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华南师大附中2015届高三考前热身试题(理数)


华南师大附中 2015 届高三考前热身试题 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在 答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信

息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相 应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液. 不 按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多 涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

第一部分

选择题(40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
2 1.设 i 为虚数单位,若复数 z ? m ? 2m ? 8 ? ? m ? 2 ? i 是纯虚数,则实数 m ? :

?

?

A.2

B. ?4 或-2

C. 2 或 ? 4

D. ?4

2.已知命题 p:??∈R,cos (?-?) = cos ?;命题 q: ?x∈R,x 2 + 1 > 0. 则下面结论正确的是: A. p∨q 是真命题 B. p∧q 是假命题 C. ? q 是真命题 D. p 是假命题

? 2x + 2y≥1 3.若 x、y 满足约束条件 ? x≥y 且向量 a = (3,2),b = (x,y),则 a· b 的取值范围是: ? 2x-y≤1
5 A. [ ,4] 4 7 B. [ ,5] 2 5 C. [ ,5] 4 7 D. [ ,4] 2

4. 同时具有性质“①最小正周期是 ? ,②图象关于直线 x ? 一个函数是: A. y ? sin(

?
3

对称;③在 [ ?

? ?

, ] 上是增函数”的 6 3

x ? ? ) 2 6

B. y ? cos( 2 x ?

?
3

) )

C. y ? cos( 2 x ?

?
6

)

D. y ? sin( 2 x ?

?
6

理科数学 第 1 页 共 10 页

5. 函数 f(x)=|log2(x+1)| 的图象大致是:

6. 已知点 F 是抛物线 y 2 = 4x 的焦点,M、N 是该抛物线上两点,| MF | + | NF | = 6,则 MN 中点 的横坐标为: A. 3 2 B. 2 C. 5 2 D. 3

7. 设函数 y ? f ( x) 在 R 上有定义,对于任一给定的正数 p ,定义函数 f p ( x) ? ? 则称函数

? f ( x), f ( x) ? p , ? p, f ( x ) ? p

f p ( x) 为 f ( x) 的“ p 界函数”若给定函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1, p ? 2 ,则下列结论不 .
B. D.

成立的是: A. C.

f p ? f (0) ? ? f [ f p (0)]

f p ? f (1) ? ? f [ f p (1)]

f p [ f p (2)] ? f ? f (2) ?

f p [ f p (3)] ? f ? f (3) ?

8. 若直角坐标平面内两相异点 A、B 两点满足: ① 点 A、B 都在函数 f (x) 的图象上;② 点 A、B 关于原点对称, 则点对 (A,B) 是函数 f (x) 的一个“姊妹点对”. 点对 (A,B) 与 (B,A) 可看作是同一个“姊妹
2 ? ? x + 2x,x < 0 点对”. 已知函数 f (x) = ? x + 1 ,则 f (x) 的“姊妹点对”有: ? e x ,x≥0 ?

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

第二部分
(一)必做题(9~13 题)

非选择题(110 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
x ?1 ? 2 的解集为 *** . x 1 6 2 10.(2x ? ) 的展开式的常数项是 *** (用数字作答). x
9. 不等式

理科数学 第 2 页 共 10 页

11. 图一是一个算法的流程图,则最后输出的 S 是 *** . 开始 S=0, n=1 否

n≤6 是 S = S-n n=n+2 图一

输出 S 结束 图二

12.某三棱锥的三视图如图二所示,正视图、侧视图均为直角三角形,则该三棱锥的四个面中,面 积最大的面的面积是 *** . 13. 数字“2015”中,各位数字相加和为 8,称该数为“如意四位数”,则用数字 0,1,2,3,4,5 组成的无重 复数字且大于 2015 的“如意四位数”有 *** 个.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)
14 . (坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? a ? 4cos ? ( ? 是参数, a ? 0 ),直 y ? 1 ? 4sin ? ?
C

线 l 的极坐标方程为 3? cos ? ? 4? sin ? ? 5 ,若曲线 C 与直线 l 只有一 个公共点,则实数 a 的值是 *** . A

15. (几何证明选做题)如图,⊙O 上一点 C 在直径 AB 上的 射影为 D ,且 CD ? 4 , BD ? 8 ,则⊙O 的半径等于*** .

