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2012学年第一学期温州中学期中考试高一数学试卷


温州中学 2012 学年第一学期期中考试 高一数学试卷
2012.11

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? ?0,1,2? ,那么( A. 0 ? A B. 0 ? A ) C. ?1? ? A D. ?0,1, 2? ? A

/>?

2.函数 y ?

2? x 的定义域是( x ?1
B.

) C. ? ??,2? ) D. ? ??,1? ? (1, ??)

A. ? ??,1? ? ?1, 2?

? ??,1? ? ?1, 2?

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A. y ? ? x
3

1 B. y ? x

C. y ? x

?1? D. y ? ? ? ?2?

x

4.设 a ? log1 2, b ? log 1 3, c ? ( )
3 2

1 2

0.3

,则(

) C. b ? c ? a D. b ? a ? c )

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

x 5.当 x ? 0 时, a ? 1 成立,其中 a ? 0 且 a ? 1 ,则不等式 loga x ? 0 的解集是(

A. ?x | x ? 0? C. ?x | 0 ? x ? 1 ?
x

B. ?x | x ? 1 ? D. ?x | 0 ? x ? a? )

6.若函数 y ? a ? (m ? 1)(a ? 0 ,且 a ? 1) 的图象过第一、二、三象限,则有( A. a ? 1 B. a ? 1 , ?1 ? m ? 0 C. 0 ? a ? 1 , m ? 0

D. 0 ? a ? 1

7.已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x ) 在 ?0,??? 上是减函数,实数 x1 , x2 满足

x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 2a ?1 ,且有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则实数 a 的取值范围是(
1 2 8.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:
A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? (1)如果不超过 200 元,则不给予优惠; (2)如果超过 200 元但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠; D. a ?



1 2

(3)如果超过 500 元,其 500 元内的按第(2)条给予优惠,超过 500 元的部分给予 7 折优 惠.某人两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,
1

则应付款是( ) A. 413.7 元 9.已知函数 f ( ) ?1 ? A. ,1? ?2 ? ?

B. 513.7 元

C. 546.6 元

D. 548.7 元

? x ? ? log a ( x 2 ? ax ?
B. ? 0, 1 ? ? ? 2? ?

a 1 ) 在 ( ??, ] 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 6 4
C. ? 1 , 3 ? ? ?2 4 ? ? D. ? 0, 3 ? ? ? ? 4?

10.设函数 f ( x) ? ( x2 ? 8x ? c1 )( x2 ? 8x ? c2 )( x2 ? 8x ? c3 )( x2 ? 8x ? c4 ) ,集合 M ?

{x | f ( x) ? 0} ? {x1 , x2 ,?, x7 } ? N* ,设 c1 ? c2 ? c3 ? c4 ,则 c1 ? c4 ? ( ) A. 11 B. 13 C. 7 D. 9
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)

? 8 ? 11. ? ? ? 27 ?

?

2 3

? log12 3 ? 2 log12 2 ?




12.若 f (e x ) ? x ,则 f (2) ?

13.根据表格中的数据,若函数 f ? x ? ? ln x ? x ? 2 在区间(k , k ? 1)(k ? N* )内有一个零点, 则 k 的值为 . 1 0 2 0.69 3 1.10 4 1.39 5 1.61

x

ln x

14.若 x ? x ? m ? 0 对 x ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是____________. 15.已知函数 f ( x) ? ?

?ax ? 1 ? 2a, x ? 1
2 ? x ? ax, x ? 1

,若存在 x1 , x2 ?R , x1 ? x2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 .

立,则实数 a 的取值范围是

三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.已知集合 A ? {x | ?3 ? x ? 6} , B ? {x | b ? 3 ? x ? b ? 7} , M ? {x | ?4 ? x ? 5} , 全集 U ? R . (1)求 A ? M ; (2)若 B ? (? U M ) ? R ,求实数 b 的取值范围.

2

17.已知函数 f ( x) ?

ax ( a ? 0) . x ?1

(1)判断函数 f ( x ) 在 (?1,1) 上的单调性,并用单调性的定义加以证明; (2)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 在 ? ?

