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湖北省华师一附中、荆州中学、黄冈中学等八校2016届高三3月联考数学(理)试题


黄冈中学 黄石二中 荆州中学 湖北省 华师一附中 八校 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 鄂南高中 2016 届高三第二次联考

数学试题(理科)
命题学校:黄冈中学 命题人:冯小玮 袁小幼 审题人:范裕龙
考试时间:2016 年 3 月 29 日 下午 15:00—17:00 试卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项: 1.本试

卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必先将自己的姓名、 准考证号码填写在答题卡上. 2.回答第 I 卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x x2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x y ? ln(2 ? x)} ,则 A ? B ? ( A. (1,3) B. (1,3] C. [ ?1, 2) ) D. (?1, 2) )
1 7

4 3 ? 2.若复数 z ? (cos? ? ) ? (sin ? ? )i 是纯虚数( i 为虚数单位) ,则 tan(? ? ) 的值为( 5 5 4
A. ? 7 项和,则 S5 ? ( A.32 B. ?
1 7

C. 7

D. ? 7 或 ?

3.在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1 ? 2, 且 a2 , a4 ? 2, a5 成等差数列,记 Sn 是数列{an}的前 n ) B.62 C.27 D.81

4.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ) 的最小正周期为 ? ,且其图像向左平移 个单位后得到 3 2 函数 g ( x) ? cos ? x 的图像,则函数 f ( x) 的图像( ) A.关于直线 x ?

?

?

?
12

对称

B.关于直线 x ? D.关于点 (

5? 对称 12

? C.关于点 ( ,0) 对称 12
( A.
1 10

5? ,0) 对称 12

5.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念,则在甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻的概率为 ) B.
2 3
·1·

C.

1 3

D.

1 4

6 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f (? x) ? ? f ( x) , f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) , 且 当 x ? [ 0 , 1 ] 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ,则 f (31) = ( ) A. 0 A. i ? 6 ? B. i ≤ 6? C. i ? 5 ? D. i ? 5 ? B. 1 ) C. ?1 D. 2 )

7.若如下框图所给的程序运行结果为 S=41,则图中的判断框①中应填入的是(

8.有 6 名选手参加演讲比赛,观众甲猜测:4 号或 5 号选手得第一名;观众乙猜测:3 号选手不可 能得第一名;观众丙猜测:1,2,6 号选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6 号选手都不可 能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对比赛结果,此人是 ( A.甲 9.设 F1 , F2 为椭圆 为( A.
5 14

) B.乙
x2 9 ? y2 5

C.丙

D.丁
PF2 PF1

? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则

的值

) B.
5 13

C.

4 9

D.

5 9

?4 x ? y ? 8 ≥ 0 ? 10. 已知变量 x, y 满足 ? x ? y ? 5 ≤ 0 , 若目标函数 z ? ax ? y(a ? 0) 取到最大值 6 , 则 a 的值为( ? y ? 1≥ 0 ?

)

A. 2

B.

5 4

5 C. 或2 4
)

D. ?2

11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线及粗虚线画出的是某 多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为( A. 8? C. 12? B. D.
25 2 41 4

?

?

12.已知直线 x ? 9 y ? 8 ? 0 与曲线 C : y ? x3 ? px 2 ? 3x 相交于 A, B ,且曲线 C 在 A, B 处的切线平行, 则实数 p 的值为( A. 4 ) B.4 或 ?3 C. ?3 或 ?1 D. ? 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
·2·

13.已知 m ? 3? sin xdx ,则二项式 (a ? 2b ? 3c)m 的展开式中 ab2 c m ? 3 的系数为
0

?



??? ??? ??? 1 ??? 14.在 Rt△ABC 中,∠A=90° ,AB=AC=2,点 D 为 AC 中点,点 E 满足 BE ? BC ,则 AE ? BD
3

= 15.已知双曲线


x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的渐近线被圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 截得的弦长为 2,则该双曲 2 a b

线的离心率为



16.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N ? , Sn ? (?1)n an ?
(t ? an ?1 )(t ? an ) ? 0 恒成立,则实数 t 的取值范围是

1 ? n ? 3且 2n



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足

2b sin(C ?

?
6

)?a ?c.

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若点 M 为 BC 中点,且 AM ? AC ,求 sin ?BAC .

