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2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题word版含参考答案


2011 年全国高中数学联赛四川初赛试题(详细解答)
一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

1、双曲线

x2 y2 ? = 1 的左、右准线 l1、l2 将线段 F1F2 三等分(其中 F1 、 F2 分别为双曲线的左、右焦点) ,则 a 2 b2
) .

该双曲线的

离心率 e 等于( A、

6 2

B、 3

C、

3 3 2

D、 2 3

解:由题意得 2c = 3 ×

2a 2 ,解得 e = 3 . 故答案选 B. c

2、已知三次函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , ( a, b, c, d ∈ R ), 命题 p : y = f ( x ) 是 R 上的单调函数; 命题 q : y = f ( x ) 的图像与 x 轴恰有一个交点. 则 p 是 q 的( ) B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件

A、充分但不必要条件 C、充要条件 解:选 A.

3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势, 且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为 ξ ,则随机变量 ξ 的数学期望 Eξ 的值为( A、 )

4 2 C、 D、1 9 3 3× 4 4 3× 4 4 3 ×1 1 解: P (ξ = 0) = = , P (ξ = 1) = = , P (ξ = 2) = = , 27 9 27 9 27 9 4 4 1 2 于是 Eξ = × 0 + × 1 + × 2 = . 故答案选 C . 9 9 9 3
B、

1 3

4、函数 f ( x ) = A、 3

x ? 5 + 24 ? 3 x 的最大值为(
B、3 C、 2 3

) D、 3 3

解:法一: f ( x ) 的定义域为 5 ≤ x ≤ 8 , 由 f ′( x ) =

1 2 x ?5

+

?3 2 24 ? 3 x

=

24 ? 3 x ? 3 x ? 5 2 x ? 5 ? 24 ? 3 x

= 0 ,解得 x =

23 . 4

因为 f (5) = 3 , f ( 故答案选 C.

23 23 ) = 2 3 , f (8) = 3 ,于是 f ( x) max = f ( ) = 2 3 . 4 4

法二: f ( x ) 的定义域为 5 ≤ x ≤ 8 ,

f 2 ( x ) = (1 ? x ? 5 + 3 ? 8 ? x ) 2 ≤ (1 + 3)( x ? 5 + 8 ? x ) = 12
当且仅当

23 x?5 8? x ,即 x = 时, f ( x ) 取到最大值 2 3 .故答案选 C. = 4 1 3

5、如图,边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面成 60°角,M、N 分别是线段 AC 和 BF 上的点,且

AM = FN ,
则线段 MN 的长的取值范围是 A、 [ , 2]

F N A M D

E

1 2

B、 [1, 2]

C、 [ 2, 2]

D、 [ 3, 2]

B C

解:过点 M 作 MH//BC 交 AB 于 H,则 又 AM=FN,AC=FB,∴

AM AH = , AC AB

F N A M D H

E

FN AH = ,∴NH//AF, FB AB

B C

∴NH⊥AB,MH⊥AB,∴∠MHN=60°. 设 AH=x(0≤x≤2),则 MH=x, NH = 2 ? x , ∴ MN =

x 2 + (2 ? x) 2 ? 2 x(2 ? x) cos 60° = 3x 2 ? 6 x + 4 = 3( x ? 1) 2 + 1

∴ 1 ≤ MN ≤ 2 .选答案选 B. 6、设数列 {a n } 为等差数列,数列 {bn } 满足: b1 = a1 , b2 = a 2 + a3 ,

b3 = a 4 + a 5 + a 6 ,……,若 lim
n →∞

bn = 2 ,则数列 {a n } 的公差 d 为( n3
D、4



A、

1 2

B、1

C、2

解: bn = a n ( n ?1)
2

+1

+ a n ( n ?1)
2

+2

+ L + a n ( n ?1)
2

+n

n = [a n ( n ?1) + a n ( n ?1) ] +1 +n 2 2 2

n n(n ? 1) n(n ? 1) n = [a1 + d + a1 + ( + n ? 1)d ] = (2a1 ? d + n 2 d ) 2 2 2 2
于是 lim
n →∞

bn 1 2a ? d d = lim ( 1 2 + d ) = = 2 ,解得 d = 4 .故答案选 D. 3 n →∞ 2 2 n n

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

7、已知实数 x 满足 | 2 x + 1 | + | 2 x ? 5 |= 6 ,则 x 的取值范围是 解:因为 | 2 x + 1 | + | 2 x ? 5 |≥| ( 2 x + 1) + (5 ? 2 x ) |= 6 ,



等号成立当且仅当 ( 2 x + 1)( 2 x ? 5) ≤ 0 ,即 ?