. · D O

B

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本题满分 12 分)已知 a , b, c 分别是 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边,且 c ? 2 , C ? (Ⅰ) 若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (Ⅱ) 若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 A 的值.

?
3



理科数学 第 3 页 共 10 页

17. (本题满分 12 分)在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出 1 点,甲盒中放一球;若掷出 2 点或 3 点, 乙盒中放一球; 若掷出 4 点或 5 点或 6 点, 丙盒中放一球, 前后共掷 3 次, 设 x, y , z 分别表示甲,乙,丙 3 个盒中的球数. (Ⅰ) 求 x, y, z 依次成公差大于 0 的等差数列的概率; (Ⅱ)求随机变量 z 的概率分布列和数学期望.

18. (本题满分 14 分)如图,已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,
?BCA ? 90? , AC ? BC ? 2 , A1 在底面 ABC 上的射影恰

A1

B1

C1

为 AC 的中点 D , 又知 BA1 ? AC1 . (Ⅰ) 求证: AC1 ? 平面 A1 BC ; (Ⅱ) 求 CC1 到平面 A1 AB 的距离; (Ⅲ) 求二面角 A ? A1B ? C 的平面角的余弦值.

A

D
B
C

19. (本题满分 14 分)设数列{an}的各项都是正数,记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且对任意 n∈N*,
3 3 3 3 2 都有 a1 . ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 若 bn ? 3n ? (?1) n?1 ? ? 2 an ( ? 为常数且 ? ? 0 ,n∈N*) ,问是否存在整数 ? ,使得对任 意 n∈N*,都有 bn+1>bn. 20. (本题满分 14 分)如图,O 为坐标原点,点 F 为抛物 线 C1: x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点,且抛物线 C1 上点 P 处的切线与圆 C2: x 2 ? y 2 ? 1 相切于点 Q。 (Ⅰ)当直线 PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 时,求 抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)当正数 p 变化时,记 S1 ,S2 分别为△FPQ,△ F P y

S FOQ 的面积,求 1 的最小值. S2
21 . ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ?

O Q

x

x ln x 和 x ?1

g ( x) ? m( x ? 1) (m ? R) .
(Ⅰ)m=1 时,求方程 f (x) = g(x)的实根; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [1, ? ?), f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 m 的取值范围;
1007

(Ⅲ)求证:

? 4i
i ?1

2

4i ? ln 2015 . ?1

理科数学 第 4 页 共 10 页

数学(理科)参考答案
一、选择题:DACD ABBC 二、填空题:9. (-∞,-1)∪(0,+∞) 三、解答题: 10. 60 11. -9 12. 7 13. 23 14. 7 15. 5

1 1 3 ab sin C ? ab 推得 ab ? 4 ; 2 2 2 1 a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? b2 ? 4 ? 又根据三角形余弦公式可知: cos C ? ? 推得 a 2 ? b2 ? 8 。 2 2ab 8 综上可得 a ? b ? 2 。 ………………………………4 分
16.解: (I)根据三角形面积公式可知: S ? 3 ? (Ⅱ) sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,?sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A

sin B cos A ? 2sin A cos A ………………………………6 分 ? 当 cos A ? 0 时, A ? ………………………………7 分 2 当 cos A ? 0 时, sin B ? 2sin A ,由余弦定理得 b ? 2a ,
联立 ?

?a 2 ? b2 ? ab ? 4 ? b ? 2a

,得 a ?

2 3 4 3 ………………………………10 分 ,b ? 3 3

?b2 ? a 2 ? c 2 , C ?
综上 A ?

?
3

,? A ?

?
6

, ………………………………12 分

?
2

或A?

?
6



解二: sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,?sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A

sin B cos A ? 2sin A cos A ? 当 cos A ? 0 时, A ? 2
当 cos A ? 0 时, 2sin A ? sin B ? sin(

………………………………6 分 ………………………………7 分

2 3 1 ? ? A) ? cos A ? sin A , 3 2 2

?

3 3 sin A ? cos A ? 0 2 2

? 3 sin( A ? ) ? 0, 6 0 ? A ? ? , ?? ?A?
综上 A ?

?

?
6

? A? .

?
6

?

5? , 6

?
6

? 0即A ?
或A?

