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第九章波的反射与折射


第九章 波的反射与折射
本章我们将研究当平面电磁波穿过两种理想的非导体媒质分
界面时的情况。我们将对电场和磁场中两种均匀、各向同性、

绝缘介质的分界面建立一组边界条件,此外,还会进一步丰富电
磁波的数学描述,以便改换一个视角来对电磁波进行研究而又不 额外增加数学知识。

主要内容
一、电磁波传播的

边界条件 二、平面边界的反射与透射 三、全折射与全反射

四、反射波的相位

波的传播矢量
沿任意方向传播的均匀平面波

E ? E0 exp[ j (?t ? k x x ? k y y ? k z z )]

k ? ex k x ? ey k y ? ez k z r ? ex x ? ey y ? ez z
k 定义为传播矢量,描述电磁波的传播方向;

r 为矢径,表示空间任一点P(x,y,z)与坐标原点的向量

波的传播矢量
回顾: 沿Z轴传播的皮面单色波

E ? E0 exp[ j (?t ? kz )]

E0 是一个常向量,其大小确定了电场的幅值,
而其方向则给定了电场的极化方向。

k ? ex k x ? ey k y ? ez k z c k? ? (n ? ) v c v

?

?n

沿任意方向传播的均匀平面波 考虑一个位置矢量 r ( 描述场点的矢量)与矢量 k的标量



k ? r ? kx x ? k y y ? kz z
k 定义为传播矢量,并把平面单色波的方程写为

E ? E0 exp[ j (?t ? k ? r )]

定义传播矢量为 k ,平面单色波的方程为

E ? E0 exp[ j (?t ? k ? r )]
则只需要改变 k的分量就可以达到表示波的传播方向的目的。

传播矢量 k 来描述波可以得到场量关于时间的导数。

E ? E0 exp[ j (?t ? k ? r )]

E ? E0 exp[ j (?t ? k x x ? k y y ? k z z )]
?E ? j? E ?t

? ? j? ?t

传播矢量 k 来描述波可以得到场量关于空间的导数。

E ? E0 exp[ j (?t ? k x x ? k y y ? k z z )]
?E ? ? jk x E ?x
? ? ex
?E ? ? jk y E ?y

?E ? ? jk z E ?z

? ? ? ? ey ? ez ?x ?y ?z

? ? ? jk

由矢量分析可知 并且

k ?k ? k2

k?

?n
c

2 2 ? n 2 2 2 2 k ? k ? k ? kx ? k y ? kz ? 2 c

传播矢量 k 来描述波,得到场量关于时间和空间的导数。

E ? E0 exp[ j (?t ? k x x ? k y y ? k z z )]

k ? ex k x ? ey k y ? ez k z r ? ex x ? ey y ? ez z
? ? j? ?t ? ? ? jk

传播矢量

k 描述电磁波沿传播方向的矢量,其量值k称为波
ek

数,方向为

k ? ex k x ? ey k y ? ez k z
k?

?n
c

k ek = k

电磁波沿传播方向 k 的等相位面方程

?t ? k ? r ? ?0 ? C (常数 )

均匀平面波的一般表达式

Ex ? E1 cos ?t ? k ? r ? ? x Ey Ez
2

? ? ? E cos ??t ? k ? r ? ? ? ? E cos ??t ? k ? r ? ? ?
y 3 z

E ? ex Ex ? ey E y ? ez Ez
E1 ? E1 exp ? j? x ? E2 ? E2 exp ? j? y ? E3 ? E3 exp ? j? z ?

Ex ? E1 exp ? jk ? r Ey Ez
2

? ? ? E exp ? ? jk ? r ? ? E exp ? ? jk ? r ?
3

E ? ex Ex ? ey E y ? ez Ez

均匀平面波的复数表达式

E ? ex Ex ? ey Ey ? ez Ez
E1 ? E1 exp ? j? x ? E2 ? E2 exp ? j? y ? E3 ? E3 exp ? j? z ?
Ex ? E1 exp ? jk ? r Ey Ez
2

E0 ? ex E1 ? ey E2 ? ez E3

? ? ? E exp ? ? jk ? r ? ? E exp ? ? jk ? r ?
3

E ? E exp ? jk ? r

?

?