? 1 1? , 上的值域. ? 2 2? ?

18.已知函数 f ( x) ? ka x ? a? x (a ? 0且a ? 1) 是奇函数. (1)求实数 k 的值. (2)若 f (1)0, 试求不等式f ( x2 ? 2 x) ? f ( x ? 4) ? 0 的解集. f (1) ? ? 0 ,求不等式

19.已知函数 f ( x) ? x ? 3x x ? a ,其中 a ? R .
2

1 时,方程 f ( x) ? b 恰有三个根,求实数 b 的取值范围; 3 1 (2)当 a ? 时,是否存在区间 [m, n] ,使得函数的定义域与值域均为 [m, n] ,若存在 3
(1)当 a ? 请求出所有可能的区间 [m, n] ,若不存在请说明理由; (3)若 a ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m, n 的 取值范围(用 a 表示) .

3

温州中学 2012 学年高一第一学期期中考试
学号 班级 姓名 …………………………………………密…………………………………………封………………………………………线…………………………………

数学答题卷

2012.11

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 ) 1 2 3 4 5 6 7 题号 答案 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.) 11. 14. _____________ 12. ____ ___ 15.

8

9

10

13._____________________

三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.

17.

4

18.

5

19.

6

温州中学 2012 学年高一第一学期期中考试 数学参考答案
2012.11

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 ) 1 2 3 4 5 6 7 题号 答案 B A A D C B D

8 C

9 C

10 D

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.)

1 15. a ? 2 或 a ? 0 4 三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
11. 12. ln 2 13. 3 14. m ? 16. 解: (1) A ? M ? ?x | ?3 ? x ? 5? .…………………..4 分 (2) ? U M ? {x | x ? ?4, 或x ? 5} ,

13 4

ì b- 3< - 4 ? ? ,解得 - 2 ? b í ? b+ 7 5 ? ?
所以实数 b 的取值范围是 - 2 ? b

- 1. - 1 .…………………..10 分(没有等号扣 1 分)

17. 解: (1)当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (?1,1) 上是减函数;…………………..2 分 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (?1,1) 上是增函数. …………………..4 分 用单调性的定义加以证明(略) . (2)由(1)知函数 f ( x ) 在 (?1,1) 上是减函数, 所以函数 f ( x ) 在 ? ? …………………..7 分

? 1 1? ? 1? , ? 上的值域为 ??1, ? . …………………..10 分 ? 2 2? ? 3?

18. 解: (1)? f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,

? f (0) ? 0,? k ? 1 ? 0,? k ? 1,经检验 k ? 1 符合题意.…………………..4 分
(2)? f (1) ? 0,? a ?

1 ? 0 ,又 a ? 0 且 a ? 1,? a ? 1. a

…………………..5 分 …………………..6 分

易知 f ( x ) 在 R 上单调递增. 原不等式化为 f ( x ? 2 x) ? f (4 ? x)
2

? x2 ? 2 x ? 4 ? x ,即 x2 ? 3x ? 4 ? 0

7

? x ? 1或x ? ?4,?不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? ?4}
19. 解: (1)由函数图象可得 (2) 解法一: 1)当 m ? n ? 矛盾 2)当 m ?

…………………..10 分

1 1 ? b ? …………………..4 分 9 8

1 时,则 f 4

? x ? 在区间 ? m, n ? 上单调递增,故 ? ?

? f ?m? ? m ? f ?n? ? n ?

,得 m ? n ? 0 ,

1 1 ? n ? 时,则 4 3

?1? 1 n ? f ? ? ? ,矛盾。 ?4? 8
3)当 m ?

1 1 ? ? n 时,则 4 3
故 ? m ? , f ? x ? 在区间 ? m, n ? 上的最大值在 ? ?

n?

1 1 ? ? f 3 8

1 ? 又因为 f , n 上取到。 ?3 ? ?

? x?

在区间 ?

