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圆锥曲线经典题型总结(含答案)


圆锥曲线整理
1.圆锥曲线的定义: (1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)抛物线:|MF|=d. 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容,在解题中有广泛的应用,在理解时
要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2 a ,且此常 数 2 a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无 轨迹;双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2 a ,且此常数 2 a 一定要小 于|F 1 F 2 |,定义中的“绝对值”与 2 a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2 a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 , F 2 为端点的两条射线,若 2 a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示 双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位 置的方程) :

x2 y2 x2 y2 3.与双曲线a2-b2=1 有相同渐近线的双曲线方程也可设为a2-b2=λ(λ≠0), b x2 y2 x2 y2 渐近线方程为 y=± ax 的双曲线方程也可设为a2-b2=λ(λ≠0).要求双曲线a2-b2= λ(λ≠0)的渐近线,只需令 λ=0 即可. 4.直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法,即将直线的方程与圆 锥曲线的方程联立,根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系. 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标. (2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程. (3)应用韦达定理及判别式. (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解. 5.若直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且直线 P1P2 的斜率为 k, 则弦长|P1P2|= 1+k2|x1-x2|= 1 1+k2|y1-y2|(k≠0).|x1-x2|,|y1-y2|的求法,通

x2 y2 y2 x2 (1)椭圆:焦点在 x 轴上时 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ),焦点在 y 轴上时 2 ? 2 =1 a b a b (a ? b ? 0) 。 x2 y2 y2 x2 (2)双曲线:焦点在 x 轴上: 2 ? 2 =1,焦点在 y 轴上: 2 ? 2 =1( a ? 0, b ? 0 ) 。 a b a b ( 3 ) 抛物线 :开口向右时 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,开口向左时 y 2 ? ?2 px( p ? 0) ,开口向上时

常使用根与系数的关系,需要作下列变形: |x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2, |y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2. 6.与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法.联立方程利用根与系数的关系 (2)“点差法”.点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率. 点差法的步骤: ①将两交点 A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入曲线的方程. ②作差消去常数项后分解因式得到关于 x1+x2,x1-x2,y1+y2,y1-y2 的关系式. ③应用斜率公式及中点坐标公式求解.

x2 ? 2 py( p ? 0) ,开口向下时 x2 ? ?2 py( p ? 0) 。
注意:1.圆锥曲线中求基本量,必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : 椭圆:由 x , y
2 2 2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
2

双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; 抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中, c 最大, c ? a ? b 。
2 2 2 2 2 2

特别提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问 题时,务必别忘了检验 ? ? 0 !

例如: EF 平分 ? AEB ? K AE ? KBE ? 0

6.求曲线方程的基本方法有: (1)直译法:建系、设动点、列式、化简、证明(可以省略),此法适用于较简单 的问题; (2)定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线的定义, 则可由曲线的定义 直接写出轨迹方程; (3)相关点法(坐标代换法):若动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1),而 Q(x1, y1)又在某已知曲线上,则可先写出关于 x1,y1 的方程,再根据 x1,y1 与 x,y 的关 系求出 P(x,y)的轨迹方程; (4)待定系数法:若已知曲线的形状(如椭圆、双曲线等),可用待定系数法; (5)点差法:求与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,可以设出两个端点坐标,并 将其代入圆锥曲线方程,再作差; (6)交轨法:先根据条件求出两条动曲(直)线的交点,然后消去其中的参数即得 轨迹方程.

一、圆锥曲线的定义及标准方程,性质及应用 例 1. (1)如图,已知圆 O 的方程为 x2+y2=100,点 A 的坐标为(-6,0),M 为圆 O 上的任 意 一 点 ,AM 的 垂 直 平 分 线 交 OM 于 点 P, 则 点 P 的 轨 迹 方 程 ( )

x2 y2 A.25 +16 =1 (x+3)2 y2 C. 25 + 16 =1
解 : 由 于 P 为 AM

x2 y2 B. 25 -16 =1 (x+3)2 y2 D. 25 - 16 =1
的 垂 直 平 分 线 上 的 点 , |PA|=|PM| 所 以

|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6 根据椭圆的定义知:P 点轨迹方程为 + y2 =1.所以选 A 16

x2 25

7.常见类型转化: ①“以弦 AB 为直径的圆过点 0”