TEM波
E ? E exp ? jk ? r
k ? E?H k ? E=0 k ? H=0

?

?

k ?E?H
? ? j? ?t ? ? ? jk

电磁波入射媒质界面时,发生反射和折射现象。 1. 入射角、反射角和折射角的关系 2. 入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位 任何波动在两个不同界面上的反射和折射想象属 于边值问题,它是由波动的基本物理量在边界上的 行为确定的。对于电磁波来说,是由 E 和 B 的边 值关系确定的。 因此,研究电磁波的反射和折射问题的基础是电 磁场在两个不同媒质上的边值关系。

电磁波传播的边界条件
边界和电磁波的传播方向如图所示 只考虑介质1和介质2 之间边界为平面的情况。 假定入射电磁波从介质1 穿过边界,并将边界置于 y-z平面上,于是x轴便垂 直于边界。这样要历经的 边界必须沿x方向行进。 边界可以看成是从介质1 到介质2连续变化的一个 电磁波的入射、反射与透射 小区域。麦克斯韦方程适用于折射率分别为n1和 n2的不同 介质,自然也适用于边界区域。

电磁波的的反射与折射
利用传播矢量来对平面单色波讨论在两种理想的绝缘介质 ( 假定为均匀,各向同性和无损耗)之间平面边界上的反射和 透射问题。
入射波:

Ei ? E0 exp[ j (?t ? k ? r )]
反射波:

Er ? E0' exp[ j (? ' t ? k '? r )]
透射波:
'' Et ? E0 exp[ j (? '' t ? k ''? r )]
平面单色波在两种理想绝缘介质交界面上 的入射、反射和透射

入射波:

Ei ? E0 exp[ j (?t ? k ? r )]
反射波:

Er ? E exp[ j (? ' t ? k '? r )]
' 0

透射波:
'' Et ? E0 exp[ j (? '' t ? k ''? r )]

显然,必须首先明确地给出入射平面单色波的描述式,
这里 k代表传播方向,常矢量 E0则表示入射电场的方向。

此外,波的传播方向可以是任意的。

入射波:

Ei ? E0 exp[ j (?t ? k ? r )]
反射波:
' Er ? E0 exp[ j (? ' t ? k '? r )]

透射波:
'' Et ? E0 exp[ j (? '' t ? k ''? r )]

当平面线性极化波穿过各向同性绝缘介质时,场的方向不会产
生旋转变化,这样,在假定介质1、介质2和边界区域均为各向同 性的情况下,就可以认为电场方向是不会发生旋转变化的。如 果用
' '' 和透射波 E0 将与 E0 E0 代表入射波的方向,那么反射波 E0

同方向。

入射波:

Ei ? E0 exp[ j (?t ? k ? r )]
反射波:
' Er ? E0 exp[ j (? ' t ? k '? r )]

透射波:
'' Et ? E0 exp[ j (? '' t ? k ''? r )]

入射波:

Ei ? E0i e? jki ?r
反射波:

Er ? E0 r e? jkr ?r
透射波:

Et ? E0t e? jkt ?r

电磁波的的反射与折射
n ? ( D1 ? D 2 ) ? ? s
一般情况下,电 磁场的边值关系

n ? ( B1 ? B 2 ) ? 0 n ? ( E1 ? E 2 ) ? 0
n ? (H1 ?

H 2) ? J s

绝缘介质面上, 电磁场的边值关系

n ? ( D1 ? D 2 ) ? 0 n ? ( B1 ? B 2 ) ? 0 n ? ( E1 ? E 2 ) ? 0
n ? (H1 ?

H 2) ? 0

斯涅尔定理—角度关系
入射波:

Ei ? Ei exp[ j (?t ? ki ? r )]
反射波:
' Er ? E0 r exp[ j (?t ? kr ? r )]

透射波:

Et ? E0t exp[ j (?t ? kt ? r )]
媒质I、II电场的边值关系为

n ? ( E1 ? E 2 ) ? 0

n ? (Ei +E r ) ? n ? Et

媒质I、II电场的边值关系

n ? (Ei +E r ) ? n ? Et
入射波:

Ei ? E0i e? jki ?r
反射波:

Er ? E0 r e? jkr ?r
透射波:

Et ? E0t e? jkt ?r

? jki ?r ? jkt ?r ? jkr ?r ? n? ? E e ? E e ? n ? E e 0r 0t ? 0i ?

