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2014全国高中数学联赛 B卷(1试)


2014 年全国高中数学联赛一试试题
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1、若函数

B卷
.

f ( x) 的图像是由依次连接点 (0,0),(1,1)和(2,3) 的折线,则 f ?1 (2) =

2、 在正方体 ABCD ?

A?B?C?D? 中, 二面角 A

? ? BD ? C ? 等于_____________.(用反三角表示)

3、对于实数 R 的任意子集 U,我们在 R 上定义函数 fU ( x) ? ? 的两个子集,则 f A ( x) ? f B ( x) ? 1,的充分必要条件是 4、若果 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的余切 cot 大值是 5、实数列 .

?1, x ?U ,如果 A,B 是实数 R ?0, x ?U
.

A,cot B,cot C 依次成等差数列,则角 B 的最

?an ? 满足条件: a1 ?

2 n ? 1, a2 ? 2 ? 1, an?1 ? an?1 ? ? 2(n ? 2) ,则 2 an ? an?1
(n ? 1 ) .

通项公式 an =

x2 y 2 1 a ? b ? 0) 6、 F 的两个焦点,P 为椭圆上的一点,如果 ?PF 1F 2的 1 , F2 是椭圆 2 ? 2 ?( a b
面积为 1, tan ?PF 1 F2 =

1 , tan ?PF2 F1 ? ?2 ,则 a ? 2

.

7、将一副扑克牌中的大小王去掉,在剩下的 52 张牌中随机地抽取 5 张,其中至少有两张牌上的数 字(或者字母 J,Q,K,A)相同的概率是 (要求计算出这个概率的数值,精确到 0.01). 8、设 g ( x)

? x(1 ? x) 是定义在区间 [0,1]上的函数,则函数 y ? xg ( x) 的图像与 x 轴所围
.

成图形的面积是

二、解答题(本大题共 3 小题,共 56 分)

9、 (16 分)设数列 已知 a1

?an ? 的前 n 项和 Sn 组成的数列满足 S

n

? Sn?1 ? Sn? 2 ? 6n 2 ? 9n ? 7(n ? 1) .

? 1, a2 ? 5 ,求数列 an 的通项公式.
3

10、(20 分)设 x1 , x2 , x3 是多项式方程 x

?10x ? 11 ? 0 的三个根.

a)

已知 x1 , x2 , x3 都落在区间 (?5,5) 之中,求这三个根的整数部分; 证明: arctan x1

b)

? arctan x2 ? arctan x3 ?

?
4

.

11 、 (20

x2 ? y 2 =1 , A(?2,0), B(0, ?1) 是椭圆 ? 上的两点,直线 分 ) 如下图,椭圆 ? : 4 5
4

6

l1 : x ? ?2, l2 : y ? ?1,P (x0 , y0) ( x0 ? 0, y0 ? 0) 是 ? 上的一个动点,l3 是过点 P 且
与 ? 相切的直线,C、D、E 分别是直线 l1 与 l 2 , l 2 与 l3 , l1 与 l3 的交点. 求证:三条直线 AD , BE 和 CP 共点 .
3

E
l1

2

1

P
l3

A
-4 -2 -1 2 4 6 8 10

D B
l2

C

-2


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