18.(本小题满分 12 分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校 200 名高 三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查,如下表: (平均每天锻炼的时间单位:分 钟) 平均每天锻炼 的时间(分钟) 总人数
[0,10) [10, 20) [20,30) [30, 40) [40,50) [50, 60)

20

36

44

50

40

10

将学生日均课外课外体育运动时间在 [40, 60) 上的学生评价为“课外体育达标”. (Ⅰ)请根据上述表格中的统计数据填写下面 2 ? 2 列联表,并通过计算判断是否能在犯 错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “课外体育达标”与性别有关? 课外体育不达标 男 女 合计 (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该校高三学生中,抽取 3 名学生,记被抽取的 3 名学生中的“课外体育达标”学生人数为 X ,若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的数学期 望和方差. 参考公式: K =
2

课外体育达标 20

合计 110

? a ? b? ? c ? d ? ? a ? c ? ? b ? d ?

n ? ad ? bc ?

2

,其中 n ? a ? b ? c ? d .

·3·

参考数据:

P ? K 2 ≥ k0 ?
k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

19.(本小题满分 12 分)已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, AD ∥ BC ,
?BCD ? 90? , PA ? 底面ABCD , ?ABM 是边长为 2 的等边三角形, PA ? DM ? 2 3 .

(Ⅰ)求证:平面 PAM ? 平面PDM ; (Ⅱ)若点 E 为 PC 中点,求二面角 P ? MD ? E 的余弦值.
E

20. (本题满分 12 分)已知抛物线 x 2 ? 2 py 上点 P 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 为抛物线上的两个动点,其中 y1 ? y2 且 y1 ? y2 ? 4 ,线段 AB 的垂 直平分线 l 与 y 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值. 21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

x ln x ? a(a ? 0) . x ?1 (Ⅰ)当 x ? (0,1) 时,求 f ( x ) 的单调性;
(Ⅱ)若 h( x) ? ( x 2 ? x) ? f ( x) ,且方程 h( x) ? m 有两个不相等的实数根 x1 , x2 .求证:
x1 ? x2 ? 1 .

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时请用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1 :几何证明选讲 如图,在锐角三角形 ABC 中, AB ? AC ,以 AB 为直径的圆 O 与边 BC , AC 另外的交点分别为 D, E ,且 DF ? AC 于 F . (Ⅰ)求证: DF 是 ⊙O 的切线;

7 (Ⅱ)若 CD ? 3 , EA= ,求 AB 的长. 5
23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4 :坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 P 的直角坐标为
·4·

? ? (1, 2) ,点 M 的极坐标为 (3, ) ,若直线 l 过点 P ,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心, 3 为半径.
2 6

(Ⅰ)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点,求 PA ? PB .

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?
x ? 2 ? x ? 4 ? m 的定义域为 R .

(Ⅰ)求实数 m 的范围; (Ⅱ)若 m 的最大值为 n ,当正数 a , b 满足

4 1 ? ? n 时,求 4 a ? 7b 的最小值. a ? 5b 3a ? 2b

·5·

湖北省八校 2016 届高三第二次联考
理科数学试题答案及评分参考
一、选择题 1.C 7.C 二、填空题 13. ?6480 三、解答题 17.解答: (Ⅰ) 2 sin B(sin C ?
3 1 ? cos C ? ) ? sin A ? sin C , 2 2

2.A 8.D

3.B 9.B

4.C 10.B
6 2

5.D 11.D

6.C 12.B
3 11 ? 16. ? ?? , ? ? 4 4?

14. ?2

15.

即 3 sin B sin C ? sin B cos C ? sin A ? sin C ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin C ,

? 3 sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ,
? 3 sin B ? cos B ? 1 ,所以 2 sin( B ? ? ) ? 1 ,得 B ? ? . 6 3

………6 分

(Ⅱ)解法一:取 CM 中点 D ,连 AD ,则 AD ? CM ,则 CD ? x ,则 BD ? 3x , 由(Ⅰ)知 B ?

?
3

,? AD ? 3 3x,? AC ? 2 7 x , ………12 分

由正弦定理知,

4x 2 7x 21 ? ,得 sin ?BAC ? . o sin ?BAC sin 60 7

解法二:由(Ⅰ)知 B ?

?