媒质I、II电场的边值关系
? jki ?r ? jkt ?r ? jkr ?r ? n? ? E e ? E e ? n ? E e 0r 0t ? 0i ?

入射波与法线构成入射面,如左图 所示,为x-y平面,边界z=0处,有

ki ? r ? kr ? r ? kt ? r
因为 所以

r ? ex x ? e y y

kix x ? kiy y ? kry y ? krx x ? kty y ? kix x

kiy ? kry= kty ,

kix ? krx= ktx

kiz ? 0 kiz ? krz= ktz kiz ? krz= ktz ? 0

kiy ? kry= kty kiy ? ki sin ?i kry ? kr sin ? r kty ? kt sin ?t
ki sin ?i ? kr sin ? r= kt sin ?t

ki sin ?i ? kr sin ? r= kt sin ?t

n1? ki ? kr ? c n2? kt ? c
sin ?i kr ki sin ?i ? kr sin ? r ? ? =1 sin ? r ki sin ?i kt n2 ki sin ?i= kt sin ?t ? ? = ? sin ?t ki n1

?2? 2 ?1?1

?

在透射和反射过程中波的频率是不变的,入射、反
射、透射三种波均平行于同一平面(入射平面)

?

反射定律:入射角等于反射角

?i ? ? r
?

折射定律:

?2? 2 sin ?i n2 ? =? sin ?t n1 ?1?1

界面对电磁波的反射和折射的振幅影响与入射波的极
化方式有关。为了描述波极化方式对反射、折射波的振 幅的影响,我们将分界面的法线与入射波射线构成的平 面定义为入射面,并规定:电场垂直于入射面的波为垂 直极化波;电场平行于入射面的波为平行极化波。由于 任意极化波可以视为上述两种极化波的迭加。

垂直极化波
n ? ( E1 ? E 2 ) ? 0
n ? (H1 ?

H 2) ? 0

Ei ? Er ? Et H i cos ?i ? H r cos ?r ? H t cos ?t

垂直极化波的反射系数
H i cos ?i ? H r cos ? r ? H t cos ?t E Ei ? Er ? Et , H ? , ?i ? ?r

?

1

?1 ?2 ? ?2 cos ?i ? Ei ? Er ? ? ?1 ? Ei ? Er ? cos ?t ? ?2 Ei cos ?i ? ?2 Er cos ?i ? ?1Ei cos ?t ? ?1Er cos ?t Er ?2 cos ?i ??1 cos ?t ? R? ? ? Ei ?2 cos ?i ? ?1 cos ?t

cos ?i ? Ei ? Er ? ?

1

Et cos ?t

垂直极化波的反射系数
Er ?2 cos ?i ??1 cos ?t R? ? ? Ei ?2 cos ?i ? ?1 cos ?t 若?1 ? ?2 ? ?0, 则?1 =

?0 ? ?1 ? ? , ?2 = 2 ? 0 ?1 ?1 ?2 ?2

?0 ?0 ?2 cos ?i ? cos ?t cos ?i ? cos ?t ?2 ?1 ? cos ?i ? ? 2 cos ?t ?1 ? R? ? = 1 = ?0 ?0 ?1 cos ?i ? ? 2 cos ?t ?2 cos ? ? cos ?t cos ?i ? cos ?t i ?1 ?2 ?1 sin ?i cos ?i ? cos ?t sin ??i ? ?t ? sin ?t sin ?t cos ?i ? sin ?i cos ?t ? ? ?? sin ?i sin ??i ? ?t ? cos ?i ? cos ?t sin ?t cos ?i ? sin ?i cos ?t sin ?t

垂直极化波的透射系数
H i cos ?i ? H r cos ? r ? H t cos ?t E Ei ? Er ? Et , H ? , ?i ? ?r

?

1

?1 ?2 ? ?2 cos ?i ? 2 Ei ? Et ? ? ?1Et cos ?t ? 2?2 Ei cos ?i ??2 Et cos ?i ? ?1Et cos ?t Et 2?2 cos ?i ? T? ? ? Ei ?2 cos ?i ? ?1 cos ?t

cos ?i ? 2 Ei ? Et ? ?