?
6

?
2

?
6



………………………………12 分

17.解: (I)依题意,掷一次骰子,掷出 1 点的概率为

1 2 1 , 掷出 2 点或 3 点的概率为 ? ,掷 6 6 3

理科数学 第 5 页 共 10 页

出 4 点或 5 点或 6 点的概率为

3 1 ? ;…………2 分 6 2

记事件 A=“ x, y, z 依次成公差大于 0 的等差数列”,则 x=0,y=1,z=2;即甲、乙、丙三盒中分别放进 0、1、2 个球. …………4 分 P(A)= C 3
1

1 1 2 1 ? ( ) ? ;…………6 分 3 2 4

(II)z 的取值为 0,1,2,3,…………7 分 而 z~B(3, ) ,

1 2

1 1 P( z ? 0) ? C30 ( )3 ? 2 8 3 1 1 3 P( z ? 1) ? C3 ( ) ? ; 2 8 1 3 P( z ? 2) ? C32 ( )3 ? 2 8

1 3 1 3 P( z ? 3) ? C3 ( ) ? …………10 分 2 8
随机变量 z 的概率分布列 z 0 1 2 3

P

1 8

3 8

3 8

1 8

数学期望为 E? ? 0 ?

1 3 3 1 12 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? .--------------------12 分 8 8 8 8 8 2

18.解法 1 :(Ⅰ)∵ A1D ? 平面 ABC ,∴平面 AAC 1 1C ? 平面 ABC , 又 BC ? AC ,∴ BC ? 平面 AA1C1C , 得 BC ? AC1 ,又 BA1 ? AC1 , BC ∴ AC1 ? 平面 A1 BC .…………………4 分 (Ⅱ)∵ AC1 ? 平面 A1 BC ,∴ AC1 ? A1C , ∴四边形 AA1C1C 为菱形,故 AA1 ? AC ? 2 ,
F
G

BA1 ? B ,
A1 B1

C1

H A

D 又 D 为 AC 中点,知∴ ?A1 AC ? 60? .即△ACA1 为等边三角形, 取 AA1 中点 F ,则 CF⊥AA1, 由(1)可知 BC ? 平面 AA1C1C ,∴BC⊥AA1, CF∩BC=C, ∴ AA1 ? 平面 BCF ,AA1 ? 平面 A1AB,从而面 A1 AB ? 面 BCF ,…………6 分 过 C 作 CH ? BF 于 H ,则 CH ? 面 A1 AB ,

C
B

在 Rt ?BCF 中, BC ? 2, CF ? 3 ,则 BF= 7 ,由面积法可得 CH ? 即 CC1 到平面 A1 AB 的距离为 CH ? (用体积转移法同样给分)
2 21 7

2 21 7

,

.…………………9 分

理科数学 第 6 页 共 10 页

(Ⅲ)过 H 作 HG ? A1 B 于 G ,连 CG ,则 CG ? A1B , 从而 ? CGH 为二面角 A ? A1B ? C 的平面角, 在 Rt ?A 1C ? BC ? 2 ,∴ CG ? 2 ,…………10 分 1BC 中, A

14 HG 7 2 21 14 ? 7 ? 在 Rt ?CGH 中,CH= , CG ? 2 则 HG= ,cos∠CGH= CG 7 7 7 2 7 故二面角 A ? A1B ? C 的余弦值为 . …………………14 分 7
解法 2 :(Ⅰ)如图,取 AB 的中点 E ,则 DE // BC ,∵ BC ? AC ,∴ DE ? AC , 又 A1D ? 平面 ABC ,以 DE , DC , DA1 为 x, y, z 轴建立空间坐标系, ……1 分 z 则 A(0, ?1,0) , C (0,1,0) , B(2,1,0) , A1 (0,0, t ) , C1 (0, 2, t ) , AC1 ? (0,3, t ) ,
A1

? CB , BA1 ? (?2, ?1, t ) , CB ? (2,0,0) ,由 AC 1 1 ? CB ? 0 ,知 AC
又 BA1 ? AC1 , BC

B1

C1

BA1 ? B ,从而 AC1 ? 平面 A1 BC .……4 分
A D

(Ⅱ)由 AC1 ? BA1 ? ?3 ? t 2 ? 0 ,得 t ? 3 .设平面 A1 AB 的法向量

? n ? AA1 ? y ? 3 z ? 0 ? 为 n ? ( x, y, z) , AA1 ? (0,1, 3) , AB ? (2,2,0) , ? , ? ? n ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0
设 z ? 1 ,则 n ? ( 3, ? 3,1) . ∴点 C1 到平面 A1 AB 的距离 d ?
| AC1 ? n | |n| 2 21 7

x

B

C

y

…………6 分

?