3 在 ?ABM 与?ABC 中,由余弦定理分别得:

,又 M 为 BC 中点,? BM ? MC ?

a , 2

a a a2 ac AM 2 ? ( )2 ? c2 ? 2 ? ? c ? cos B ? ? c2 ? , AC 2 ? a 2 ? c2 ? 2ac ? cos B ? a 2 ? c2 ? ac, 2 2 4 2
又 AM ? AC ,?

a2 ac 3a 7 ? c2 ? ? a 2 ? c2 ? ac, ? c ? ,? b ? a, 4 2 2 2

由正弦定理知, 18 .解答: (Ⅰ)

7a a 2 ,得 sin ?BAC ? 21 . ? 7 sin ?BAC sin 60o
课外体育不达标 男 女 合计 60 90 150 课外体育达标 30 20 50 合计 90 110 200

·6·

K2=

200 ? ? 60 ? 20 ? 30 ? 90 ? 150 ? 50 ? 90 ? 110

2

?

200 ? 6.060 ? 6.635, 33

………5 分

所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能判断 “课外体育达标”与性别有关. ………6 分 (Ⅱ)由表中数据可得,抽到“课外体育达标”学生的频率为 0.25,将频率视为概率,

1 ? X ? B(3, ), 4
? E( X ) ? 3 ? 1 ? 3 , D( X ) ? 3 ? 1 ? 3

………8 分

9 . ………12 分 4 4 4 4 16 19.解答: (Ⅰ)??ABM 是边长为 2 的等边三角形, 底面 ABCD 是直角梯形, ?
?CD ? 3, 又 DM ? 2 3,?CM ? 3, ? AD ? 3 ? 1 ? 4,
? AD2 ? DM 2 ? AM 2 ,? DM ? AM .

又 PA ? 底面ABCD, ? DM ? PA, ? DM ? 平面PAM ,
? DM ? 平面PDM , ? 平面 PAM ? 平面PDM .

………6 分

(Ⅱ)以 D 为原点, DC 所在直线为 x 轴, DA 所在直线为 y 轴, 过 D 且与 PA 平行的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 D ? xyz , 则 C( 3, 0, 0), M ( 3, 3, 0), P(0, 4, 2 3),

?? ? 设平面 PMD 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,
? ? 3x1 ? 3 y1 ? 0 , 则 ? ? ? 4 y1 ? 2 3z1 ? 0

?? ? 取 x1 ? 3,?n1 ? (3, ? 3, 2).
( ? E 为 PC 中点,则 E

………8 分

3 , 2, 3 ) , 2 ?? ? 设平面 MDE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

? 3 x2 ? 3 y 2 ? 0 ?? ? 1 ? , 取 x2 ? 3,?n2 ? (3, ? 3, ). 则? 3 2 x2 +2 y2 ? 3z2 ? 0 ? ? 2
ur uu r n1 ? n2 13 13 由 cos ? ? ur uu r ? .? 二面角 P ? MD ? E 的余弦值为 . 14 14 n1 n2

………10 分

………12 分

·7·

20.解答: (Ⅰ)设点 P( x0 ,

2 x0 x x2 ,求导 y ' ? , ) ,由 x 2 ? 2 py 得 y ? p 2p 2p

因为直线 PQ 的斜率为 1,所以 所以抛物线的方程为 x2 ? 4 y .

x0 x2 ? 1 且 x0 ? 0 ? 1 ? 0 ,解得 p ? 2 , 2p p
………4 分

(Ⅱ)设线段 AB 中点 M ? x0 , y0 ? ,则 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 , 2 2

k AB

x2 2 x12 ? y ? y1 4 ? 1 ? x ? x ? ? x0 , ? 2 ? 4 1 2 x2 ? x1 x2 ? x1 4 2
2 ( x ? x0 ) , x0

∴直线 l 的方程为 y ? 2 ? ?

即 2 x ? x0 ( ?4 ? y ) ? 0 ,? l 过定点 (0, 4) .
x0 ? ? AB : y ? 2 ? ( x ? x0 ) 2 ? x 2 ? 2 xx0 ? 2 x0 ?8?0 联立 ? 2 ? x2 ? 4 y ?
2 2 得 ? ? 4 x0 ? 4(2 x0 ? 8)>0 ? ?2 2<x0<2 2 ,

………6 分

AB ? 1 ?

x0 2 x2 x1 ? x2 ? ( 1? 0 ) ? 32 ? 4 x02 ? ? (4 ? x02) ?8 ? x02 ? , 4 4

………8 分

2 设 C ?0,4? 到 AB 的距离 d ? CM ? x0 ?4,

? S?ABC ?
?

