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平几问题的三角证法5


重庆一中高 2011 级奥赛平几讲义

第五讲

平几的三角证法

平面几何的三角证法
三角法是利用正余弦定理、面积公式、三角函数公式解平面几何竞赛题。用三角法 解几何题可以使题中量之间的关系变得简单明了, 把几何变换和复杂的演绎推理转化成 三角函数的运算,方法简单,思路清晰。 三角形中常用结论:设 R, r

, ra 分别表示 ?ABC 的外接圆半径、内切圆半径、与 BC 边
r A B C r A B C ? 4sin sin sin , a ? 4sin cos cos ; R 2 2 2 R 2 2 2 A B C A B C ⑵ sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos cos cos , cos A ? cos B ? cos C ? 1 ? 4sin sin sin ; 2 2 2 2 2 2

相切的旁切圆的半径,则有如下结论:⑴

⑶ sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 2 ? 2cos A cos B cos C 。 应用举例 例 1. (2005 年中国数学奥林匹克试题) 一圆与 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 的交点依次为 D1 , D2 , E1 , E2 , F1 , F2 ,线
N F1

A E2 M E1 D1 L D2 C

段 D1E1 与 D2 F2 交于点 L , 线段 F1E1 与 D2 E2 交于点 M , 线 段 D1F1 与 E2 F2 交于点 N 。证明: AL, BM , CN 三线共点。
B

F2

例 2. (2004 年全国高中数学联赛)在锐角 ?ABC 中, AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 交于点 H , 以 DE 为直径
FG 与 AH 相交于点 K , 的圆分别交 AB, AC 于 F , G 两点,

C

已知 BC ? 25, BD ? 20, BE ? 7 ,求 AK 的长。
G

D H K A F E B

1

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平几的三角证法

例 3. (第 44 届 IMO 预选题)如图,已知直线上的三 个定点依次为 A, B, C , O 是经过 A, C 且圆心不在 AC 上的 圆。分别经过 A, C 两点且与 O 相切的直线交于点 P , PB 与 O 交于点 Q , 证明: ?AQC 的平分线不依赖 O 的选取。
A

P

Q E B O C

例 4. (第 44 届 IMO 预选题)如图, O1 , O2 , O3 , O4 分别为四个不同的圆,且

O1 与 O3 外切于点 P , O2 与 O4 也外切于点 P 。假
设 O1 与 O2 , O2 与 O3 , O3 与 O4 , O4 与 O1 分别交于异于 P 的点 A, B, C , D 。 证明:
AB ? BC PB ? 。 AD ? DC PD 2
2

D O1 A P O2 B O3 O4 C

2

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平几的三角证法

例 5. (2004 年女子数学奥林匹克)给定锐角 ?ABC 中, 点 O 为其外心,直线 AO 交边 BC 于点 D 。动点 E , F 分别位 于边 AB, AC 上,使得 A, E, D, F 四点共圆。求证:线段 EF 在边 BC 上的投影的长度为定值。
B E D

A

O

F

C

例 6.设 ABCD 是一个凸四边形,从点 D 向直线
BC , CA, AB 作 垂 线 , 垂 足 分 别 为 P, Q, R 。 证 明 :

B P

PQ ? QR 的充要条件是 ?ABC 的平分线、?ADC 的平

A

Q

C

分线和 AC 这三条直线相交于一点。
R D

A

例 7. (2005 年第 17 届亚太地区奥林匹克) 在 ?ABC 中,点 M , N 分别在边 AB, AC 上,且 MB ? BC ? CN ,记
?AB C 的外接圆半径和内切圆半径分别为 R, r , 试用 R, r
M

N D O I B C

表示

MN 。 BC
3

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例 8.如图,锐角 ?ABC 中的外接圆半径和内切圆半径分 别为 R, r , 角 A 是三个内角中最大的角,P 为 BC 的中点,M 是
O

A

r AP 在点 B, C 分别作 ?ABC 的外接圆切线的交点。 求证: ? 。 R AM

B

P

C

M

练习题 1.求证:圆的内接 n 边形中,以正 n 边形的面积最大。 2. 设 O 、H 分别是 ?ABC 的外心、 垂心,D 是 BC 的中点, 求证: AH ? 2OD 。 3.在 ?ABC 中, AD ⊥ BC 于 D , AD = BC , P 为 BC 的 中点, H 为垂心,求证: PC ? PH ? DH 。 4.设圆的外切梯形的两底边长分别为 m, n (常数) ,求圆 面积的最大值,并求此时两腰的长。 5 . ABCFED 是 圆 内 接 六 边 形 , AD, BE , CF 交 于 点 P ,
?APB ? ? , ?BPC ? ?
F

A

H B P D C

E









?P

?

