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江西省临川区第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


临川一中 2015—2016 学年度下学期期中考试 高一 数学试卷

卷面满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题(本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是正确的) 1. a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是( A. a 2 ? b 2 B. ) D.

1 1 ? 2 2 ab

ab

C. a 2b ? ab2

b a ? a b

2.若不等式 ax 2 ? 8ax ? 21 ? 0 的解集是 {x | ?7 ? x ? ?1} ,那么 a 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

3.已知 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc , bc ? 2 ,则

?ABC 的面积为(
A.
1 2

) C. 3 D.
3 2

B.1

4.已知数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ?1 ? ? A. 14 B. 15 C. 16

1 ( n ? N* ) ,能使 an ? 3 的 n 可以等于( an ? 1
D. 17



5 . 在 三 角 形 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c , 且 满 足

a b c ? ? ,则 7 4 5

sin 2 A ?( ) s i nB ? s iC n 11 12 A. ? B. 14 7

C. ?

14 45

D. ?

11 24

6.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 (a2 ? c2 ? b2 ) tan B ? 3ac ,则角 B 的值为( ) A. B. 或 C. D. 或

7.数列 ?an ? 满足 a1 ? 的前 n 项和为 ( ) A.

an 1 ,且对于任意 n ? N ? 都满足 an ?1 ? ,则数列 {an ? an ?1} 3an ? 1 2

B.

C.

D.

n 2(3n ? 2)

8. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 立的 n 的最大值为( A.4 B.5 ) C.6

3 , 记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 则使 Sn ? 0 成 2n ? 7
D.8
1

? x ? 4y ? 4 ? 0 ? 9.在平面直角坐标系中,若 P ( x, y ) 满足 ? 2 x ? y ? 10 ? 0 ,则 x ? 2 y 的最大值是( ) ?5 x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A.2 B.8 C.14 D.16 10.设 a ? 0, b ? 0, A(1, ?2), B (a , ? 1),C (?b , 0),若 A, B, C 三点共线,则 是( ) A.3+2

2 1 ? 的最小值 a b

B.4

C.6

D. 9

11. 若 {an } 是正项递增等比数列,Tn 表示其前 n 项之积,且 T9 ? T19 ,则当 Tn 取最小值时,

n 的值为(
A. 9

) B. 14 C. 19 D. 24

12.不等式 2 x2 ? axy ? 3 y 2 ? 0 对于任意 x ? [1, 2] 及 y ? [1,3] 恒成立,则实数 a 的取值范 围是( ) A. a ? 2 2 B. a ? 2 6 C. a ? 5 D. a ?

9 2

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f ( x) ? x ?
9 ( x ? 1) 的最小值是__________. 2 ? 2x

1 14. 如图, 在 ?ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD ? DC , 2 若 AB ? 1 , AC ? 2 ,则 AD ? BD 的最大值为________.

15.已知 S n 为数列 {an } 的前 n 项和, a1 =1 ,

2Sn =(n ? 1)an ,若存在唯一的正整数 n 使得不等式 an 2 ? tan ? 2t 2 ? 0 成立,则实数 t 的取
值范围为 _______. 16. .记数列{an}的前 n 项和为 Sn,若不等式 an ?
2

Sn 2 ? 2ma12 对任意等差数列{an}及任意 2 n


正整数 n 都成立,则实数 m 的最大值为_____________. 三、解答题(本题共六小题,共计 70 分) 17. (本题 10 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? a (1)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? 2 的解集 (2)若对任意的 x ? [1, ??) , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2

18. (本题 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac. (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求角 C. 4

19.(本题 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 a2

? (b ? c)2 ? (2 ? 3)bc , sin A sin B ? cos

2

C 2



(1)求角 B 的大小; (2) 若等差数列 {an } 的公差不为零, 且 a1 cos 2 B =1, 且 a2 , a4 , a8 成等比数列, 求{ 的前 n 项和 S n .

4 } an an ?1

20. (本题 12 分) 首届世界低碳经济大会在南昌召开, 本届大会以“节能减排, 绿色生态” 为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转 化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月 处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似地表示为

y?

1 2 x ? 200 x ? 80000 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. 2

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多 少元才能使该单位不亏损?

3

21. (本题 12 分) ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 2b cos C+ c ?2 a (1)求角 B 的大小; (2)若 BD 为 AC 边上的中线, cos A ?