1 1 2 AB ? d ? (4 ? x02) ?8 ? x02 ? 2 2
………10 分 ……12 分

1 1 2 1 1 24 3 2 2 ( x0 ? 4) ? x0 ? 4 ? (16 ? 2 x0 )? ( ) ? 8, 2 2 2 2 3

2 2 当且仅当 x0 ,即 x0 ? ?2 时取等号,? S?ABC 的最大值为 8. ? 4 ? 16 ? 2 x0

21.解答: (Ⅰ) f '( x ) ?

x ? 1 ? ln x 1 , 设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x, 则 g '( x ) ? 1 ? , x ( x ? 1)2

? 当 x ? (0,1) 时, g '( x ) ? 0 ? g ( x) ? g (1) ? 0,? f '( x) ? 0, ? f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增.
(Ⅱ) h( x) ? x 2 ln x ? ax 2 ? ax(a ? 0), ? h '( x ) ? 2 x ln x ? x ? 2ax ? a,
? h ''( x ) ? 2 ln x ? 2a ? 3 ? h ''( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,
·8·

………4 分

当 x ? 0 时, h ''( x ) ? 0, h ''(1) ? 3 ? 2a ? 0,

? 必存在 ? ? (0,1), 使得 h ''( x ) ? 0, 即 2 ln ? ? 2a ? 3 ? 0, ? h '( x ) 在 (0, ? ) 上单调递减,在 (? , ?? ) 上单调递增,
又 h '(? ) ? a ? 2? ? 0, h '(1) ? 1 ? a ? 0, 设 h '( x0 ) ? 0, 则 x0 ? (0,1),
? h( x ) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , ??) 上单调递增,
[

又 h(1) ? 0, 不妨设 x1 ? x2 , 则 0 ? x1 ? x0 , x0 ? x2 ? 1, 由(Ⅰ)知
2 f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? ? ?h( x1 ) ? f ( x0 )( x1 ? x1 ) , ? ? ? 2 f ( x2 ) ? f ( x0 ) ? ? ?h( x2 ) ? f ( x0 )( x2 ? x2 )

2 ? f ( x0 )( x2 ? x2 ) ? h( x2 ) ? h( x1 ) ? f ( x0 )( x12 ? x1 ) ,

2 2 ?( x2 ? x2 ) ? ( x1 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 1) ? 0,? x1 ? x2 ? 1.

………12 分

22.解答: (Ⅰ)连结 AD, OD. 则 AD ? BC, 又 AB ? AC , ∴ D 为 BC 的中点,而 O 为 AB 中点,∴ OD ∥ AC , 又 DF ? AC ,∴ OD ∥ DF ,而 OD 是半径,∴ DF 是 ⊙O 的切线. (Ⅱ)连 DE ,则 ?CED ? ?B ? ?C ,则 ?DCF ≌ ?DEF , ∴ CF ? FE ,设 CF ? FE ? x ,则 DF 2 ? 9 ? x 2 , 由切割线定理得: DF 2 ? FE ? FA , 7? 9 5 ? 即 9 ? x 2 ? x ? x + ? ,解得: x1 = ,x2 ? ? (舍) ,∴ AB ? AC ? 5. 5? 5 2 ?
? x ?1? ? ? 23.解答: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? ? ?

………5 分

………10 分

3 t, 2 (t为参数) , (答案不唯一,可酌情给分) 1 t, 2

圆的极坐标方程为 ? ? 6 sin ? .
? 3 x ?1? t, ? ? 2 代入 x 2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ,得 t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 7 ? 0 , (Ⅱ)把 ? ? y ? 2 ? 1 t, ? ? 2 ?t1 t2 ? ?7 ,设点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,

………5 分

则 PA ? t1 , PB ? t2 ,? PA ? PB ? 7. 24 . 解 答 : ( Ⅰ )

………10 分

?















R



x ? 2 ? x ? 4 ? ( x ? 2) ? ( x ? 4) ? 6
………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 n ? 6 ,由柯西不等式知, 4 a ? 7b ?

?m ? 6

1 4 1 (4a ? 7b)( ? ) 6 a ? 5b 3a ? 2b

·9·

1 4 1 3 1 5 时取等号,? 4 a ? 7b 的 ? [(a ? 5b) ? (3a ? 2b)] ( ? ) ? ,当且仅当 a ? , b ? 6 a ? 5b 3a ? 2b 2 26 26
最小值为

3 . 2

………10 分

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·10·


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