.…………………9 分

(Ⅲ)设面 A1 BC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) , CA1 ? (0, ?1, 3) , CB ? (2,0,0) ,

? m ? CA1 ? ? y ? 3z ? 0 ? ∴? .…………10 分 ? ? m ? CB ? 2 x ? 0
设 z= -1,则 m ? (0, ? 3, ?1) , 设二面角 A ? A1B ? C 的平面角为 θ,则

cos ? ?

m?n 2 7 , ? ? | m|?| n | 7 ?2 7
7 .…………………14 分 7

可知二面角 A ? A1B ? C 的余弦值为

3 19.解: (I)在已知式中,当 n=1 时, a1 ? a12

∵a1>0

∴a1=1………………………………………………………………1 分 ①

3 3 3 3 2 当 n≥2 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn 3 3 3 3 2 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? S n?1



①-②得, an ? Sn ? Sn?1 ? ? Sn ? Sn?1 ?? Sn ? Sn?1 ?
3 2 2
2 ∵an>0 ∴ an = Sn ? Sn?1 =2Sn-an

∵a1=1 适合上式…………………………3 分.
2 当 n≥2 时, a n ?1 =2Sn-1-an-1 ④

理科数学 第 7 页 共 10 页

2 2 ③-④得 an - an ?1 =2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+ an-1= an+ an-1

∵an+an-1>0 ∴an-an-1=1 ∴数列{an}是等差数列,首项为 1,公差为 1,可得 an=n………………6 分 (Ⅱ)∵ an ? n ?bn ? 3n ? (?1)n?1 ? ? 2an ? 3n ? (?1)n?1 ? ? 2n

? bn ?1 ? bn ? [3n ?1 ? (?1) n ? ? 2 n ?1 ] ? [3n ? (?1) n?1 ? ? 2 n ] ? 2 ? 3n ? 3? (?1) n ?1 ? 2 n ? 0
3 ? ? ? ( ) n ?1 ⑤………………………………………………………….8 分 2 3 2k ?2 当 n=2k-1,k=1,2,3,……时,⑤式即为 ? ? ( ) ⑥ 2
∴ (?1)
n ?1

依题意,⑥式对 k=1,2,3……都成立,∴λ<1………………………………10 分
2 k ?1 当 n=2k,k=1,2,3,…时,⑤式即为 ? ? ?( )

3 2



依题意,⑦式对 k=1,2,3,……都成立, ∴? ? ? ∴?

3 ……………………………………………………………………12 分 2

3 ? ? ? 1, 又? ? 0 2
2 x0 x2 x ) ,由 x 2 ? 2 py ( p ? 0) 得, y ? ,求导 y ' ? , ……2 分 2p 2p p

∴存在整数 λ=-1,使得对任意 n∈N,都有 bn+1>bn………………………14 分 20.解: (Ⅰ)设点 P ( x 0 ,

因为直线 PQ 的斜率为 1,所以

x2 x0 ? 1 且 x 0 ? 0 ? 2 ? 0 ,解得 p ? 2 2 , p 2p

所以抛物线 C1 的方程为 x 2 ? 4 2 y 。 或:将直线代入抛物线由?=0 解出 p 同样给分。 (Ⅱ)因为点 P 处的切线方程为: y ?

…………… 5 分

2 x0 x 2 ? 0 ( x ? x 0 ) ,即 2 x0 x ? 2 py ? x0 ? 0 ,…… 6 分 2p p

根据切线又与圆切,得 d ? r ,即

2 ? x0 2 4 x0

? 4p

2

4 2 ? 1 ,化简得 x0 ? 4 x0 ? 4p2 ,

……7 分

4 2 由 4 p 2 ? x0 ? 4 x0 ? 0 ,得 x0 ? 2 ,
2 2 ?2 x0 x ? 2 py ? x0 ?0 ? 2 4 ? x0 Q( , ), 由方程组 ? 2 ,解得 2 x0 2p ? ?x ? y ? 1

……………9 分

x2 2 ? 所以 PQ ? 1 ? k xP ? xQ ? 1 ? 02 x0 ? p x0
2

2 2 p 2 ? x0 x0 ? 2 | x0 | 2 = ( x0 ? 2) , p x0 2p

理科数学 第 8 页 共 10 页

p 点 F (0, ) 到切线 PQ 的距离是 d ? 2

2 ? p 2 ? x0 2 4 x0 ? 4 p2

?

x2 1 2 x0 ? p 2 ? 0 , 2 4

3 | x0 | 2 1 所以 S1 ? PQ ? d ? ( x0 ? 2) , 2 16 p

S2 ?