1

Et cos ?t

垂直极化波的透射系数
Et 2?2 cos ?i T? ? ? Ei ?2 cos ?i ? ?1 cos ?t

?0 ?0 ?1 ?2 若?1 ? ?2 ? ?0, 则?1 = ? , ?2 = ? ?1 ?1 ?2 ?2 ?0 2 cos ?i ?2 2cos ?i 2cos ?i T? ? ? ? sin ?i ?0 ?0 ?2 cos ?t cos ?t cos ?i ? cos ?i ? cos ?t cos ?i ? sin ?t ?1 ?2 ?1 2cos ?i sin ?t 2cos ?i sin ?t ? ? cos ?i sin ?t ? sin ?i cos ?t sin ??t ? ?t ?

平行极化波

n ? ( E1 ? E 2 ) ? 0
n ? (H1 ?

H 2) ? 0

Hi ? H r ? Ht Ei cos ?i ? Er cos ?r ? Et cos ?t

平行极化波的反射系数
Hi ? H r ? Ht , H ? E

?

, ?i ? ? r

?1 ?2 cos ?i ? Ei ? Er ? ? Et cos ?t = ? Ei +Er ? cos ?t ?1 ? ?1Ei cos ?i -?1Er cos ?i =?2 Ei cos ?t +?2 Er cos ?t Er ?1 cos ?i ??2 cos ?t ? R// ? ? Ei ?1 cos ?i ? ?2 cos ?t

?1

Ei cos ?i ? Er cos ? r ? Et cos ?t ?2 1 1 ? Ei +Er ? ? Et ? Et = ? Ei +Er ?

?2

平行极化波的反射系数
R// ? Er ?1 cos ?i ??2 cos ?t ? Ei ?1 cos ?i ? ?2 cos ?t 若?1 ? ?2 ? ?0, 则?1 =

?0 ? ?1 ? ? , ?2 = 2 ? 0 ?1 ?1 ?2 ?2

?0 cos ?i ? ?1 R// ? ?0 cos ?i ? ?1

?0 ?2 sin ?i cos ?t cos ?i ? cos ?t cos ?i ? cos ?t ?2 ?1 sin ?t ? ? sin ?i ?0 ?2 cos ?i ? cos ?t cos ?i ? cos ?t cos ?t sin ?t ?1 ?2

1 sin ?i cos ?i ? sin ?t cos ?t 2 ? sin 2?i ? sin 2?t ? ? ? sin ?i cos ?i ? sin ?t cos ?t 1 sin 2? ? sin 2? ? i t? 2 cos ??i ? ?t ? sin ??i ? ?t ? tan ??i ? ?t ? ? = sin ??i ? ?t ? cos ??i ? ?t ? tan ??i ? ?t ?

平行极化波的透射系数
Hi ? H r ? Ht , H ? E

?

, ?i ? ? r

?1

Ei cos ?i ? Er cos ? r ? Et cos ?t ?1 1 1 ? Ei +Er ? ? Et ? Er = Et ? Ei

?2

?2

? ?1 ? Ei cos ?i ? ? Et ? Ei ? cos ?i ? Et cos ?t ? ?2 ? ? ?2 Ei cos ?i -?1Et cos ?i +?2 Ei cos ?i =?2 Et cos ?t Et 2?2 cos ?i ? T// ? ? Ei ?1 cos ?i ? ?2 cos ?t

平行极化波的透射系数
Et 2?2 cos ?i T// ? ? Ei ?1 cos ?i ? ?2 cos ?t 若?1 ? ?2 ? ?0, 则?1 = 2 T// ?

?0 ? ?1 ? ? , ?2 = 2 ? 0 ?1 ?1 ?2 ?2
? 2cos ?i ? 2cos ?i

sin ?i ?0 ?0 ?2 cos ?i ? cos ?t cos ?i ? cos ?t cos ?i ? cos ?t sin ?t ?1 ?1 ?2 2cos ?i sin ?t 2cos ?i sin ?t 2cos ?i sin ?t ? ? ? 1 sin ?i cos ?i ? sin ?t cos ?t ? sin 2?i ? sin 2?t ? sin ??i ? ?t ? cos ??i ? ?t ? 2

?0 cos ?i ?2

菲涅耳(Fresel)定律—振幅关系

sin ??i ? ?t ? R? ? ? sin ??i ? ?t ? 2cos ?i sin ?t T? ? sin ??t ? ?t ?

tan ??i ? ?t ? R// = tan ??i ? ?t ? 2cos ?i sin ?t T// ? sin ??i ? ?t ? cos ??i ? ?t ?

