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必修1-1.3.1单调性与最大(小)值(第一课时)


1.3.1 单调性与最大(小)值 (第一课时)
说课人: 各位老师,大家好! 今天我说课的课题是: 人教版高中数学必修模块一第一章第三节 “函数的基本性质” 中 “单调性与最大(小)值”的第一课时,下面,我将从教材分析、学法分析、教法分析、教 辅手段、教学过程、评价分析等六个方面对本课时的教学设计进行说明. 一、教材分析 (一)教材特点、教材的地位与作用 1、教材特点

本节课内容教材共分两课时进行, 这是第一课时, 本课时主要学习函数的单调性的概念, 依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。 2、教材的地位与作用 本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质。 函数单调性的 概念是研究具体函数函数单调性的一句,在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要 应用;在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用。 可见,不论在函数内部还是在外部,函数的单调性都有重要应用,因而在数学中具有核心地 位。此外函数单调性的研究方法也具有典型意义,体现了对函数研究的一般方法。这就是, 加强“数”与“形”的结合,由直观到抽象;由特殊到一半。首先借助对函数图像的观察、 分析、归纳,发现函数的增、减变化的直观特征,进一步量化,发现增、减变化数字特征, 从而进一步用数学符号刻画。 (二)教学内容 本学时的主要学习内容是: 1、通过图象判断函数的单调性,理解函数单调性的概念; 2、掌握用定义判断一些简单函数的单调性; (三)重点、难点 1、本课时的教学重点是:形成增减函数的形式化定义 2、本课时的教学难点是:形成增减函数概念的过程中,如何从图像升降的直观认识过渡到
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函数增减的数学符号语言表述;用定义证明函数的单调性。 (四)教学目标 1、知识与技能 (1)使学生理解函数单调性的概念,并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。 (2)启发学生发现问题和提出问题,培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。 (3) 通过观察-猜想-推理-证明这一个重要的思想方法, 进一步培养学生的逻辑推理能力和 创新意识。 2、过程与方法 (1)通过渗透数形结合的数学思想,对学生进行辨证唯物主义的思想教育。 (2)探究与活动,明白考虑问题要细致,说理要明确。 3、情感、态度与价值观:理性描述生活中的增长、递减现象。 二、学法分析 学生已有的认知基础是初中学习过函数的概念, 初步认识到函数是一个刻画某种运动变 化数量关系的数学概念;进入高中以后,又进一步认识到函数是两个数集之间的对应,了解 函数有三种表示方法,特别是可以借助图像对函数特征加以直观观察。此外,还学习过一次 函数、二次函数、反比例韩式等几个简单而具体的函数,了解他们的图像及性质。尤其值得 注意的事, 学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验, 仅就图像角度直观描述函数单 调性特征,学生并不感到困难,困难在于,把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出 来。教学中,通过一次函数、二次函数等具体函数的图像及数值变化特征的研究,初步提出 单调递增的说法,通过讨论、交流,让学生尝试,就一把情况进行刻画,进一步给出函数单 调性的定义,然后通过辨析、联系等帮助学生理解这一概念。 三、教法分析 在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为主线,它始终贯穿于整个课堂教学过程。 对函数单调性概念的深入而正确的理解往往是学生认知过程的难点, 因此在课堂上突出对概 念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义, 而是想让学生对如何学会、 弄懂一个概念有 初步得认识, 并且在今后的学习中有所用; 使用函数单调性定义证明具体函数的单调性又是 一个难点, 使用函数的单调性定义证明是对函数单调性概念的深层理解, 给出一定的步骤 “作 差、变形、定号”是必要的,有利于学生理解概念,也可以对学生掌握证明方法、形成证明 思路有所帮助。另外,这也是以后学习的不等式证明方法中比较法的基本思路,现在提出要 求, 对今后的教学做一定的铺垫。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数
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单调性概念的深层理解,且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。按现行新教材结构 体系,学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数,所以对函数的单调性研 究也只能限于这几种函数, 学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出 “随着自变量的 增大函数值增大”等变化趋势,所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒 体教学的优势;由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性,在教学中须加强。 