→ +FB → +FC → (2)设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点, A, B, C 为该抛物线上三点, 若FA → |+|FB → |+|FC → |=( =0,则|FA ) A.9 B.6 C.4 D.3 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 抛物线焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1. 由已知得 x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0, 而|FA|=x1-(-1)=x1+1, |FB|=x2-(-1)=x2+1, |FC|=x3-(-1)=x3+1,

? OA ? OB ? K1 ? K2 ? ?1 (提醒:需讨论 K 是否存在) ? OA ? OB ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
②“点在圆内、圆上、圆外问题” ? “钝角、直角、锐角问题” ? “向量的数量积小于、 等于、大于 0 问题” ? x1 x2 ? y1 y2 <0; x1 x2 ? y1 y2 =0; x1 x2 ? y1 y2 >0 ③“等角、角平分、角互补问题” ? 斜率关系( K1 ? K 2 ? 0 或 K1 ? K 2 ) ;

∴|FA|+|FB|+|FC| =x1+1+x2+1+x3+1=(x1+x2+x3)+3=3+3=6. x2 y2 例 2.(1)若双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)与直线 y= 3x 无交点, 则离心率 e 的取值 范围为( ) B.(1,2] C.(1, 5) D.(1, 5] 3 (2)函数 y= 3-4x2的图象上至少存在不同的三点到(1,0)的距离构成等比数 列,则公比的取值范围是________. (3)设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线 的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( (A) 2 (B) 3 (C)
3 ?1 2

P 是双曲线右支上的点, ?PF1F2 的内切圆的圆心为 I,且圆 I 与 x 轴相切与点 A,过 F2 作直线 PI 的垂线,垂足为 B,若双曲线的离心率 e= 3 ,则( A. OB ? 3 OA B. OA ? 3 OB C. OA ? OB )

D. OA 与 OB 关系不确定

A.(1,2)

b [解析] (1)因为双曲线的渐近线方程为 y=± ax,要使直线 y= 3x 与双曲线无交 b 点,则直线 y= 3x,应在两渐近线之间,所以有a≤ 3,即 b≤ 3a,所以 b2≤3a2, c2-a2≤3a2,即 c2≤4a2,e2≤4,所以 1<e≤2,选 B. 3 2 x2 y2 (2)函数 y= 3-4x 可变为 4 + 3 =1(y≥0),(1,0)为椭圆的右焦点,上半椭圆 上点到右焦点距离的最大值和最小值分别为 3 和 1.此数列为正项数列; 要使等比数 列公比最大,只要首项最小,末项最大即可,所以公比最大值为 3,要使等比数列 3 公比最小,只要首项最大,末项最小即可,所以最小值为 3 . (3) 【 解 析 】 选 D. 不 妨 设 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上 , 设 其 方 程 为 :
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则一个焦点为 F (c,0), B(0, b) a 2 b2 b b b b 一条渐近线斜率为: ,直线 FB 的斜率为: ? ,? ? (? ) ? ?1 ,? b 2 ? ac a c a c

) (D)
5 ?1 2

(4)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆 a 2 b2

上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是( ) w_w_w.k*s 5*u.c o*m (A) ? ? 0,
? ? 2? ? 2 ?

1? (B) ? ? 0, ? ? 2?

(C)

? ? 2 ?1,1?

1 ? (D) ? ? ,1? ?2 ?

x2 y 2 a2 (5)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的左焦点F (-c, 0)(c ? 0)作圆x 2 ? y 2 ? 的切线, ? a b 9 1 切点为E , 直线FE交双曲线右支于点P,若OE ? (OF ? OP ), 则双曲线的离心率为() 2

c 2 ? a 2 ? ac ? 0 , 即 e2-e-1=0,所以 e ?

1? 5 1? 5 或e ? (舍去) 2 2

(4)解析:由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F , 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 w_w w. k#s5_u.c o*m 而|FA|=
a2 b2 ?c ? w_w_w.k*s 5*u.c o*m c c

A.

17 2
2

B.

17 3
2

C.

10 2

D.