1 5 1 5 ≤ x ≤ .故答案填 [? , ] . 2 2 2 2

8、设平面内的两个非零向量 a 与 b 相互垂直,且 | b |= 1 , 则使得向量 a + mb 与 a + (1 ? m)b 互相垂直的所有实数 m 之和为
2 2


2

解:由于 0 = ( a + mb) ? [ a + (1 ? m)b] = a + a ? b + m(1 ? m)b =| a | + m(1 ? m) , 即 m ? m? | a | =0,
2 2

所以由根与系数的关系知符合条件所有实数 m 之和为 1.故答案填 1. 9、记实数等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S10 = 10, S30 = 70 ,则 S 40 = 解:记 b1 = S10 , b2 = S 20 ? S10 , b3 = S30 ? S 20 , b4 = S 40 ? S30 设 q 为 {an } 的公比,则 b1 , b2 , b3 , b4 构成以 r = q 10 为公比的等比数列, 于是 70 = S30 = b1 + b2 + b3 = b1 (1 + r + r ) = 10(1 + r + r )
2 2



即 r 2 + r ? 6 = 0 ,解得 r = 2 或 r = ?3 (舍去) , 故 S 40 = 10(1 + r + r + r ) = 150 .故答案填 150.
2 3

10、设 x 为实数,定义 ?x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?π ? = 4 , ?? π ? = ?3 . 关于实数 x 的方程 ?3 x + 1? = 2 x ?

1 的全部实根之和等于 . 2 1 2k + 1 2k + 3 解:设 2 x ? = k ∈ Z ,则 x = , 3x + 1 = k + 1 + , 2 4 4

于是原方程等价于 ? 从而 ?

2k + 3 ? 2k + 3 ? ? = ?1 ,即 ? 2 < 4 ≤ ?1 , ? 4 ?

11 7 < k ≤ ? ,即 k = ?5或 ? 4 . 2 2 9 7 相应的 x 为 ? ,? .于是所有实根之和为 ? 4 .故答案填 ? 4 . 4 4

11、已知 (1 + 3 ) = a n + bn 3 ,其中 a n , bn 为整数,则 lim
n

an = n → +∞ b n



解:由条件 (1 + 3 ) = a n + bn 3 知 (1 ? 3 ) = a n ? bn 3 ,
n n

于是 a n =

1 1 [(1 + 3 ) n + (1 ? 3 ) n ], bn = [(1 + 3 ) n ? (1 ? 3 ) n ] , 2 2 3

1? 1+ ( a (1 + 3 ) + (1 ? 3 ) 1+ 故 lim n = lim 3 × = lim 3 × n n n → +∞ b n → +∞ n → +∞ (1 + 3 ) ? (1 ? 3 ) 1? n 1? ( 1+
n n

3 3 3 3

)n = 3. )
n

故答案填 3 . 12、已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,且 SA=SB=SC=AB=2,设 S、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 .

解:如图,因为 SA=SB=SC,所以 S 在平面 ABC 上的射影是△ABC 的外心,即 AB 的中点 H,同理 O 点在平面 ABC 上的射影也是△ABC 的外心 H,即在等边△SAB 中,求 OH 的长,其中 OA=OB=OS. 显然, OH =

S

1 1 3 3 3 SH = × 2 × = .故答案填 . 3 3 2 3 3
C

O A H B

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、已知 m > 0 ,若函数 f ( x ) = x + 100 ? mx 的最大值为 g (m) ,求 g (m) 的最小值. 解:令 t = 100 ? mx ,则 x =

100 ? t 2 , m

(5 分)

∴y=

100 ? t 2 1 m 100 m + t = ? (t ? ) 2 + + , m m 2 m 4

∴当 t =

m 100 m 100 m 时, y 有最大值 + ,即 g (m) = + . 2 m 4 m 4

(10 分)

∴ g ( m) =

100 m 100 m + ≥2 × = 10 , m 4 m 4

(15 分)

等号当且仅当 m = 20 时成立, ∴当 m = 20 时, g (m) 有最小值 10.
4 4 4 14、已知函数 f ( x ) = 2(sin x + cos x ) + m(sin x + cos x ) 在 x ∈ [0,

(20 分)

π
2

] 有最大值 5,

求实数 m 的值. 解: f ( x ) = 2(sin 2 x + cos 2 x ) 2 ? 4 sin 2 x cos 2 x + m(sin x + cos x ) 4

= 2 ? (2 sin x cos x) 2 + m(sin x + cos x) 4
令 t = sin x + cos x =
2

(5 分)

2 sin( x +

π
4

) ∈ [1, 2 ] ,

2 2 4 4 2 则 2 sin x cos x = t ? 1 ,从而 f ( x ) = 2 ? (t ? 1) + mt = ( m ? 1)t + 2t + 1 (10 分)

令 u = t 2 ∈ [1, 2] ,由题意知 g (u ) = ( m ? 1)u 2 + 2u + 1 在 u ∈ [1, 2] 有最大值 5.