四、教辅手段 以 PPT 和板书相结合, 使学生更直观地掌握本课时的学习内容, 而且可以扩大教学容量. 五、教学过程 本课时的教学过程是由“创设情境、引入新课” 、 “合作学习、问题探究” 、 “知识总结、 及时体验” 、 “归纳总结、知识整合” 、 “课后作业、巩固提高”五个环节来体现和达到教学目 标。 (一)创设情境、引入新课 1、利用课件展示几个函数图像,观察各个函数的图像,你能说说他们分别反映了相应 函数的哪些变化特征码?由教师引导, 借助对几个函数图像的观察, 对所观察到得特征进行 归类,引入函数的单调性研究。 设计意图:通过几何直观,引导学生关注图像所反映出的特征。 (二)合作学习、问题探究 问题 1:如图观察一次函数和二次函数的图像,说说随着自变量的增大,图像的升降情况。 引导学生利用图像描述变化规律,如上升、下降,从几何直观角度认识函数的单调性。 设计意图: 通过几何直观, 引导学生关注图像所反映出的特征, 体验自变量从小到大变化时, 函数值大小变化在图像上的表现。 问题 2:观察下面的表格,描述二次函数随自变量增大函数值的变化特征。 引导学生从数值变化角度描述变化规律,图像上升(下降) ,也就是随着 x 的增大 y 也增大(或减小) 。 设计意图:从一个特殊例子,结合前面的图像特征,从数值变化角度认识函数的单调性。 问题 3:对于一般函数,如果在区间(0,+∞)上有“图像上升” “随着 x 的增大,相应的 f(x)值也增大”的特点,那么应该如何刻画呢?在这个过程中,二次函数的特征是一个具体 的载体,可以起到验证、支持的作用。如果学生主动提出函数单调性的一般定义,则可以讨 论“为什么” ,让学生以二次函数为例解释定义的合理性。 这个问题具有较高的思维要求,需要“跳一跳才能摘到果子” 。教学生,可以让学生开
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展讨论、交流。通过学生的活动民主不认识函数单调性的刻画方法。 设计意图:从形象到抽象,从具体到一般。先然学生尝试描述一般函数在(0,+∞)上“图 像上升” “随着 x 的增大,相应的 f(x)值也增大”的特征。 (三)知识总结、及时体验 给出函数单调性的一般定义: 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数. 一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变 量的值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数. 师生互动:引导学生学习定义,强调关键词句:定义域 I 内某个区间 D、任意、都有。 设计意图:使学生明白函数的单调性是函数的局部性质,在整个定义域上不一定具有,函数 的单调区间是函数定义域的一个子集。 给出单调性概念的应用的例题。引导学生归纳判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤: 取值、作差、判断、结论。 例 1:证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上市增函数。 例 2:物理学中的玻意耳定律(k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积 v 减 小时,压强 p 将增大.试用函数的单调性证明之. 设计意图:通过例题讲解加深学生对定义的理解和知识的应用。 例 3 能说反比例函数 f(x)= (k>0)在整个定义域内是单调函数吗?并用定义证明你的 结论. 设计意图:进一步使学生明白函数的单调性是函数的局部性质。 (四)归纳总结、知识整合 1、增函数、减函数的定义 要特别注意定义中“定义域内某个区间” “属于” “任意” “都有”这几个关键词语; 2、判断函数的单调性 1) 、从图象上直观判断 2) 、根据定义判定 其一般步骤为: ①取值:任取 ,且 ; ②作差: ; (对其进行因式分解,要注意变形的程度) ;
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③判断:判断上述差的符号,即得到 (或 ), (要注意说理的充分性) ; ④结论:若为 ,则在区间 D 内为增函数; 若为 ,则 在区间 D 内为减函数. (五)课后延续 1、回顾本课所学的内容,整理学习笔记. 2、P43 页习题 1.3(A 组) 1、2、3、4 3、预习作业:函数的最大值与最小值。 预习题纲:函数最大值与最小值的含义是什么? 函数最大值与最小值和函数的单调性有何关系? (六)板书设计
课题 1、增函数、减函数概念 3、判断函数的两种方法: 1)通过图象直观判断 2)根据定义判断的步骤为: ①取值 ②作差 ③判断 例1 例2 练习 课后延续 多媒体投影屏幕

六、评价分析 有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上, ,因此在教学设计过程中注意了: (1)教要按照学的法子来教; (2)在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区” ; (3)强化了重探究、重交流、重过程的课改理念。让学生体验参与数学知识的发生、发展 过程 ,培养“用数学”的意识和能力,成为积极主动的建构者 。 本节课围绕教学重点,针对教学目标,以多媒体技术为依托,展现知识的发生和形成 过程, 使学生始终处于问题探索研究状态之中, 激情引趣, 并注重数学科学研究方法的学习,
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是顺应新课改要求的,是研究性教学的一次有益尝试。 各位专家,以上就是我对这节课的教学设想,不足之处恳请各位专家批评指正. 谢谢!

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