反射波的极化(全折射)
反射波电场的幅值可以由下面两式求得,即 当 E 垂直于入射平面时:
R? ? R/ / ? sin(?t ? ?i ) sin(?t ? ?i ) tan(?t ? ?i ) tan(?t ? ?i )

当 E 平行于入射平面时:
从以上两式我们可以得出结论:

如果 ?t ? ?i ? ? / 2 ,由于这时只有垂直于入射平面的电 场分量会被折射,所以它就是被边界所反射的极化波。 一般来讲,任何角度入射的波都存在部分极化的情况, 但满足 ?t ? ?i ? ? / 2 的波被反射后会产生完全极化现象。

反射波的极化(全折射)
反射波电场的幅值可以由下面两式求得,即 当

E

平行于入射平面时:

R/ / ?

tan(?t ? ?i ) tan(?t ? ?i )

如果 ?t ? ?i ? ? / 2 ,由于这时只有垂直于入射平面的电
场分量会被反射,所以它就是被边界所反射的极化波。

?t ? ?i ?

?
2

n2 sin ?i sin ?i ? ? ? ? tan ?i n1 sin ?t cos ?i

布儒斯特角(Brewster angle)
当 E 平行于入射平面时:

R/ /

tan(?t ? ?i ) ? tan(?t ? ?i )

将 ?t ? ?i ? ? / 2 代入斯涅尔定理,可以定义出一个特殊 的入射角 ? B ,称为布儒斯特角(Brewster angle),此时

两介质边界上所反射的波将会被完全极化,并且有

n2 tan ? B ? n1

结论:一个极化在任意方向的均匀平面波,当它以布儒斯 特角入射到两种媒质的分界面上时,其平行分量发生全折 射,结果使得反射波成为一个垂直极化波,这种现象被称 为全折射现象。发射全折射时的入射角被称为布儒斯特角,

其计算公式如下:

布儒斯特角

n2 tan ? B ? n1

全反射现象
定义 当电磁波入射到两种媒质交界面上时 ,如果反射系 数 R ? 1,则投射到界面上的电磁波将全部反射回 第一种媒质中,这种情况称为全反射。 根据斯涅尔折射定理有
sin ?t ?

?1?1 sin ?i ?2? 2
sin ?t ? 1 的

当 ?1?1 ? ? 2 ?2 ,即电磁波从光密媒质入射到光疏媒质时, 入射角 ?i 若大于一定的数值后,将会出现 情况,

此时在实数域内不存在确定的折射角 ,称为全反射。

全反射现象
发生全反射的最小入射角是 sin ?t= 时的角,我们称其为临界角,记做 1

?c

sin ? c ?
对于一般非磁性媒质

? 2? 2 ?1?1

?1 ? ?2 ? ?0

sin ?c ?

?2 ?1

反射临界角

当电磁波从光密介质进入光疏介质,并且反射角大于反射临界 角时,发生全反射现象

?2 ?i ? arc sin ?1

法向入射
在法向入射的情况下,亦即入射波沿介质分界面法线入 射,有 ?i =0。由斯涅耳公式 反射定律:

?i ? ?r

?2? 2 sin ?i n2 ? =? 折射定律: sin ?t n1 ?1?1

?i ? ? r =?t =0
sin ?i ? sin ? r ? sin ?t =0 cos ?i ? cos ? r ? cos ?t ? 1

法向入射
?2 cos ?i ??1 cos ?t R? ? ?2 cos ?i ? ?1 cos ?t 2?2 cos ?i T? ? ?2 cos ?i ? ?1 cos ?t
?1 cos ?i ??2 cos ?t R// = ?1 cos ?i ? ?2 cos ?t 2?2 cos ?i T// ? ?1 cos ?i ? ?2 cos ?t