5 3

|PF|∈[a-c,a+c]
b2 于是 ∈[a-c,a+c] c

(6)一只双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的左右焦点分别为F1 , F2 . O 为双曲线的中心, 2 a b

即 ac-c2≤b2≤ac+c2

(5)答案:B
(6) 答案:C

解析:依题意设内切圆与 PF 1 , PF 2 , FF 1 2 的切点分别为 M,N,A. 设 A 的横坐标为 x,可得 c+x-(c-x)=2a,即 x=a,所以 OA ? a ;

PF1 ? PF2 ? 2a,

且 PM ? PN , F1M ? F1 A , F2 N ? F2 A , ? PF 1 ? PF 2 ? F 1A ? F 2 A ? 2a 。 延长 F2 B交PF1于Q, 则 B 为 F2Q 中点,O 为 F1F2 的中点,又因为

PF1 ? PF2 ? FQ ? 2a, ? OB ? a,? OA ? OB 1
三、直线与圆锥曲线的位置关系 例 3 .过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原 点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( ) 2 3 2 A. 2 B. 2 C. 2 D.2 2 变式题 过抛物线 y2=2px 焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,O 为坐标 原点,则△OAB 为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.不确定 D.钝角三角形 例 3[答案] C [解析] 如图,设 A(x0,y0)(y0<0).易知抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),抛物线 的准线方程为 x=-1,故由抛物线的定义得|AF|=x0-(-1)=3,解得 x0=2,所以 -2 2-0 y0=-2 2,故点 A(2,-2 2).则直线 AB 的斜率为 k= =-2 2,直线 2-1 ?y=-2 2x+2 2, AB 的方程为 y=-2 2x+2 2,联立? 2 消去 y 得 2x2-5x+2 ?y =4x, 1 =0,由 x1x2=1,得 A,B 两点横坐标之积为 1,所以点 B 的横坐标为2.再由抛物线 1 3 3 9 的定义得|BF|=2-(-1)=2,|AB|=|AF|+|BF|=3+2=2. 2 2 又因为点 O 到直线 AB 的距离为 d= 3 , 1 9 2 2 3 2 所以 S△AOB=2×2× 3 = 2 . 变式题 [答案] D →· → =(x ,y )· [解析] 设点 A,B 的坐标为(x ,y ),(x ,y ),则OA OB (x ,y )=x x
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

p2 2 3 +y1y2= 4 -p =-4p2<0,所以∠AOB 为钝角,故△OAB 一定为钝角三角形. 五、圆锥曲线背景下的定点问题 x2 y2 [例 5](2012 年· 福建卷)如图,椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F1,右焦点 1 为 F2,离心率 e=2.过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于 点 Q.试探究: 在坐标平面内是否存在定点 M, 使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若 存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

[解析] (1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8, 即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8. 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 所以 4a=8,a=2. 1 c 1 又因为 e=2,即a=2,所以 c=1, 所以 b= a2-c2= 3. x2 y2 故椭圆 E 的方程是 4 + 3 =1. y=kx+m, ? ? (2)由?x2 y2 消去 y 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. + = 1 , ? ?4 3 因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0, y0), 所以 m≠0 且Δ=0, 即 64k2m2 -4(4k2+3)(4m2-12)=0,

化简得 4k2-m2+3=0. 4k 3 所以 P(- m ,m).

(*)

所以 b 2 ? 2 ? 1 ? 1 ,所以椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 2
7 恒成立。 16 7 16

(2)假设在 x 轴上存在定点 Q(m,0),使得 QA ? QB ? ?

?x=4, 由? 得 Q(4,4k+m) ?y=kx+m, 假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. 设 M(x1,0),则 MP ? MQ ? 0 对满足(*)式的 m,k 恒成立. 4k 3 因为 MP =(- m -x1,m), MQ =(4-x1,4k+m), 由 MP ? MQ ? 0 ,得 16k 4kx1 12k - m + m -4x1+x2 1+ m +3=0, k 整理,得(4x1-4)m+x2 1-4x1+3=0. (* *) 由于(* *)式对满足(*)式的 m,k 恒成立, ?4x1-4=0, 所以? 2 解得 x1=1. ?x1-4x1+3=0, 故存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. 跟踪练习

0), B(? 2, 0), 则( 2 ? m, 0) ? (? 2 ? m, 0) ? ? 当直线 l的斜率为0时,A( 2,

解得 m ? ?

