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石景山区2013—2014学年第一学期期末高三数学理科


石景山区 2013—2014 学年第一学期期末考试试卷 高三数学(理科)
本试卷共 6 页,满分为 150 分,考试时间为 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考 试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给

出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 M ? x ? R x ? 2 x ? 3 ? 0? , N ? x ? R x ? 1 ? 0? ,那么 M ? N ? (
2

?

?



A. { ? 1 , 0, 1} C. {x ?1 ? x ? 1} 2.复数

B. { ? 3 , ? 2, ? 1} D. {x ?3 ? x ? ?1}

i ?( 1? i 1 i A. ? 2 2

) B.

1 i ? 2 2

C. ?

1 i ? 2 2

D. ?

1 i ? 2 2


3.已知向量 a ? ( x , 1) , b ? (4 , x) ,则“ x ? 2 ”是“ a ∥ b ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

开始 ) 输入 x

a7 ? ?4 ,那么数列 {a n } 通项公式为( 4.已知数列 {a n } 为等差数列, a4 ? 2 ,
A. an ? ?2n ? 10 C. an ? ? B. an ? ?2n ? 5 D. an ? ?

x ? 2x ? 1
否 )

1 n ? 10 2
B. 126 D. 128

1 n?5 2

x ? 126
是 输出 x 结束

5.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 2 ,则输出的 x 的值为( A. 3 C. 127

6. 在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好落在正方形与曲线 y ? 的概率为( )

x 围成的区域内(阴影部分)

y
2 B. 3 4 D. 5
C

1 A. 2 3 C. 4

y?

x

B

O

A

x

7.用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( A. 324 B. 328 C. 360 D. 648



8 . 已 知 函 数 f ( x) 满 足 f ( x )? 1 ?

1 , 当 x ?[ 0, 时 , f ( x) ? x , 若 在 区 间 (?1, 1] 1] 上 方 程 f (x ? 1 )


f ( x) ? mx ? m ? 0 有两个不同的实根,则实数 m 的取值范围是(
A. [0 , )

1 2

B. [ , ? ?)

1 2

C. [0 , )

1 3

D. (0 , ] 共 110 分)

1 2

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知圆 C 的参数方程为 ?

? x=1 ? 2 cos ? , (? 为参数 ) ,则圆 C 的直角坐标方程为_______________,圆心 C 到 ? y ? 2sin ? ,

直线 l : x ? y ? 1 ? 0 的距离为______. 10.在 ?ABC 中,角 A , B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 a =6 , c ? 4 , cos B =

1 ,则 b ? ______. 3

? x ? 1, ? 11. 若 x , y 满足约束条件 ? y ? 0 , 则 z ? x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 2 ? 0 , ?
12.如图,已知在 ?ABC 中, ?B ? 90o , O 是 AB 上一点, 以 O 为圆心, OB 为半径的圆与 AB 交于点 E ,与 AC 切 于点 D , AD ? 2 , AE ? 1 ,则 AB 的长为 ,



C
D
A


E

O

B

CD 的长为
2



13.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为直线 l ,过抛物线上一点 P 作 PE ? l 于 E ,若直线 EF 的倾斜角 为 150 ,则 | PF |? ______.
o

14. 已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 A1 A ? 平面 ABCD , P 为 A1 A 上动 点, 过 BD 且垂直于 PC 的平面交 PC 于 E , 那么异面直线 PC 与 BD 所成的角的 度数为 的高 PA 的长为 , 当三棱锥 E ? BCD 的体积取得最大值时, 四棱锥 P ? ABCD .

A1

P

E A B
C

D

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 1 ( x ? R ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 ? ?

? ? ?? , 上的最小值,并写出 f ( x) 取最小值时相应的 x 值. ? 4 4? ?

16.(本小题满分 13 分) 北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”,测试总成绩满分为 100 分,规定测试成绩在

[85 , 100] 之间为体质优秀;在 [75 , 85) 之间为体质良好;在 [60 , 75) 之间为体质合格;在 [0 , 60) 之间为体质不
合格. 现从某校高三年级的 300 名学生中随机抽取 30 名学生体质健康测试成绩,其茎叶图如下: 9 8 7 6 5 1 0 0 4 6 3 1 5 5 5 1 6 8 6 2 6 2 7 3 9 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9

(Ⅰ)试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数; (Ⅱ) 根据以上 30 名学生体质健康测试成绩, 现采用分层抽样的方法, 从体质为优秀和良好的学生中抽取 5 名学生,再从这 5 名学生中选出 3 人. (ⅰ)求在选出的 3 名学生中至少有 1 名体质为优秀的概率; (ⅱ)记 X 为在选出的 3 名学生中体质为良好的人数,求 X 的分布列及数学期望.