?i ? ? r =?t =0 sin ?i ? sin ? r ? sin ?t =0 cos ?i ? cos ? r ? cos ?t ? 1
?2 ??1 R? ? ?2 ? ?1 2?2 T? ? ?2 ? ?1
?1 ??2 R// = ?1 ? ?2 2?2 T// ? ?1 ? ?2

法向入射
若?1 ? ?2 ? ?0, 则?1 =

?0 ? ?1 ? ? , ?2 = 2 ? 0 ?1 ?1 ?2 ?2
Er ?1 ??2 R// ? = Ei ?1 ? ?2

当电场 E 的方向平行于入射平面时, 可得 ?0 ?0 ? ?1 ?2 ? 2 ? ?1 n2 ? n1 Er R// ? = ? ? Ei ?0 ?0 ? 2 ? ?1 n2 ? n1 ? ?1 ?2

类似地,对于垂直于入射平面的 E 有 R? ?

?0 ?0 ? ?2 ?1 ?1 ? ? 2 n1 ? n1 Er ?2 ??1 R? ? ? ? ? ? Ei ?2 ? ?1 ?0 ?0 ?1 ? ? 2 n1 ? n2 ? ?2 ?1

Er ?2 ??1 ? Ei ?2 ? ?1

法向入射
R// ? Er n2 ? n1 ? Ei n2 ? n1

Er n1 ? n1 R? ? ? Ei n1 ? n2

R ?

Er Ei

?

n1 ? n2 n1 ? n2

因此在法向入射的情况下,对于与入射面垂直和平行的 E 来说, 其反射波幅值 E0 r 与入射波幅值 E0i 两者比值的结果 相同。波的能量或是强度与 E 或 B 的模的平方成正比 ,

并且反射强度与入射强度之比为

Ir Er 2 n1 ? n2 2 ?( ) ?( ) Ii Ei n1 ? n2

法向入射
在法向入射的情况下,反射系数和折射系数变为 2 ?2 ? ? ?1 T? ? R? ? 2 ?2 ? ?1 ?2 ? ?1
R// ?

?1 ? ?2 ?1 ? ?2

2?2 T// ? ?1 ? ?2

?1 1 +R?=T? , 1 +R/ /=( )T/ / ?2
若介质1是理想介质,介质2是理想导体 (?2 ? 0)
T?=T/ / ? 0, R?=- 1, R/ /= 1

入射波在边界上完全反射。

法向入射
为了方便讨论,一般可将垂直入射问题都视为垂直极化,并 将反射系数 R? 简记为 R
T=0, R =- 1, 1 +R =T ,

?1 , ?1
Ei

y ?2 , ? 2
? k

在介质1的区域内,总的电场和总的 磁场将是入射场和反射场的叠加

? k

? ?k
Er

x

z

E1 ? ex E0 (e? jk1z ? Re jk1z ) E0 ? jk1z H1 ? ey (e ? Re jk1z )

?1

法向入射
?1 , ?1
Ei

y ?2 , ? 2
? k

E1 ? ex E0 (e? jk1z ? Re jk1z ) ? ex E0 (e? jk1z ? Re? jk1z ? Re? jk1z ? Re jk1z ) ? ex E0 [(1 ? R)e? jk1z ? 2 jR sin k1 z ]
? x ?0 令 E0 ? E0e j?x ??? ? E0 ? E0

? k

? ?k
Er

x

z

E1 (t ) ? Re[ E1e j?t ] ? ex Em (1 ? R) cos(?t ? k1 z ) ? ex Em 2 R sin k1 z sin ?t
行波 驻波

法向入射
E1 (t ) ? Re[ E1e j?t ] ? ex Em (1 ? R) cos(?t ? k1 z ) ? ex Em 2 R sin k1 z sin ?t
行波 驻波

行波:向着 z 方向传播的平面电磁波 驻波:振幅随着传播方向按照正弦 变化的电磁波震荡波 行驻波:行波与驻波的混合状态
形成驻波的条件是产生波的全反射,即由入射行波与反射 行波叠加而形成驻波。驻波的平均功率流密度为零,没有

电磁场能量的传输,只有电场能量与磁场能量的交换。

法向入射
E1 ? ex E0 (e? jk1z ? Re jk1z )
H1 ? ey E0 ? jk1z (e ? Re jk1z ) ?1

E1 ? ex Em (1 ? Re2 jk1z )e? jk1z
Em H1 ? ?ey (1 ? Re2 jk1z )e? jk1z ?1

这样就可以将驻波理解为向着 z 方向传播的一个平面波,
? jk1 z e 它的振幅为 前面的模值,即

E1 ? Em [1 ? R ? 2R cos(2k1z)]
2

1/ 2

H1 ?