1 129 , BD ? ,求 ?ABC 的面积. 7 2

1 {an } 中, a1 ? 1, S n 是数列 ?a n ?的前 n 项和,对 22. (本题 12 分)已知各项均为正数的数列 , 2 ? 任 意 n ? N , 有 2S n ? 2an ? an 3 ? 1 . 函 数 f ( x) ? x 2 ? x , 数 列 {bn } 的 首 项 , 3 1 5 b1 ? , bn ?1 ? f (bn ) ? .

2

4

(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)令 c n ? log 2 (bn ?

1 ) ,求证: {c n }是等比数列并求 {c n } 通项公式 2

(Ⅲ)令 d n ? a n ? cn , n ? N ? ,求数列 {d n } 的前 n 项和 T n .

4

●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●●

临川一中 2015—2016 学年度下学期期中考试 高一数学试卷答题卷 题号 得分 一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一 二 三 总分



二.填空题(每题 5 分,共 20 分)

考号:

13._____

14. ______

15 ______

16. ______

三.解答题(共 70 分) 17.(满分 10 分)



班级:

姓名:

线

18(满分 12 分)

5

19.(满分 12 分)

●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●●



20.(满分 12 分)
6

21

21.(满分 12 分)

22.(满分 12 分)

7

8

临川一中 2015—2016 学年度下学期期中考试 高一数学试卷答案 一.选择题。 (每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 C 5 C 6 B 7 D 8 C 9 C 10 D 11 B 12 B

二.填空题。 (每题 5 分,共 20 分)

13.3 2 ? 1
三.解答题。

14.

2 2

15. [ ,1) ? ( ?2, ?1]

1 2

16.

1 10

17.(1) {x | x ? ?4或x ? 1}

(2) {a | a ? ?4}
2

解: (1)当 a ? ?2 时,不等式 f ( x) ? 2 可化为 x ? 3x ? 4 ? 0 解得 {x | x ? ?4或x ? 1} ????????????????5 分 (2)若对任意的 x ? [1, ??) , f ( x) ? 0 恒成立, 则 a ? ? x ? 3x 在 x ? [1, ??) 恒成立,
2

设 g ( x) ? ? x ? 3x
2

则 g ( x) 在区间 x ? [1, ??) 上为减函数 ,当 x ? 1 时 g ( x) 取最大值为 ?4 , ∴a 得取值范围为 {a | a ? ?4} 18.(1) B ? 1200 ????????????????10 分

(2) C ? 150 或 C ? 450

解: (1)因为 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac ,所以 a 2 ? c 2 ? b2 ? ?ac ,

a 2 ? c 2 ? b2 1 由余弦定理得 cos B ? ? ? ?????????????4 分 2ac 2
因此 B ? 1200 ?????????????6 分 (2)由(1)知 A ? C ? 600 ,所以

cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ? cos A cos C ? sin A sin C ? 2sin A sin C ? cos( A ? C ) ? 2sin A sin C ? 1 ? 2 ? 3 ? 1 ? 3 ???????????10 分 2 4 2

9

故 A ? C ? 300 或 A ? C ? ?300 ,因此 C ? 150 或 C ? 450 ???????12 分 19.(1) B ?

?
6

(2) S n ?

n , n ? N? 1? n

解: (1)由 a2 ? (b ? c)2 ? (2 ? 3)bc, a2 ? b2 ? c2 ? ? 3bc 所以 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 3 , ? 2bc 2

又 0 ? A ? ? ,? A ?

?

6 1 ? cos C 2 c 1 由 sin A sin B ? cos , sin B ? , sin B ? 1 ? cos C ,? cos C ? 0 ,则 C 为钝 2 2 2 5 5 ? 角。 B ? C ? ? ,则 sin( ? ? C ) ? 1 ? cos C ,? cos(C ? ) ? ?1 ????4 分 6 6 3 ? 2 解得 C ? ? , ? B ? ????????????? ????6 分 3 6 1 2 ? 2 , 且 a4 ? a2 ? a8 . (2)设 {an } 的公差为 d , 由已知得 a1 ? cos A
∴ (a1 ? 3d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 7d ) .
2

?????????????????????2 分

又d ? 0,

∴d ? 2.

∴ an ? 2n .