当 m ? 1 = 0 时, g (u ) = 2u + 1 在 u = 2 时有最大值 5,故 m = 1 符合条件; 当 m ? 1 > 0 时, g (u ) max ≥ g ( 2) > 2 × 2 + 1 = 5 ,矛盾! 当 m ? 1 < 0 时, g (u ) < 2u + 1 ≤ 5 ,矛盾! 综上所述,所求的实数 m = 1 . 15、抛物线 y = x 与过点 P ( ?1, ?1) 的直线 l 交于 P 、 P2 两点. 1
2

(15 分)

(20 分)

(I)求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (II) 求在线段 P P2 上满足条件 1

1 1 2 + = 的点 Q 的轨迹方程. PP PP2 PQ 1

解: (I)直线 l 的方程为 y + 1 = k ( x + 1) ,与抛物线方程 y = x 2 联立

? y = x2 得? ,消去 y 得 x 2 = k ( x + 1) ? 1 ,即 x 2 ? kx ? ( k ? 1) = 0 , ? y + 1 = k ( x + 1)
由 ? = ( ?k ) 2 + 4( k ? 1) > 0 ,解得 k > ?2 + 2 2 或 k < ?2 ? 2 2 . (II)设 Q 点坐标为 ( x, y ) , P 点坐标为 ( x1 , y1 ) , P2 点坐标为 ( x2 , y2 ) , 1 则 x1 + x2 = k , x1 ? x2 = ?( k ? 1) , 又 P 、 P2 、 Q 都在直线 l 上,所以有 y + 1 = k ( x + 1) , y1 + 1 = k ( x1 + 1) , y2 + 1 = k ( x2 + 1) , 1 由 (5 分)

1 1 2 + = 得 PP PP2 PQ 1
1 + 1 ( x2 + 1) + ( y2 + 1)
2 2

( x1 + 1) + ( y1 + 1)
2

2

=

2 ( x + 1) + ( y + 1) 2
2

化简得

1 1 2 + = | x1 + 1| | x2 + 1| | x + 1|

(10 分)

又 ( x1 + 1)( x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 = ?( k ? 1) + k + 1 = 2 > 0 ,点 Q 在线段 P P2 上, 1 所以 x1 + 1, x2 + 1, x + 1 同号.则

1 1 2 + = x1 + 1 x2 + 1 x + 1
①,

因此 x = 2

x1 x2 + x1 + x2 + 1 2?k ?1 = x1 + x2 + 2 k +2

y = k ( x + 1) ? 1 = k ? (

2?k 3k ? 2 + 1) ? 1 = k +2 k +2

②,

2 ? 2x ?2 3 2 ? 2x x +1 由①得 k = 代入②得 y = = 1 ? 2 x ,即 2 x ? y + 1 = 0 , (15 分) 2 ? 2x x +1 +2 x +1 4 又因为 k > ?2 + 2 2 或 k < ?2 ? 2 2 ,所以 x = ? 1 的取值范围是 k +2

? 2 ? 1 < x < 2 ? 1 且 x ≠ ?1 ,
因此点 Q 的轨迹方程是 2 x ? y + 1 = 0 ( ? 2 ? 1 < x <

2 ? 1 且 x ≠ ?1 ) (20 分) .
9 4 an ? × 3n + m , 8 3

16、已知 m 为实数,数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,满足: S n = 且 an ≥

64 对任何的正整数 n 恒成立. 3
n

3k 3 求证:当 m 取到最大值时,对任何正整数 n 都有 ∑ < . 16 k =1 S k 9 a1 ? 4 + m 得 a1 = 8(4 ? m) , 8 9 4 n 9 4 n +1 当 n ≥ 1 时, S n = a n ? × 3 + m , S n +1 = a n +1 ? × 3 + m , 8 3 8 3 9 9 8 n 64 n ∴ a n +1 = a n +1 ? a n ? × 3 ,即 a n +1 = 9a n + ×3 , (5 分) 8 8 3 3 32 n+1 32 ∴ a n +1 + × 3 = 9( a n + × 3 n ) 9 9 32 n 32 8 32 ∴ an + × 3 = (a1 + ) × 9 n ?1 ,即 a n = (16 ? 3m) × 9 n ? × 3 n 9 3 27 9 8 32 64 由条件知, (16 ? 3m) × 9 n ? × 3 n ≥ 对任何正整数 n 恒成立, 27 9 3 8 64 1 32 1 即 (16 ? 3m) ≥ × + × n 对任何正整数 n 恒成立, 27 3 9n 9 3 64 1 32 1 64 1 32 1 96 由于 × n + × n 在 n = 1 时取最大值 × + × = , 3 9 9 3 3 9 9 3 27 8 96 4 于是 (16 ? 3m) ≥ ,解得 m ≤ . 27 27 3 4 由上式知道 m 的最大值为 . (15 分) 3 4 32 n 32 n 当 m = 时, a n = ×9 ? ×3 , 3 9 9 9 32 n 32 n 4 4 于是 S n = ( × 9 ? × 3 ) ? × 3n + 8 9 9 3 3 4 4 n +1 = [3 × (3 n ) 2 ? 4 × 3 n + 1] = (3 ? 1)(3 n ? 1) , 3 3
证明:当 n = 1 时,由 a1 = 所以

(10 分)

∑S
k =1

n

3k
k

=

3 n 3k 3 n 1 1 ∑ (3k +1 ? 1)(3k ? 1) = 8 ∑ ( 3k ? 1 ? 3k +1 ? 1) 4 k =1 k =1
(20 分)

3 1 1 3 1 3 = ( ? n +1 ) < × = . 8 3 ? 1 3 ? 1 8 2 16


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