1 p OF xQ ? , 2 2 x0

……………12 分

所以

4 2 4 2 2 2 2 ( x0 ? 2) x0 ( x0 ? 2) x0 S1 x0 ( x0 ? 2) x0 ?4 4 ? ? ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 3, ? ? 2 2 4 2 2 x0 ? 4 S2 8p 2( x0 ? 4 x0 ) 2( x0 ? 4)
2 S x0 ?4 4 2 ? 2 时取“=”号,即 x0 ? 4 ? 2 2 ,此时, p ? 2 ? 2 2 ,所以 1 的最小值为 2 x0 ? 4 S2

当且仅当

3 ? 2 2 。……………14 分

21.解: (Ⅰ)m=1 时, f ( x) ? g ( x)即

x ln x ? x ?1 x ?1

而 x > 0,所以方程即为 ln x ? x ?

1 ?0 x

………………1 分
2

1 2 3 ? [( x ? ) ? ] 1 1 1 ? x ? x ?1 2 4 ?0, 令 h( x) ? ln x ? x ? ,则 h '( x) ? ? 1 ? 2 ? ? x x x x2 x2
而 h(1)=0,故方程 f(x)=g(x)有惟一的实根 x=1. ………………4 分

1 (Ⅱ) ?x ?[1, ??), f ( x) ? g ( x),即ln x ? m( x ? ) , x 1 设 F ( x) ? ln x ? m( x ? ) ,即 ?x ? [1, ??), F ( x) ? 0 x

F '( x) ?

1 1 ?mx2 ? x ? m …………………………………………6 分 ? m(1 ? 2 ) ? x x x2

①若 m ? 0 ,则 F '( x) ? 0 , F ( x) ? F (1) ? 0 ,这与题设 F ( x) ? 0 矛盾…7 分 ②若 m ? 0 ,方程 ?mx 2 ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m2 , 当 ? ? 0 ,即 m ?
1 时, F '( x) ? 0 , 2

∴ F ( x) 在 (1, ??) 上单调递减, ∴ F ( x) ? F (1) ? 0 ,即不等式成立…………………………………………………8 分 当0? m?
1 时,方程 ?mx 2 ? x ? m ? 0 有两正实根,设两根为 x1 , x2 , 2
1 ? 1 ? 4m 2 1 ? 1 ? 4m2 ? (0,1), x2 ? ? (1, ??) 2m 2m

( x1 ? x2 ) x1 ?

当 x ? (1, x2 ), F '( x) ? 0, F ( x) 单调递增, F ( x) ? F (1) ? 0 与题设矛盾,

理科数学 第 9 页 共 10 页

综上所述, m ?

1 。 2

所以,实数 m 的取值范围是 ? , ?? ? -------------10 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 x ? 1 时, m ? 不妨令 x ? 所以 ln
1 1 1 时, ln x ? ( x ? ) 成立. 2 x 2

?1 ?2

? ?

2k ? 1 ? 1,(k ? N? ) , 2k ? 1

2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 4k , ? ( ? )? 2 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4k ? 1 4k ,(k ? N? ) ……………………………………11 分 4k 2 ? 1

ln(2k ? 1) ? ln(2k ? 1) ?

4 ? ?ln 3 ? ln1 ? 4 ? 12 ? 1 ? 4? 2 ? …………………………………………12 分 ?ln 5 ? ln 3 ? 4 ? 22 ? 1 ? 4? n ? ln(2n ? 1) ? ln(2n ? 1) ? ? 4 ? n2 ? 1 ?

累加可得
ln(2n ? 1) ? ?
i ?1 n

4i (n ? N? ) . 4i ? 1
2

1007

取 n=1007,即得

? 4i
i ?1

2

4i ? ln 2015 ……………………………………14 分 ?1

理科数学 第 10 页 共 10 页


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