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高一数学平均数及其估计1


2.3总体特征数的估计
集中水平 和 波动程度

平均数、中位数、众数

2.3.1平均数及其估计

2.3.2方差与标准差

2.1.1平均数及其估计

问题情境
某校高一(1)班同学在老师的布置下, 用单摆进行测试,以检查重力加速度. 全班同学两人一组,

在相同条件下进 行测试,得到下列实验数据(单位: 2 m / s )9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32 9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94 9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90

问题:怎样利用这些数据对重力加速 度进行估计?
1 n ai 我们常用算术平均数 ? n i ?1

) n个实验数据) (其中 ai (i ? 1,2,?,n为

作为重力加速度的“最理想”的近似值, 它的依据是什么呢?

建构数学
1.数据

a1 ? a 2 ? ? a n 一般记为 a ? n
__
; .

a1 , a2 ,?, an 的平均数或均值,

平均数最能代表一个样本数据的集中趋势, 它与样本数据的离差最小;

2.若取值为 x1 , x2 ,?, xn 的频率分别为 p1 , p2 ,?, pn ,则其平均数为

x ? x1 p1 ? x2 p2 ?…? xn pn

建构数学
2.若取值为 x1 , x2 ,?, xn 的频率分别为 p1 , p2 ,?, pn ,则其平均数为

x ? x1 p1 ? x2 p2 ?…? xn pn
3.频数分布表中:
; .

加权 平均数

?

例1 某校高一年级的甲、乙两个班级(均为50 人)的语文测试成绩如下(总分:150分),试确 定这次考试中,哪个班的语文成绩更好一些.
甲班: 112 86 106 87 112 94 108 100 96 104 107 119 92 102 93 乙班: 116 95 109 94 98 105 108 100 110 107 106 111 107 111 114 84 100 105 98 102 94 107 94 99 90 120 98 95 119 115 111 104 95 108 111 105 107 93 102 98 112 112 99 84 94 94 100 90 84 114 96 106 101 115 98 107 121 97 106 104 98 108 99 110 103 104 112 101 113 96 87 108 106 103 97 107 114 122 101 107 104 95 111 111 110

? ? ? ?

?
? ? ?

?
? ? ?

? 分析:我们可用一组数据的平均数衡量

这组数据的集中水平,因此,分别求出甲 、乙两个班的平均分即可. ? 解:用计算器分别求出 ? 甲班的平均分为101.1, ? 乙班的平均分为105.4, ? 故这次考试乙班成绩要好于甲班.

? 解:用计算器分别求出

? 甲班的平均分为101.1,乙班的平均分为

105.4, ? 故这次考试乙班成绩要好于甲班.
? 使用计算器做统计:

CLR 1 :清零 ? 数字 DT 数字 DT 数字 DT …:输入数据 ? SHIFT S-VAR 1:计算样本平均值 ? SHIFT S-VAR 3:计算样本标准差 ? SHIFT S-SUM :???
? SHIFT

?

例2 下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分 布表(单位:h), 试估计该校学生的日平均睡眠时间.

解法一:总睡眠时间约为 6.25×5+6.75×17+7.25×33+7.75×37+8.25× 6+8.75×2=739(h), 故平均睡眠时间约为7.39 h.

解法二:求组中值与对应频率之积的和 6.25×0.05+6.75×0.17+7.25×0.33+7.75×0.37 +8.25×0.06+8.75×0.02=7.39(h).
答:估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h.

例3 某单位年收入在10 000到15 000、15 000到20 000、20 000到25 000、25 000到30 000、30 000到35 000、35 000到40 000及40 000到50 000元之间的职工所占的比分别为 10%,15%,20%,25%,15%,10%和5%,试估计该单 位职工的平均年收入. ? 分析:上述百分比就是各组的频率,各组段的 组中值分别是12500、17500、22500、27500 、32500、37500、45000. ? 解:估计该单位职工的平均年收入为 ? 12 500×10%+17 500×15%+22 500×20%+27 500×25%+32 500×15%+37 500×10%+45 000×5%=26 125(元). ? 答:估计该单位人均年收入约为26 125元.
?

练习:(1)若一组数据
另一组数据 x1 , x 2 ? 1, x3 ? 2, x 4 ? 3, x5 ? 4 的平均数是

x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5

的平均数是 x ,则

5 A. x B. x ? 2 C. x ? D. x ? 10 2 (2)若 M 个数的平均数是 X , N 个数的平均数
是 Y ,则这


( B)

MX ? NY M ? N 个数的平均数是 M ?N

(3)如果两组数 x1 , x2 ,?, xn 和 y1 , y2 ,?, yn 的样本平均数分别是 x 和 y ,那么一组数

x1 ? y1 , x2 ?2 ,?, xn ? yn 的平均数是_____.

x? y

(4)有一组数据:

x1 , x 2 , x3 ,

, x n (x1 ? x 2 ? x 3 ?

? xn )

,它们的算术平均值为10,若去掉其中最 大的xn,余下数据的算术平均值为9;若去 掉其中最小的x1,余下数据的算术平均值 x1 ? 11 ? n 为11,则x1关于n的表达式为___________, xn ? n ? 9 xn关于n的表达式为____________.

? 知能训练

5.从甲、乙两个公司各随机抽取50名员工月 工资: ? 试计算这两个公司50名员工月工资 平均数、众数、中位数, 并分析估计这两个企业员工平均工资.

甲公司: ? 800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 000 ? 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 2001 2001 200 ? 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 ? 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 500 ? 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 2 000 2 000 2 000 ? 2 000 2 000 2 500 2 500 2 500
?

乙公司: ? 700 700 700 700 ? 700 700 700 1 000 ? 1 000 1 000 1 000 1 000 ? 1 000 1 000 1 000 1 000 ? 1 000 1 000 1 000 1 000 ? 1 000 1 000
?

700 700 700 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 6 000

700 700 700 700 700 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 8 000 10 000

? 答案:甲公司:员工月工资平均数1

240,众数1 200,中位数1 200; ? 乙公司:员工月工资平均数1 330,众数1 000,中位数1 000; ? 但是从总体上看乙公司员工月工资比甲 公司少,
? 原因是乙公司有几个收入特高的员工影

响了工资平均数

? 课堂小结

? 1.平均数对数据有“取齐”的作用,代

表一组数据的平均水平(集中趋势); ? 2、会用样本的平均水平估计总体的平均 水平; ? 3.形成对数据处理过程进行初步评价的 意识.

作业

习题2.3 : 1、6 ?写上页码,不抄题
?P68.

作业P68习题2.3
?

1.解:(求加权平均数)

2 ? 5.1 ? 3 ? 5.2 ? 6 ? 5.3 ? 8 ? 5.4 ? 7 ? 5.5 ? 3 ? 5.6 ? 1? 5.7 x? 30 ? 5.39(万元)
所以,估计该厂这个月的平均日产值为5.39万元 .

6.解:(1) ①最小值53,最大值92 ? ②极差92-53=39(次),确定组数为5, 则组距=39/5≈8(次) ? ③分组,并列表统计频数和频率,如下:
?

分组

组中值 (唱票) 频数 5 14 25 11 5 60

频率 0.083 0.234 0.417 0.183 0.083 1

频率/组距

[53,61) 57 [61,69) 65 [69,77) 73 [77,85) 81 [85,93) 88 合计

? ④画出频率分布直方图(补充)

? (2)

①用各组段的组中值近似计算平均值 约为72.6次,约为73次;

? ②实际的总体平均数是72次, ? 误差约为1次.


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