C? ? ?s

i

P ?

?

n

F?

? ?

?

?

P s ? 。? A i ?A

n ?P ?
B

P

?

?
C

D

D

? s

6.设 ?ABC 的外接圆半径为 R , P 为 ?ABC 内部任一点,求
4

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平几的三角证法

证:

PA PB PC 1 ? ? ? 。 bc ca ab R

A

7. ?ABC 中, AB = AC , A = 200, D, E 分别在边 AC, AB 上,
?ABD ? 200 , ?ACE ? 300 求 ? BDE 。
D E

8.已知 ?ABC 的三边长、外接圆半径分别为 a, b, c, R, 且a ? b ? c ? 1 , 求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4abc ?
1 1? R2 。 2 9. (第 44 届 IMO)设 ABCD 是一个圆内接
C0

?

?

B

C

四边形,从点 D 向直线 BC , CA, AB 作垂线,垂 足分别为 P, Q, R 。证明: PQ ? QR 的充要条件 是 ?ABC 的平分线、 ?ADC 的平分线和 AC 这 三条直线相交于一点。 10. (第 30 届 IMO, 1989 年)I 是 ?ABC 的 内心, 直线 AI 与外接圆交于 A1 , 与 ? B 和 ?C 的 外角平分线交于 A0 ; B1 与 B0 及 C1 与 C0 类似。 求证: S?A1B1C1 ? S?ABC 。
C1

A
B0 B1

I B
A1

C

A0

11 . 在 ?ABC 中, ?BAC ? 1200 ,三角形的三条角平分线 AD, BE , CF 分别交边
BC , CA, AB 于点 D, E, F 。求证:以 EF 为直径的圆过 D 点。

12.记 ?ABC 的内切圆分别切 AB, BC , CA 于 P, Q, R ,求证: 13 .已知 ?ABC 的内切圆

BC CA AB ? ? ? 6。 PQ QR RP

I 与边 AB, AC 分别切于点 P, Q 。 BI , CI 分别交 PQ 于

K , L ,证明: ?IKL 的外接圆与 ?ABC 的内切圆相切的充要条件是 AB ? AC ? 3BC 。

14.在 ?ABC 中,?A ? 700 , I 是 ?ABC 的内心,若
CA ? AI ? BC ,求 ? B 。

C I A B

5

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平几的三角证法

解答或提示 1.法一:用“局部调整法” ; 法二:易证圆心必在 n 边形的内部,才可能使得面积最大。设圆的半径为 R , n 边 形各边所对的圆心角为 ? i ?i ? 1,2,?, n?, 0 ? ? i ? ? ,则 n 边形的面积 S ? 因正弦函数在 ?0, ? ? 上凸, 故 ? sin ? i ? n sin
i ?1 n

1 2 n R ? sin ? i 。 2 i ?1

1 n 2? , 当且仅当 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? i ? n sin ? n i ?1 n

时取等号,得证。 2.法一:取 AB, BH 的中点并连起来,即可得证; 法二:连接 BO 并延长到 E ,使 BO ? OE ,得证; 法三:取 AH , CH 的中点并连接起来,进一步得证; 法四:因 OD ? 步得证。 3.法一:由 ?BDH ∽ ?ADC 可得 BD ? CD ? DH ? DA ,故 PC 2 ? PD2 ? 2DH ? PC , 有 PC 2 ? 2DH ? PC ? DH 2 ? DH 2 ? PD2 ? PH 2 ,从而得证; 法二:取 AD 的中点 O ,连接 PO ,利用二倍角的正切公式以及三角形相似可以证得 ?PHD ? 2?POD ,进一步得证。 4. 法一: 设⊙ O?R ? 的外切梯形 ABCD 的两底 AB ? m, CD ? n ,M , N 是两底的切点,
AM ? a, BM ? b, CN ? c, DN ? d , M O 因 ?A O ? N D B M O ? , O N C? d ? R 2? b c ? , 故a
1 AH AH AB BC BC ? cot BAC ,又 ? ? ? ,进一 2 cos BAC sin ABH sin ACB sin BAC

a c ? 。又 ?ac ? bd ? ? ?ad ? bc? ? ?a ? b??c ? d ? ? 0 ? mn ? ?ac ? bd ? ? ?ad ? bc? ? 4R 2 ,当 b d 1 且仅当 a ? b, c ? d 时取等号,腰长为 ?m ? n ? ; 2

A B? ? A B? ? 法二: 易知 m n ? R? tan ? tan ? ? R? cot ? cot ? ? 4 R 2 , 当且仅当 A ? B 时取等号, 2 2? ? 2 2? ?