??????????????9 分



4 1 1 1 ? ? ? . an an?1 n(n ? 1) n n ? 1
1 2 1 1 2 3 1 1 3 4 1 n
1 n 1 ? ) ? 1? ?????12 分 n ?1 n ?1 n ?1

∴ S n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

20.(1)400 (2)至少补贴 40000 元 解: (1)由题知:二氧化碳的平均处理成本为;

1 80000 y 1 80000 1 80000 时,即 ? x? ? 200 ? 2 x? ? 200 ? 200 当 且 仅 当 x ? 2 x x 2 x 2 x
x ? 400 时取等。
故该单位每月处理 400 吨才能使每吨的处理成本最低, 最低成本为 200 元 ??????????????6 分 (2)设该单位每月获利 S 元,则 S ? 100 x ? y ? ? 且S ? ?

1 2 x ? 300 x ? 80000 ???8 分 2

1 ( x ? 300) 2 ? 35000 ,又因为 x ?[400, 600] 2

所以 Smax ? ?40000 所以该单位不获利,每月需要国家至少补贴 40000 元才不会亏本。???12 分
10

21.(1) B ?

(2) 10 3 3 解: (1) 2b cos C ? c ? 2a ,由正弦定理,得 2 sin B cos C ? sin C ? 2 sin A , ∵ A ? B ? C ? ? ,∴ sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C , ∴ 2sin B cos C ? sin C ? 2(sin B cos C ? cos B sin C)

?

? sin C ? 2 cos B sin C

??????????????4 分

∵ 0 ? C ? ? ,∴以 sin C ? 0 ,∴ cos B 又∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ?

?

1 , 2

?
3

;??????????????6 分

(2)在 ?ABD 中,由余弦定理得 (

129 2 b b ) ? c 2 ? ( )2 ? 2c ? cos A , 2 2 2



129 b2 1 ? c 2 ? ? bc ??①,??????????????8 分 4 4 7
c b 4 3 ? ,由已知得 sin A ? sin C sin B 7

在 ?ABC 中,由正弦定理得

∴ sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

5 3 ,?????10 分 14

∴c ? ∴ S? ABC ?

?b ? 7 5 b ??②,由①②解得 ? , 7 ?c ? 5

1 bc sin A ? 10 3 .????????????????12 分 2 n ?1 n ?1 n ?1 22.(1) an ? (2) cn ? 2 (3) Tn ? n ? 2 2
解: (Ⅰ)由 2S n ? 2an ? an ? 1 得 2S n?1 ? 2an?1 ? an?1 ? 1
2 2 2 2

① 由②—①,得:



2an?1 ? 2(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an )
即: 2(an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an ) ? 0

? (an?1 ? an )(2an?1 ? 2an ? 1) ? 0
由于数列 ?an ? 各项均为正数,

???????????????2 分

11

? 2an?1 ? 2an ? 1 即

a n ?1 ? a n ?

? 数列 ?an ? 的通项公式是

1 1 ? 数列 ?an ? 是首项为1,公差为 的等差数列, 2 2 1 n ?1 a n ? 1 ? (n ? 1) ? ? ???????4 分 2 2

1 1 1 1 2 2 知 bn ?1 ? bn ? bn ? , 所以 bn ?1 ? ? (bn ? ) , 4 4 2 2 1 1 2 1 有 log 2 (bn ?1 ? ) ? log 2 (bn ? ) ? 2 log 2 (bn ? ) ,??????????6 分 2 2 2 1 即 cn?1 ? 2cn , 而 c1 ? log 2 (b1 ? ) ? log 2 2 ? 1 ,故 {cn } 是以 c1 ? 1 为首项,公比为 2 2
(Ⅱ)由 bn ?1 ? f (bn ) ? 的等比数列. 所以 cn ? 2 (Ⅲ) d n ? a n ? c n ?
n ?1

??????????????????8 分

n ? 1 n ?1 ? 2 ? (n ? 1)2 n ? 2 , 2
(1)

所以数列 {d n } 的前 n 项和 Tn ? 2 ? 2?1 ? 3 ? 20 ? ? ? n ? 2n?3 ? (n ? 1)2n?2

2Tn ? 2 ? 20 ? 3 ? 21 ? ?? n ? 2n?2 ? (n ?1)2n?1

(2)?????????10 分

(1)-(2)式错位相减可得 Tn ? n ? 2 n ?1 ??????????12 分

12


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