P
17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形,

E A B
C

?ABC ? 90o , AD ∥ BC ,且 PA ? AD ? 2 , AB ? BC ? 1 , E 为 PD 的中点.
(Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值;

D

(Ⅲ)在线段 AB 上是否存在一点 F (不与 A , B 两点重合),使得 AE ∥平面 PCF ?若存在,求出 AF 的 长;若不存在,请说明理由.

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ( e 为自然对数的底数).
x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)已知函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值,不等式 f ( x) ? mx 的解集为 P ,若 M ? {x |

M ? P ? ? ,求实数 m 的取值范围.

1 ? x ? 2} ,且 2

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y2 0) ,且椭圆 C 的离心率为 . ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 (2 , 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若动点 P 在直线 x ? ?1 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , N 两点,且 MP ? PN ,再过 P 作直线

????

??? ?

l ? MN .证明:直线 l 恒过定点,并求出该定点的坐标.

20.(本小题满分 13 分)

2 ,, 3 ?, n) . 已知集合 A ? {?1, 0, 1} ,对于数列 {an } 中 ai ? A (i ? 1,
( Ⅰ ) 若 50 项 数 列 {an } 满 足
n

? ai ? ?9 , ? (ai ? 1)2 ? 107 , 则 数 列 {an } 中 有 多 少 项 取 值 为 零 ?
i ?1 i ?1

50

50

(

?a
i ?1

i

? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? N? )

(Ⅱ)若各项非零数列 {an } 和新数列 {bn } 满足 bi ? bi ?1 ? ai ?1 ( i ? 2 ,, 3 ?, n ). (ⅰ)若首项 b1 ? 0 ,末项 bn ? n ? 1 ,求证数列 {bn } 是等差数列; (ⅱ)若首项 b1 ? 0 ,末项 bn ? 0 ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值和最小值.

石景山区 2013—2014 学年第一学期期末考试
高三数学(理科)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 A 5 C 6 B 7 B 8 D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10
6

11

12

13

14

( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 , 2

4

4 ,3

4 3

90? , 2

(两空的题目第一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? 3 sin 2x ? cos 2x+1 ????2 分 ?????4 分

? 2sin (2x ? ) +1 , 6

?

2k? ?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2k ? ?

?
2

, k ?Z ,

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z ,??6 分

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [k? ?

?????7 分 , k? ? ] ( k ? Z ) . 3 6 ? ? ? ? 2? (Ⅱ)因为 ? ? x ? , ? ? 2x ? ? , ?????9 分 4 4 3 6 3 3 ? ? ? ? sin(2x ? ) ? 1 , ? 3 ? 1 ? 2sin ??11 分 (2x ? ) +1 ? 3 , 2 6 6 所以当 2x ?

?

?

?
6

=?

?
3

,即 x = ?

?
4

时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 3 ? 1 .????13 分

16.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)根据抽样,估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有 (Ⅱ)依题意,体质为良好和优秀的学生人数之比为 15:10 ? 3: 2 .

10 ? 300=100 人.????3 分 30 2 ? 5 ? 2 .?6 分 5

所以,从体质为良好的学生中抽取的人数为 ? 5 ? 3 ,从体质为优秀的学生中抽取的人数为

3 5 (ⅰ)设“在选出的 3 名学生中至少有 1 名体质为优秀”为事件 A ,

C3 9 9 3 ? 则 P ( A) ? 1 ? 3 . 故在选出的 3 名学生中至少有 1 名体质为优秀的概率为 .?9 分 C5 10 10
(ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 1, 2, 3.

P ( X ? 1) ?

2 2 C1 C3 ? C1 C3 3 6 1 3 3 ? C2 2 P ( X ? 3) ? ? .????12 分 ? P ( X ? 2) ? ? , , 3 3 3 C5 10 C5 10 C5 10

所以,随机变量 X 的分布列为:

X
P

1
3 10

2
6 10

3
1 10

EX ? 1?