Em

?1

[1 ? R 2-2R cos(2k1 z )]1/ 2

上面这两个式子是以 z 为变量,以 ? / 2 为周期的周期 性函数,其性质分以下两种情况讨论:

均匀平面波垂直投射到理想导体表面

返回

法向入射
第一种情况:

?2 ? ?1
R?0

这时电磁波是由光密媒质入射到光疏媒质上,这时

在 2k1 z ? ?2n? (n ? 0,1, 2, ) ,即 z ? ?n?1 / 2 处,为电 场振幅的最大点和磁场振幅的最小点 。 这时

E1 ? Emax ? Em (1 ? R)

H1 ? H min ?

Em

?1

(1 ? R)

) 在 2k1 z ? ?(2n ? 1)? (n ? 0,1, 2, ,即 z ? ?(2n ? 1)?1 / 4处,
为电场振幅的最小点和磁场振幅的最大点 。

E1 ? Emin ? Em (1 ? R)

H1 ? H max ?

Em

?1

(1 ? R)

场强振幅的最大点处称为波腹,场强振幅的最小点处称 为波节。可见,当电磁波由光密媒质入射到光疏媒质上时, 分界面处为电场的波腹、磁场的波节;而距离分界面 ?1 / 4 处,为电场的波节和磁场的波腹。 第二种情况:

?2 ? ?1
R?0

这时电磁波是由光疏媒质入射到光密媒质上,这时 电场的波腹和波节的位置与上述情况正好相反。

驻波比和行波系数
定义 电场或磁场的最大振幅与最小振幅之比被定义为

驻波比或驻波系数(VSWR),记做
Emax H max 1 ? R Sw ? ? ? Emin H min 1? R

Sw
Sw ? 1 R ? Sw ? 1

也可用驻波系数

Sw 表示反射系数 R

在行驻波混合状态下,可以定义行波系数,记做 K w Emin H min 1 ? R 1 Kw ? ? ? ? Emax H max 1 ? R Sw

也可用行波系数

K w 表示反射系数 R

1 ? Kw R ? 1 ? Kw

反射波的相位变化
当 E 垂直于入射平面时:
当 E 平行于入射平面时:
sin(?t ? ?i ) Er ? Ei sin(?t ? ?i )

Er ? ?

tan(?t ? ?i ) Ei tan(?t ? ?i )

由上式可知,若其中两正弦项之比值为正,则 Er 和 Ei 方向 相同。由于角度( ?t ? ?i )只能在0和π弧度之间,故 sin(?t ? ?i ) 总是正值。然而,角度( ?t ? ?i )的正负与介质相关,所当 ?i ? ?t

时 sin(?t ? ?i ) 将为负值。于是,根据斯涅尔定理,条件 ?i ? ?t
和 n2 ? n1 可以看作是等价的。

反射波的相位变化
入射波从折射率较大的介质被反射时,对于与入射 平面相垂直的电场分量而,入射场与反射场的方向在边界 处是相反的,即如果 n2 ? n1则电场的垂直分量的相位将 会发生的 1800 变化。

与入射平面相垂直的电场分量的相位变化

各向异性媒质中的平面波
实际的介质并不是均匀的,不均匀处就象一些小的分界 那样,在介质中会产生反射。固体材料中的空穴就是这 样的例子。
介质如果是很透明的话,那么它一定得尽可能地均匀。 对于实际的介质来说,不均匀性只是问题的一个方面。 另一个更重要的问题,介质的性质往往可能会与外加电 场或磁场的取向有关。我们将这种电磁特性与外加电磁 场方向有关的媒质称为各向异性媒质,也就是说,这种 媒质的介电常数 ? 、磁导率 ? 或电导率 ? 与外部电 场或磁场的取向有着密切的关系。 描述各向异性媒质的参量将不再是标量而是张量,但麦 克斯韦方程的形式不变。


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