5 4

当直线 l的斜率不存在时,A(1,

2 2 ), B(1, ? ) 2 2

5 2 5 2 7 5 由于 ( 1+ , ) ? ( 1+ ,) ? ? , 所以m ? ? 4 2 4 2 16 4
当直线 l的斜率存在且不为0时,设直线l的方程为y ? k ( x ?1) 与椭圆方程联立得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0
x1 x2 ? 2k 2 ? 2 1 ? 2k 2
x1 ? x2 ? 4k 2 1 ? 2k 2 y1 y2 ? ?k 2 1 ? 2k 2

x y 2 已知椭圆C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的右焦点F (1, 0), 且点(-1, )在椭圆上。 a b 2 ()求椭圆 1 C的标准方程; (2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点 Q,使得QA ? QB ? ? 明理由 7 恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说 16

2

2

? QA ? QB ?

?4k 2 ? 2 25 7 ? ?? 2 1 ? 2k 16 16

法二: 假设存在,设 Q (t,0)则 QA ? QB ? ( x1 ? ty1 ) ? ( x2 ? ty2 )
? x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? t 2 ? y1 y2 ? ? 1 ? 4t ? t 2 2 5 ? ?t ? 2 t ?2 1 4 (1 ? 4t ? t 2 )k 2 ? t 2 ? 2 7 ?? 2 1 ? 2k 16

解析: (1)由题意知,c=1

2 2 根据椭圆定义得, 2a ? (?1 ? 1)2 ? ( )2 ? ,即a ? 2 2 2

六、圆锥曲线背景下的定值问题 例 6:(2012· 湖南卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2:(x-5)2

+y2=9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=-2 的距离等于该点与圆 C2 上点 的距离的最小值. (1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P(x0,y0)(y0≠± 3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值. 解:(1)方法 1:设 M 的坐标为(x,y),由已知得 |x+2|= ?x-5?2+y2-3, 易知圆 C2 上的点位于直线 x=-2 的右侧, 于是 x+2>0,所以 ?x-5?2+y2=x+5. 化简得曲线 C1 的方程为 y2=20x. 方法 2:由题设知,曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2(5,0)的距离等于它到直线 x=-5 的距离,因此,曲线 C1 是以(5,0)为焦点,直线 x=-5 为准线的抛物线,故 其方程为 y2=20x. (2)证明:当点 P 在直线 x=-4 上运动时,P 的坐标为(-4,y0),又 y0≠± 3, 则过 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率 k 存在且不为 0, 每条切线都与抛物线有两个交 点,切线方程为 y-y0=k(x+4),即 kx-y+y0+4k=0. |5k+y0+4k| 于是 =3.整理得 k2+1 2 72k2+18y0k+y0 -9=0. ① 设过 P 所作的两条切线 PA,PC 的斜率分别为 k1,k2,则 k1,k2 是方程①的两 个实根,故 18y0 y0 k1+k2=- 72 =- 4 . ② ?k1x-y+y0+4k1=0, 由? 2 得 k1y2-20y+20(y0+4k1)=0. ③ ?y =20x, 设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1,y2,y3,y4,则 y1,y2 是方程③的两 个实根,所以 20?y0+4k1? y1· y2= . ④ k1 20?y0+4k2? 同理可得 y3· y4= . ⑤ k2 于是由②,④,⑤三式得

400?y0+4k1??y0+4k2? y1y2y3y4= kk = =
1 2 2 400[y0+4?k1+k2?y0+16k1k2]

=6 400. k1k2 所以,当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6 400. 跟踪训练 2 2 y 已知双曲线 C:x - 2 =1,过圆 O:x2+y2=2 上任意一点作圆的切线 l,若 l 交双 曲线于 A,B 两点,证明:∠AOB 的大小为定值.

k1k2 2 2 400[y0-y0+16k1k2]

证明

当切线的斜率不存在时,切线方程为 x=± 2.