3 6 1 9 ? 2 ? ? 3? ? . 10 10 10 5

?????13 分

17.(本小题共 14 分) (Ⅰ)证明: 因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? CD . 取 AD 的中点 G ,连结 GC ,
o

P
E
?????1 分

A B
1 AD , 2
?????3 分 ?????4 分

G C

D

因为底面 ABCD 为直角梯形, AD ∥ BC , ?ABC ? 90 ,且 AB ? BC ? 1 , 所以四边形 ABCG 为正方形,所以 CG ? AD ,且 CG = 所以 ?ACD=90 ,即 AC ? CD .
o

又 PA ? AC ? A , 所以 CD ? 平面 PAC .

(Ⅱ)解:如图,以 A 为坐标原点, AB , AD , AP 所在直线分别为 x , y, z 轴建立空间直角坐标系 A ? xyz .? 5分 则 A(0 , 0, 0) , C (1,, 1 0) , E (0 ,, 1 1) , P(0 , 0, 2) ,

0, 2) , AC ? (1,, 1 0) , AE ? (0 ,, 1 1) . 所以 AP ? (0 , 0, 2) 为平面 ACD 的一个法向量. ???6 分 因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 AP ? (0 , ??? ?

??? ?

????

??? ?

?? y, z) , 设平面 EAC 的法向量为 n1 ? ( x ,
由 n1 ? AC ? 0 , n1 ? AE ? 0 得 ? 令 x ? 1 ,则 y ? ?1 , z ? 1,

z

P E

?? ????

?? ??? ?

?x ? y ? 0 , ?y ? z ? 0,

A
?????8 分

D
C

y

? 1, 1) 是平面 EAC 的一个法向量. 所以 n1 ? (1 ,
AP ?? 所以 cos ? n1 , ?? ??? ? 1? 0 ? (?1) ? 0 ? 1? 2 1 ? (?1) ? 1 ? 2
2 2 2

??

x

B

?

3 3

因为二面角 E ? AC ? D 为锐角,

所以二面角 E ? AC ? D 的余弦值为

3 . 3

?????9 分

(Ⅲ)解:假设在线段 AB 上存在点 F (不与 A , B 两点重合),使得 AE ∥平面 PCF .

? 1, 0) , CP ? (?1, ? 1, 2) . 设 F (a , 0, 0) ,则 CF ? (a ? 1,

??? ?

??? ?

?? ? y, z) , 设平面 PCF 的法向量为 n2 ? ( x ,
由 n2 ? CF ? 0 , n2 ? CP ? 0 得 ? 令 x ? 1 ,则 y ? a ? 1 , z ?

z

P

?? ? ??? ?

?? ? ??? ?

?(a ? 1) x ? y ? 0 , ?? x ? y ? 2 z ? 0 ,

E

所以 n2 ? (1 , a ? 1, ) 是平面 PCF 的一个法向量.???12 分 因为 AE ∥平面 PCF ,所以 AE ? n2 ? 0 ,即 (a ? 1) ? 解得 a ?

?? ?

a , 2

A F

D
C

y

a 2

x

B

??? ? ?? ?

a ? 0, 2

?????13 分

2 , 3 2 . ??14 分 3

所以在线段 AB 上存在一点 F (不与 A , B 两点重合),使得 AE ∥平面 PCF ,且 AF = 18.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? e ? 2 x , f (0) ? 1 ,
x

x ,得 f ?(0) ? ?1 , ??2 分 f ?( x)? e ? 2

所以曲线 f ( x) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程为 y ? ? x ? 1 . (Ⅱ) f ?( x) ? e ? a .
x

?????3 分

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x) 的单调递增区间为 (?? , ? ?) ,无单调递减区间;???5 分 当 a ? 0 时, x ? (?? , ln a) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (ln a , ? ?) 时, f ?( x) ? 0 , 此时 f ( x) 的单调递增区间为 (ln a , ? ?) ,单调递减区间为 (?? , ln a) .???7 分 (Ⅲ)由题意知 f ?(0) ? 0 得 a ? 1 ,经检验此时 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值. ???8 分 因为 M ? P ? ? ,所以 f ( x) ? mx 在 [ , 2] 上有解,即 ?x ? [ , 2] 使 f ( x) ? mx 成立,???9 分

1 2

1 2

ex ? x 1 即 ?x ? [ , 成立, 2] 使 m ? x 2
所以 m ? (

????10 分

ex ? x ex ( x ? 1)e x ) min . 令 g ( x) ? ? 1 , g ?( x) ? , x x x2

所以 g ( x) 在 [ , 2] 上单调递增, 1] 上单调递减,在 [1, 则 g ( x)min ? g (1) ? e ? 1 , 所以 m ? (e ?1,+? ) . 19.(本小题共 14 分) 解:(Ⅰ)因为点 (2 , 0) 在椭圆 C 上,所以 ?????12 分 ?????13 分