此时两腰的长均为

1 ?m ? n ? 。 2

5. PA? PB ? sin ? ? PB ? PC ? sin ? ? PA? PC ? sin ?? ? ? ? ? 2S?ABC ? AB ? AC ? sin BAC ?
PA ? DE PC ? DF BC PA ? PC PB PA ? PB ? PC ? ? ? ? ? 2S?DEF ? ? PE ? PF ? sin ? ? PD ? PE sin ? ? PE PD 2 R PD ? PE PF PD ? PE ? PF
PD ? PF sin ?? ? ? ? ? ? ? PA ? PB ? PD ? PE ? ? PC ? PF ? sin ? ? PB ? PC ? PE ? PF ? ? PA ? PD ? sin ? ?

PC ? PD ? PA ? PF ? ? PB ? PE ? sin ?? ? ? ? ,进一步得证。

6

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平几的三角证法

6.法一:作 PD ⊥ BC 于 D , PE ⊥ AC 于 E ,连接 DE ,则可得 DE 2 ? PD2 ? PE 2 ?
2 PD ? PE ? cos C ? ? PD sin A ? PE sin B ? ? ? PD cos A ? PE cos B ? ? ? PD sin A ? PE sin B ? ?
2 2 2

DE ? PD sin A ? PE sin B ? PC ? DE sin C ? ? aPD ? bPE ? c ,故 abc R ? 4S?ABC ?
2aPD ? 2bPE ? 2cPF ? aPA ? bPB ? cPC ,从而得证;

法二:因为 a ? PA ? PD? ? b ? PB ? PE ? ? c ? PC ? PF ? ? 6S?ABC ? ? abc R ? ? ? aPD ? bPE

?cPF ? ,所以 aPA ? bPB ? cPC ? abc R ,从而得证。
7. 法一: 在 AC 上取一点 F , 使得 ?CBF ? 200 , 连接 EF , 由 ?BCE ? ?BEC ? 500 ,
?BFC ? ?BCF ? 800 可知 BE ? BF ? BC ,又因为 ?EBF ? 600 ,故 ?EBF 是正三角形。

由 ?FDB ? ?FBD ? 400 得 BF = DF ,故 ?EFD ? 400 ,从而 ?BDE ? 300 ; 法 二 : 设 BC = 2 , 则 ?BCE ? ?BEC ? 500 , 故 BE = 2 。 又 AC ? csc100 , 因此
AE ? csc100 ? 2 。因

AC sin 300 ? sin 100 AE ? 2 cos 200 ? ? ,故 ?ACE ∽ ?BDE ,从而 BD BE sin 100

?BDE ? ?ACE ? 300 ;

法三:设 BC = 2,则 ?BCE ? ?BEC ? 500 ,故 BE = 2。又

BD 2 ? ? 0 sin 80 sin 400

BD ? 4cos 400 ,故 DE 2 ? 4 ? 16cos2 400 ?16cos 400 cos 200 ? 16sin 2 200 ? DE ? 4sin 200 ,

从而 ?BDE ? 300 。 8. 法一: 设 ?ABC 内径为 r, x ? cot ? A 2? , y ? cot ? B 2? , z ? cot ?C 2? ? x ? y ? z ? xyz , 且 a ? r ? y ? z ?, b ? r ?z ? x?, c ? r ?x ? y ? , 故 2r xyz? 1, 2 a? 2 b? 2 c ? 4 ab? c 1 2 ? 2 2, r 又由
Eu l er 不等式 2 r ? R 即可得证;

法二:由题可知 c 2 ? ?1 ? c ? ? 2ab ?1 ? cos C ? ? 2ab ?
2

1 ? 2c abc ? ,故 a 2 ? b2 ? c 2 ? 4 1 ? cos C

?

2 ?1 ? cos C ? ? 1 1 1? 1 2 2 2 2 ? c ? ? ? 。又 a ? b ? c ? c ? 2 ,故 a ? b ? c ? 4abc ? 2 ?1 ? R ? ? 1 ? cos C ? 2? 2
2

C C C a b c C ?1 ? R ? 2 ? ? c ? tan ? ? a ? b ? c ? tan ? cot ? ? ? ? 2 ? sin A ? sin B ? sin C ? ? 8cos ? 2 2 2 R R R 2 ?2 ?
B A A B C 1 sin ? sin sin sin ? ,此不等式显然成立,当且仅当 A ? B ? C 时取等号, 2 2 2 2 2 8 得证。 sin
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平几的三角证法

9. 易知 AD ? 10.

RQ PQ A D R Q s i nA C B , CD ? , 故 ? ? sin BAC sin ACB C D P Q s i n B A C

R Q A B ? ? P Q B C

, 从而得证。

8


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