当 x= 2时,代入双曲线方程,得 y=± 2, 即 A( 2, 2),B( 2,- 2),此时∠AOB=90° . 同理当 x=- 2时,∠AOB=90° . 当切线的斜率存在时,设切线方程为 y=kx+b, 则 |b| 2 2 2= 2,即 b =2(1+k ). 1+k

由直线方程和双曲线方程消掉 y, 得(2-k2)x2-2kbx-(b2+2)=0,

由于直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,故 2-k2≠0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1 +x2= -(b2+2) 2kb , 2,x1x2= 2-k 2-k2 -k2b2-2k2 2k2b2 2b2-k2b2 + + = 2-k2 2-k2 2-k2

y1y2 = (kx1 + b)(kx2 + b) = k2x1x2 + kb(x1 + x2) + b2 = 2b2-2k2 , 2-k2 -b2-2 2b2-2k2 b2-2(1+k2) 故 x1x2+y1y2= + = . 2-k2 2-k2 2-k2 由于 b2=2(1+k2),

?y=kx+ 3, ? (2)联立?x2 2 整理得(1+4k2)x2+8 3kx+8=0, +y =1. ? ?4 Δ=(8 3k)2-32(1+4k2)>0,即 2k2-1>0. -8 3k 8 令 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2= , 2 ,x1x2= 1+4k 1+4k2 3 2 原点到直线 l 的距离为 d= 2,|PQ|= 1+k |x1-x2|, 1+k 1 3 3 ∴S△OPQ=2|PQ|· d= 2 |x1-x2|= 2 ?x1+x2?2-4x1x2 2k2-1 2k2-1 =2 6· = 2 6· ?1+4k2?2 4?2k2-1?2+12?2k2-1?+9 1 =2 6· 9 ≤1. 2 4?2k -1?+12+ 2 2k -1 当且仅当 k= 5 时取等号,则△OPQ 面积的最大值为 1. 2

→ → 故 x1x2+y1y2=0,即OA· OB=0,∠AOB=90° . 综上可知,若 l 交双曲线 A,B 两点,∠AOB 的大小为定值. 七、圆锥曲线背景下的最值问题 例 7 已知圆 C 的方程为 x2+y2=4,过点 M(2,4)作圆 C 的两条切线,切点分别 x2 y2 为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆 T:a2+b2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点. (1)求椭圆 T 的方程; (2)若直线 l 与椭圆 T 相交于 P,Q 两不同点,直线 l 方程为 y=kx+ 3(k>0), O 为坐标原点,求△OPQ 面积的最大值. 解:(1)由题意:一条切线方程为 x=2,设另一条切线方程为 y-4=k(x-2), |4-2k| 3 3 5 则 2 =2,解得 k=4,此时切线方程为 y=4x+2,切线方程与圆方程联立 k +1 6 8 得:x=-5,y=5,则直线 AB 的方程为 x+2y=2. 令 x=0,解得 y=1,∴b=1;令 y=0,得 x=2,∴a=2. x2 2 故所求椭圆方程为 4 +y =1.

变式:在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(0,p)作直线与抛物线 x2=2py(p>0)相 交于 A,B 两点. (1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求△ANB 面积的最小值; (2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l, 使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值? 若存在,求出 l 的方程,若不存在,说明理由.

设直线 l 与圆的交点为 P(x3,y3),Q(x4,y4).由弦长公式并结合根与系数的关系, 得 2 PQ = |x3 - x4| = p 4(a-2)y1+4a(p-a) =

p (a-2)y1+a(p-a).……………………………12 分 p 由此知,当 a=2时,PQ=p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y=

(1)

设直线 AB 的斜率为 k,A(x1,y1)B(x2,y2),由题意知:C(0,p),N(0,-p),
2 2 2

p 2. 九.与圆的综合应用

则 l 的方程为 y=kx+p,与 x =2py 联立消去 y 得,x -2pkx-2p =0. 所以 x1+x2=2pk,x1x2=-2p2…………………………?? 2 分 又因为 S△ANB=S△ANC+S△BNC,CN=2p. 1 所以 S△ANB=2×2p|x1-x2|=p (x1+x2)2-4x1x2=2p2 k2+2.…………4 分 所以,当 k=0 时,(S△ABN)min=2 2p2.…………………………6 分 (2)易得以 AC 为直径的圆的方程为(x-0)(x-x1)+(y-p)· (y-y1)=0.………………8

