+i
B.第二象限

) D.第四象限

A.第一象限 【答案】D

C.第三象限

6.已知复数 z=x+yi (x,y∈R, x≥ 的轨迹是( A. 圆 【答案】D 7. i 是虚数单位 , A. 1 ? i 【答案】C ) B. 椭圆

1 ), 满足|z-1|= x , 那么 z 在复平面上对应的点(x,y) 2
C. 双曲线 D. 抛物线

2i 3 ) ?( 1? i B. ?1 ? i
2

C. 1 ? i

D. ?1 ? i )

8.已知实数 b 是关于 x 的方程 x ? ? 6 ? i ? x ? 9 ? ai ? 0 ? a ? R ? 的解,则 a ? b ? ( A.9 【答案】B 9.设复数 z ? B.6 C.3 D. 0

1 ? 3i (i 是虚数单位),则复数 z 在复平面上所对应的点位于( 2?i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

)

A.第一象限

-1-

【答案】C 10.复数 z ? 2 ? 3i 对应的点 Z 在复平面的 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 【答案】D

D.第四象限

a ? bi ) 11. i 是虚数单位, a 、 b 、 c 、 d ? R ,若复数 c ? di 为实数,则( A. bc ? ad ? 0 B. bc ? ad ? 0 C. bc ? ad ? 0 D. bc ? ad ? 0
【答案】C 12.已知 i 是虚数单位,则 A.1–2i 【答案】D

3?i =( 1? i

) C.2+i D.1+2i

B.2–i

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.复数 z ? (1 ? i)i ( i 为虚数单位)的共轭复数为 . 【答案】 1 ? i 14.已知复数 z 满足 ( z ? 3)i ? 1 ? i ,则复数 z 的模是____________. 【答案】 5 15.若复数 z 满足 z ? 2i ? 1 ? zi (其中 i 为虚数单位) ,则 z ? .

1 3 【答案】 ? ? i 2 2
16.复数 z ? (2 ? i )i ,则 z 的虚部为____________. 【答案】-2 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知 z∈C , z + 2i 和 (1)求复数 z ; (2)若复数 ( z + ai ) 2 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)设 z = a + bi (a, b

z 都是实数. 2- i

R) ,

则 z + 2i = a + (b + 2)i ,

z a + bi (a + bi )(2 + i ) 2a - b a + 2b = = = + i, 2- i 2- i (2 - i )(2 + i ) 5 5 z ∵ z + 2i 和 都是实数, 2- i ì b+ 2= 0 ? ìa= 4 ? ? ? ∴ í a + 2b ,解得 ? , í ? ? b = 2 = 0 ? ? ? ? 5 ? ∴ z = 4 - 2i .
-2-

(2)由(1)知 z = 4 - 2i , ∴ ( z + ai ) 2 = [4 + ( a - 2)i ]2 = 16 - ( a - 2) 2 + 8( a - 2)i , ∵ ( z + ai ) 2 在复平面上对应的点在第四象限,

ì ? 16 - (a - 2) 2 > 0 ? ∴í , ? ? ? 8(a - 2) < 0 ì ì- 2< a< 6 ? a 2 - 4a - 12 < 0 ? 即? ,∴ ? , í í ? ? a < 2 a < 2 ? ? ? ?
∴ - 2 < a < 2 ,即实数 a 的取值范围是 (- 2, 2) . 18.已知复数 z1 ? cos 2 x ? ?i, z2 ? m ? (sin 2 x ? 3m)i (? , m, x,? R ), ,且 z1 ? z 2 。 (Ⅰ)若 ? ? 0 时,且

?
2

? x ? ? ,求 x 的值;

(Ⅱ)设 ? ? f ( x) ,求 f ( x) 的单调递增区间。 【答案】 (Ⅰ) ? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? 所以 sin( 2 x ?

?
3

),

?

3 3 ? 2? 又 ? x ? ? ,所以 x ? ; 3 2
(Ⅱ)由 2k? ? 得 k? ?

) ? 0,2 x ?

?

? k? , x ?

k? ? ? (k ? Z ), 2 6

?

5? , (k ? Z) 12 12 ? 5? 递增区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 。 12 12 19.设复数 z ? 2 ? i ,若 z 2 ? ai ? b ? 1 ? i ,求实数 a, b 的值. 【答案】 a ? ?3, b ? ?2 ? x ? k? ?
20.已知集合 A= z z ? 1 , (1)求集合 A 中复数 z ? x ? yi 所对应的复平面内动点坐标 ( x, y ) 满足的关系?并在复平面内 画出图形。 (2)若 z ? A ,求 z 取值时, z ? (1 ? i ) 取得最大值、最小值,并求 z ? (1 ? i ) 的最大值、最 小值。 (3)若 B= z z ? ai ? 2 ,且 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 【答案】 (1) x ? y ? 1
2 2

?

2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

(k ? Z )

?

?

?

?

-3-

(2)当 z ? 2 ? 2 i , z ? (1 ? i ) 最小值= 2 ? 1
2 2

2 2 ? i , z ? (1 ? i ) 最大值= 2 ? 1 2 2 (3)当 ? 1 ? a ? 1 时, A ? B
当z ? ? 21.已知 z ? t ? 3 ? 3 3i ,其中 t ? C ,且 (1)求 t 的对应点的轨迹; (2)求 z 的最大值和最小值. 【答案】 (1)设 t ? x ? yi ( x,y ? R ) , 则
∵ t ?3 为纯虚数. t ?3

t ? 3 x ? 3 ? yi [( x ? 3) ? yi ][( x ? 3) ? yi ] ( x 2 ? y 2 ? 9) ? 6 yi ? ? , ? t ? 3 x ? 3 ? yi ( x ? 3) 2 ? y 2 ( x ? 3) 2 ? y 2
t ?3 为纯虚数, t ?3

? x 2 ? y 2 ? 9 ? 0, ? x 2 ? y 2 ? 9, 即? ∴? ? y ? 0, ? y ? 0,
∴ t 的对应点的轨迹是以原点为圆心,3 为半径的圆,并除去 (?3,,, 0) (3 0) 两点;

(2)由 t 的轨迹可知, t ? 3 ,
∴ z ? (3 ? 3 3i ) ? 3 ,圆心对应 3 ? 3 3i ,半径为 3,

∴ z 的最大值为: 3 ? 3 3i ? 3 ? 9 , z 的最小值为: 3 ? 3 3i ? 3 ? 3 .
22.已知复数 z1 ? 1 ? 3i 求(1) z1 .z1 ? z 1 ? z1 的值; (2)若

z2 ? 2 , z1 .z 2 为纯虚数,求复数 z 2 1 ? 2i

【答案】 (1)12; (2)3+I,-3-I;

-4-


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