?1 ? , n 上单调递增,故 n ? f ?3 ? ?

?n?? n ?

1 。 2

又m ? f

?m??

1 ?1? ?1? 1 ,故 m ? f ? m ? ? f ? ? ? f ? ? ? ,所以 f 8 ?6? ?3? 9

? x ? 在区间 ? m, n ? 上

的 最 小 值 在 ? m, ? 上 取 到 。 又 f ? 4?

?

1?

? x?

在 区 间 ? ??, ? 上 单 调 递 增 , 故 4? ?

?

1?

m ? f ? m? ? m ? 0
故 ? m, n ? ? ? 0,

? ?

1? 2? ?

4)当

1 1 ?1 1? 1 ? m ? n ? 时,由 x? ? , ? , ? f 4 3 ?4 3? 9 1 1 ? m ? ? n 时, f 4 3

? x??

1 1 1 知, ? m, n ? ,矛盾。 8 9 8

5)当

? x ? 在区间 ? ?

1 1? ?1 ? , ? 上单调递减, ? , n ? 上单调递增。故 ?3 ? ?4 3?

?1? 1 m ? f ? ? ? ,矛盾 ?3? 9

8

6)当

1 ? m ? n 时, f 3

? x ? 在区间 ? m, n ? 上单调递增,故 ? ?

? f ?m? ? m ? f ?n? ? n ?

,得 m ? n ?

1 , 2

矛盾。

?m ? 0 ? ? 1? 综上所述 ? 1 ,即存在区间 ? 0, ? 满足条件。 ? 2? ?n ? 2 ?
解法二: 1)当

1 ? m ? n 时, f 3

? x ? 在区间 ? m, n ? 上单调递增,故 ? ?

? f ?m? ? m ? f ?n? ? n ?

,得 m ? n ?

1 , 2

矛盾,故 m ? 2)当 m ?

1 。 3

1 时, m ? f 3

?m? ?

?1? 1 f ? ?? 。 ?4? 8

10 当 n ?

1 ?1? 1 时, n ? f ? ? ? ,此时 f 3 ?4? 8

? x ? 在区间 ? m, n ? 上单调递增,

故? 20 当 n ?

? f ?m? ? m ? ,得 m ? n ? 0 ,矛盾 ? f ?n? ? n ?
1 1 1 1 1 时,即 m ? ? ? n 时,则 n ? ? ? f 3 8 3 3 8

? m ? ,故 f ? x ? 在区间 ? m, n ? 上的
?1 ?

最 大 值 在 ? , n? 上 取 到 。 又 因 为 f ?3 ?

?1

?

? x?

在 区 间 ? , n? 上 单 调 递 增 , 故 ?3 ?

n? f

?n?? n ? ?m??

1 。 2

又m ? f

1 ?1? ?1? 1 ,故 m ? f ? m ? ? f ? ? ? f ? ? ? ,所以 f 8 ?6? ?3? 9

? x ? 在区间 ? m, n ? 上

的 最 小 值 在 ? m, ? 上 取 到 。 又 f ? 4?

?

1?

? x?

在 区 间 ? ??, ? 上 单 调 递 增 , 故 4? ?

?

1?

m ? f ? m? ? m ? 0
故 ? m, n ? ? ? 0,

? ?

1? …………………..8 分 2? ?

9

y
(3)当 a > 0 时,函数的图象如右,要使得函数 f ( x ) 在开区间 (m, n) 内既 有最大值又有最 小值,则最小值一定在 x = a 处取得,最大值在 x = 取 得 ; f (a) = a 2 , 在 区 间 (-

3 a处 4
3 8 a 3 4 a

, a) 内 , 函 数 值 为 a 2 时 x =

1 a ,所以 2

1 a? m 2


骣 3 3 9 a ; f ? a÷= a 2 , 而在区间 (a, + ? ÷ ?4 ÷ 8 桫 4

)内函数值

a

x

O

9 2 3+ 3 3 a 时x= a ,所以 a < n 8 8

3+ 3 3 a .…………………..12 分 8

10


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