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【数学】1.4《导数在实际生活中的应用⑴》课件(苏教版选修2-2)


一、知识回顾:
1、求函数最值的常用方法:

(1)利用函数的单调性;
(2)利用函数的图象; (3)利用函数的导数.

2、用导数求函数f(x)的最值的步骤: (1)求f(x)在区间[a,b]内极值 (极大值或极小值); (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个为最大值, 最小的一个为最

小值.
注意:若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大
值(或极小值),则该极大值(或极小值)即为函数

f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值).

二、新课引入:
导数在实际生活中有着广泛的应用,利用 导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某 些最值问题. 1.几何方面的应用 (面积和体积等的最值) 2.物理方面的应用 (功和功率等最值) 3.经济学方面的应用 (利润方面最值)

导数在实际生活中的应用⑴

实际应用问题

审 题 (设)

分析、联想、抽象、转化

还原 (答)

数学化 (列)

解答数学问题

寻找解题思路 (解)

构建数学模型

解答应用题的基本流程

三、新课讲授
引例 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系 式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为:
1 p ? 25 ? q ,求产量q为何值时,利润L最大? 8
分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量 乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再 用导数求最大利润.
1 ? 1 2 ? 解:收入 R ? q ? p ? q ? 25 ? q ? ? 25q ? q 8 ? 8 ? (0 ? q ? 100)

利润

1 2? 1 2 ? L ? R ? C ? ? 25q ? q ? ? (100 ? 4q) ? ? q 21q ? 100 + 8 ? 8 ?

1 L? ? ? q ? 21 4 1 令 L? ? 0 ,即 ? q ? 21 ? 0 ,求得唯一的极值点 4

q ? 84
答:产量为84时,利润L最大。

1.几何方面的应用:
例1:在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相 等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做 成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时, 箱底的容积最大?最大容积是多少?
x
x

60

x

x

60

60 ? x 解:设箱底边长为xcm,则箱高 h ? cm, 2
60 x 2 ? x3 (0 ? x ? 60) 得箱子容积 V ( x) ? x 2 h ? 2

3x 2 V ?( x) ? 60 x ? 2 2 3x ? 0 ,解得 x=0(舍去),x=40, 令 V ?( x) ? 60 x ?
2

并求得:V(40)=16000

当x ? ?0,40 ?时v ?x ? ? 0; 当x ? ?40,60 ?时v ?x ? ? 0
' '

因此,16000是最大值。 答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是 16000cm3 .

例2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与 底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?
解:设圆柱的高为h,底半径为R,则 表面积 S=2π Rh+2π R2

由V=π

R2h,得

V ,则 h? 2 ?R

V 2V 2 S ( R) ? 2? R ? 2? R ? ? 2? R 2 ? R2 R 2V V R?3 ,从而 令 S '( R) ? ? 2 ? 4? R ? 0 解得, 2? R

h?

V ? 2 ?R

V ? V 2 3 ?( ) 2?

3

4V

?

? 23

V

?

即: h=2R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值
答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省

例3 有甲乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的 岸边A处,乙厂位于离甲厂所在河岸的40kmB处, 乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸 边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的 水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C 在何处才能使水管费用最省?

B

A

C X D

解:设供水站C建在AD间距D点xkm处能使水管费 B 用最省,设水管费用为y元 .则

y ? 3a ? (50 ? x) ? 5a ? x ? 40 x ' ? y ? 5a ? ? 3a 2 2 x ? 40 A C X D x ' 令y ? 5a ? ? 3a ? 0,得: 2 2 x ? 40 x1 ? 30,x2 ? -30, 又0≤ x ≤50,
2 2

?x ? 30,为唯一极值点, ??
答:供水站C建在AD间距D点30km处能使水管费用最省.

高考链接(2006年江苏卷) 请你设计一个帐篷,它的下部的形状是高 为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥,试问:当帐篷的顶点O到底面 中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大?

O

O1

解:设OO1为x m,则1<x<4
由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m)

3 ? ( x ? 1) ? 8 ? 2 x ? x
2 2

2

于是底面正六形的面积为(单位:m2)

3 3 3 2 2 2 6 ? ? ( 8 ? 2x ? x ) ? (8 ? 2 x ? x ) 4 2
帐篷的体积为(单位:m3)

1 3 3 3 3 2 2 (8 ? 2 x ? x ) ? ( x ? 1) (8 ? 2 x ? x ) ? 1 ? ? V(x)= 2 3 2
3 3 ? (16 ? 12 x ? x ) 2

求导数

3 2 V ' ( x) ? (12 ? 3x ) 2

令V’(x)=0 解得 x=-2 (不合题意,舍去),x=2 当 1<x<2 时 V’(x)> 0 ,V(x)为增函数 当 2<x<4 时 V’(x)<0 V(x) 为减函数 所以 当 x=2时V(x)最大 答:当OO1为2m时帐篷的体积最大.

四、课堂练习

课本 P38 练习 No.1、2、3.

五、课堂小结
1、用导数求函数f(x)的最值的步骤:
(1)求f(x)在区间[a,b]内极值; (极大值或极小值); (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的

一个为最小值.
注意:若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大 值(或极小值),则该极大值(或极小值)即为函数 f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值).

实际应用问题

审 题 (设)

分析、联想、抽象、转化

还原 (答)

数学化 (列)

解答数学问题

寻找解题思路 (解)

构建数学模型

解答应用题的基本流程

课后作业:
课本 P40 习题1.4 No.2、3、5.


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