1 2

4 0 ? ? 1, a 2 b2

所以 a ? 4 ,
2

????1 分

1 因为椭圆 C 的离心率为 , 2
解得 b ? 3 ,
2

a 2 ? b2 1 c 1 ? 所以 ? ,即 a2 4 a 2

,????2 分

?????4 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

?????5 分

y0 ) , y0 ? (? (Ⅱ)设 P(?1,

3 3 ,), 2 2

y1 ) , N ( x2 , y2 ) , ①当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? 1) , M ( x1 ,
由?

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 ,

? y ? y0 ? k ( x ? 1) ,

得 (3 ? 4k ) x ? (8ky0 ? 8k ) x ? (4 y0 ? 8ky0 ? 4k ? 12) ? 0 , ???7 分
2 2 2 2 2

所以 x1 +x2 ? ?

8ky0 ? 8k 2 , 3 ? 4k 2

?????8 分

因为 MP ? PN ,即 P 为 MN 中点,所以

????

??? ?

8ky0 ? 8k 2 x1 ? x2 = ? 2. = ? 1 ,即 ? 3 ? 4k 2 2
?????9 分

所以 kMN ?

3 ( y0 ? 0) , 4 y0
所以 kl ? ?

4 y0 4y ,所以直线 l 的方程为 y ? y0 ? ? 0 ( x ? 1) , 3 3 4y 1 1 即 y ? ? 0 ( x ? ) ,显然直线 l 恒过定点 (? , ???11 分 0) . 3 4 4
因为直线 l ? MN , ②当直线 MN 的斜率不存在时,直线 MN 的方程为 x ? ?1 , 此时直线 l 为 x 轴,也过点 (? 综上所述直线 l 恒过定点 (? 20.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)设数列 {an } 中项为 1, ? 1, 0 分别有 x , y, z 项.

1 , 0) . 4

?????13 分 ?????14 分

1 , 0) . 4

? x ? y ? z ? 50 , ? 由题意知 ? x ? y ? ?9 , ? z ? 4 y ? 107 , ?
解得 z ? 11 . 所以数列 {an } 中有 11 项取值为零. (Ⅱ) ?????3 分

1} 且 bi ? bi ?1 ? ai ?1 ,得到 bi ? a1 ? a2 ? ? ? ai ?1 (i ? 2 ,, 3 ?, n) , (ⅰ) ai ? {?1 , 2, ?, n ? 1) ,则满足 bn ? n ? 1 . 若 ai ? 1(i ? 1,
此时 bi ? bi ?1 ? 1 ,数列 {bn } 是等差数列;

a2 , ?, an?1 中有 p( p ? 0 , p ? N* ) 个 ?1 ,则 bn ? n ? 1 ? 2 p ? n ? 1 不满足题意; 若 a1 ,
所以数列 {bn } 是等差数列. (ⅱ)因为数列 {bn } 满足 bi ? bi ?1 ? ai ?1 , ?????7 分

3 ?, n) , 所以 bi ? a1 ? a2 ? ? ? ai ?1 (i ? 2 ,,
根据题意有末项 bn ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? 0 .

1} ,于是 n 为正奇数,且 a1 , a2 , ?, an?1 中有 而 ai ? {?1 ,

n ?1 n ?1 个1和 个 ?1 . 2 2

Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? a1 ? (a1 ? a2 ) ? ? ? (a1 ? a2 ? ? ? an?1 ) ? (n ? 1)a1 ? (n ? 2)a2 ? ? ? an?1

a2 , ?, an?1 前 要求 S n 的最大值,则只需 a1 ,
所以 ( Sn ) max ? (n ? 2) ? (n ? 4) ? ? ? 1 ?

n ?1 n ?1 项取1 ,后 项取 ?1 , 2 2

(n ? 1) 2 ( n 为正奇数). 4

a2 , ?, an?1 前 要求 S n 的最小值,则只需 a1 ,
则 ( Sn ) min ? ?(n ? 2) ? (n ? 4) ? ? ? 1 ? ?

n ?1 n ?1 项取 ?1 ,后 项取1 , 2 2

(n ? 1) 2 ( n 为正奇数). ????13 分 4

【注:若有其它解法,请酌情给分.】


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