已知直线 l1:4x:-3y+6=0 和直线 l2x=-p/2:.若拋物线 C:y2=2px 上的点到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为 2.
(I
)求 抛 物 线C

的方程;

(II)若以拋 物 线上任意一点 M 为切点的直线 l 与 直 线 l 2 交 于 点 N ,试问在 x 轴上是 否存 在定点 Q ,使 Q 点在以 MN 为直径的圆上,若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,请说明理 由.
解: (Ⅰ)由定义知 l 2 为抛物线的准线,抛物线焦点坐标 F (

p ,0 ) 2

由抛物线定义知抛物线上点到直线 l 2 的距离等于其到焦点 F 的距离. 所以抛物线上的点到直线 l1 和直线 l 2 的距离之和的最小值为焦点 F 到直线 l1 的距离.??2 分


所以 2 ?

2p ? 6 5

2 ,则 p =2,所以,抛物线方程为 y ? 4 x .??????4 分

假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y=a,代入圆的方程,整理得 x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0.

(Ⅱ)设 M ( x0 , y0 ) ,由题意知直线 l 斜率存在,设为 k, 且 k ? 0 , 所以直线 l 方程 为

y - y0 ? k ( x - x 0 ) ,
代入 y 2 ? 4 x 消 x 得: ky 2 - 4 y ? 4 y0 - ky0 ? 0. 由 ? ? 16-4k (4 y0 -ky0 ) ? 0,得k ?
2

2

2 . ??????6 分 y0

连结 TF,则 TF⊥MT,且 TF=1,MF=2,所以∠TMF=30°. ?6 分 直线 MT 的方程为 x= 3y-1,与 y2=4x 联立,得 y2-4 3y+4=0. 记直线与抛物线的两个交点为 A (x1,y1)、B (x2,y2),则 y1+y2=4 3,y1y2=4,x1+x2= 3(y1+y2)-2=10. ?8 分 从而 AB 的垂直平分线的方程为 y-2 3=- 3(x-5). 令 y=0 得,x=7.由圆与抛物线的对称性可知圆 E 的圆心为 E (7,0).?10 分
|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2]= (1+3)[(y1+y2)2-4y1y2]=8 2. 7-0+1 又点 E 到直线 AB 的距离 d= =4,所以圆 E 的半径 R= (4 2)2+42=4 3. 2 因此圆E 的方程为(x-7)2+y2=48.

y2 - 4 2 2 所以直线 l 方程为 y - y 0 ? ( x - x 0 ) ,令 x=-1,又由 y0 ? 4 x0 得 N (?1, 0 ) y0 2 y0
2 y0 -4 设 Q(x1 ,0) 则 QM ? ( x0 - x1 , y0 ), QN ? (-1 - x1 , ) 由题意知 QM ? QN ? 0, ??8 分 2 y0
2 y0 -4 2 即(x0 -x1 )(-1-x1 ) ? ? 0 ,把 y0 ? 4 x0 代入左式, 2

2 得: ( 1 - x1 )x0 ? x1 ? x1 - 2 ? 0 ,?????10 分

因为对任意的 x0 等式恒成立, 所以 ?

? 1-x1 ? 0, 2 ?x1 ? x1 -2 ? 0.

所以 x1 ? 1 即在 x 轴上存在定点 Q(1,0)在以 MN 为直径的圆上.?????12 分 跟踪训练:设圆 F 以抛物线 P: y 2 ? 4 x 的焦点 F 为圆心,且与抛物线 P 有且只有一个公共点. (I)求圆 F 的方程; (Ⅱ)过点 M (-1,0)作圆 F 的两条切线与抛物线 P 分别交于点 A,B 和 C,D,求经过 A,B,C,D 四点的圆 E 的方程.

解: (Ⅰ)设圆 F 的方程为(x-1)2+y2=r2(r>0) . 2 2 2 将 y =4x 代入圆方程, 得(x+1) =r , 所以 x=-1-r(舍去) ,或 x=-1+r. 圆与抛物线有且只有一个公共点,当且仅当-1+r=0,即 r=1. 故所求圆 F 的方程为(x-1)2+y2=1. ?4 分 (Ⅱ)设过点 M (-1,0)与圆 F 相切的斜率为正的一条切线的切点为 T.


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