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2014届高三数学一轮复习专讲专练:3.2 导数的应用(一)


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双基限时练?
巩固双基,提升能力 一、选择题 1.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极 值点,则下列图像不可能为 y=f(x)的图像是( ... )

A.

B.

/>
C.

D.

解析:设 F(x)=f(x)· ,则 F′(x)=e [f′(x)+f(x)]. e 因为 x=-1 是 F(x)的一个极值点,所以 F′(-1)=0,得出 f′(-1)+f(- 1)=0, 在选项 D 中, 由图像观察得到 f(-1)>0, f′(-1)>0, 所以 f(-1)+f′(- 1)>0 与 f′(-1)+f(-1)=0 矛盾,故选 D. 答案:D 2.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于( A.2 ) B.3 C.6 D.9

x

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解析:∵f′(x)=12x2-2ax-2b, ∵Δ=4a2+96b>0,又 x=1 是极值点, ∴f′(1)=12-2a-2b=0,即 a+b=6. ?a+b?2 ∴ab≤ 4 =9,当且仅当 a=b 时“=”成立,所以 ab 的最大值为 9, 故选 D. 答案:D 3.(2013· 济宁模拟)若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是( A.(0,1) C.(0,+∞) ) B.(-∞,1) 1? ? D.?0,2?
? ?

解析:由 f′(x)=3x2-6b=0,得 x=± 2b(b>0), 1 ∴0< 2b<1,∴0<b<2. 答案:D 4.已知对任意实数 x,都有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f′(x) >0,g′(x)>0,则 x<0 时( )

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A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0

B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0

解析:由题意知,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,x>0 时,f′(x)>0,g′(x) >0,即 x>0 时,f(x)是增函数,g(x)是增函数,所以 x<0 时,f(x)是增函数,g(x) 是减函数,即 x<0 时,f′(x)>0,g′(x)<0. 答案:B 5. (2013· 德州联考)已知 y=f(x)是定义在 R 上的函数, f(1)=1, 且 f′(x)>1, 则 f(x)>x 的解集是( A.(0,1) C.(1,+∞) ) B.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析:令 F(x)=f(x)-x,则 F′(x)=f′(x)-1>0,所以 F(x)是增函数,故 易得 F(x)>F(1)的解集,即 f(x)>x 的解集是(1,+∞). 答案:C 6.(2013· 烟台质检)已知函数 f(x)=4x+3sinx,x∈(-1,1),如果 f(1-a)+f(1 -a2)<0 成立,则实数 a 的取值范围为( A.(0,1) C.(-2,- 2) )

B.(1, 2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

解析:∵f(x)=4x+3sinx,x∈(-1,1), ∴f′(x)=4+3cosx>0 在 x∈(-1,1)上恒成立. ∴f(x)在(-1,1)上是增函数. 又 f(x)=4x+3sinx,x∈(-1,1)是奇函数, ∴不等式 f(1-a)+f(1-a2)<0 可化为 f(1-a)<f(a2-1).

?-1<1-a<1, ? 2 从而可知,a 需满足?-1<a -1<1, ?1-a<a2-1, ?

解得 1<a< 2.

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答案:B 二、填空题 7.若函数 y=a(x3-x)在区间?-
? ?

3 3? , 3 ?上为减函数,则 a 的取值范围是 3 ?

__________. 解析:y′=a(3x2-1),∵函数在?-
? ?

3 3? , 3 ?上为减函数, 3 ?

∴y′≤0 在?-
?

?

3 3? , 3 ?上恒成立.∵3x2-1<0,∴a≥0. 3 ?

当 a=0 时,函数为常数函数,不合题意,∴a>0. 答案:a>0 8.已知函数 f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围是__________. 解析:f′(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a),由 f′(x)<0,得-a<x<a.∴f(x) 在区间(-∞,-a)内递增,在区间[-a,a]内递减,在区间[a,+∞)内递增, 极大值为 f(-a)=2a3+a=a(2a2+1)>0,① 极小值为 f(a)=a(1-2a2)<0,② 由①②得 a∈? 答案:?
? 2 ? ,+∞?. ?2 ?

? 2 ? ,+∞? ?2 ?

9. (2013· 绵阳模拟)下图是函数 y=f(x)的导函数的图像, 给出下面四个判断.

①f(x)在区间[-2,-1]上是增函数;

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②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在区间[-1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数; ④x=3 是 f(x)的极小值点. 其中,所有正确判断的序号是__________. 解析:由函数 y=f(x)的导函数的图像可知: (1)f(x)在区间[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上为增函数,在[2,4]上为减 函数; (2)f(x)在 x=-1 处取得极小值,在 x=2 处取得极大值. 故②③正确. 答案:②③ 三、解答题 10.设 a>0,讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x 的单调性. 解析:由题意知 x>0. 当 a=1 时,f(x)=lnx,其在(0,+∞)上为增函数. 1 当 a≠1 时,f′(x)=x +2a(1-a)x-2(1-a) 2a?1-a?x2-2?1-a?x+1 = , x 令 f′(x)=0 得 2a(1-a)x2-2(1-a)x+1=0. 1 由 Δ=4(1-a)2-8a(1-a)=0 得 a=3. 1 (1)当 0<a<3时,2a(1-a)x2-2(1-a)x+1=0 的判别式 Δ>0,两根分别为 1-a- ?1-a??1-3a? x1 = , 2a?1-a? 1-a+ ?1-a??1-3a? x2 = . 2a?1-a?

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又[ ?1-a??1-3a?] -(1-a) =2a(a-1)<0,
2 2

所以 x1>0 且 x2>x1. 所以当 0<x<x1 或 x>x2 时,f′(x)>0; 当 x1<x<x2 时,f′(x)<0.
? 1-a- ?1-a??1-3a?? ? f(x)在?0, ? ?, 2a?1-a? ? ? ?1-a+ ?1-a??1-3a? ? ? ? ,+∞?上为增函数, ? 2a?1-a? ? ?

在? ?
?

?1-a- ?1-a??1-3a?

2a?1-a?

1-a+ ?1-a??1-3a?? ? , ?上为减函数. 2a?1-a? ?

1 (2)当 a=3时,f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上为增函数. 1 (3)当3<a<1 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为增函数. (4)当 a>1 时,x1>0, 1-a+ ?1-a??1-3a? x2 = 2a?1-a? = a-1- ?1-a??1-3a? <0, 2?a-1?a

故当 0<x<x1 时,f′(x)>0;当 x>x1 时,f′(x)<0.
? 1-a- ?1-a??1-3a?? ? f(x)在?0, ? ?上为增函数, 2a?1-a? ? ?

在? ?
?

?1-a- ?1-a??1-3a?

2a?1-a?

,+∞?上为减函数.

? ? ?

综上可知:
? 1-a- ?1-a??1-3a?? 1 ? (1)当 0<a<3时,f(x)在?0, ? ?, 2a?1-a? ? ?

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?1-a+ ?1-a??1-3a? ? ? ? ,+∞?上为增函数,在 ? 2a?1-a? ? ? ?1-a- ?1-a??1-3a? 1-a+ ?1-a??1-3a?? ? ? , ? ?上为减函数; 2a?1-a? 2a?1-a? ? ?

1 (2)当3≤a≤1 时,f(x)在(0,+∞)上为增函数;
? 1-a- ?1-a??1-3a?? ? (3) 当 a > 1 时 , f(x) 在 ?0, ? ?上为增函数,在 2a?1-a? ? ? ?1-a- ?1-a??1-3a? ? ? ? ,+∞?上为减函数. ? 2a?1-a? ? ?

ex 11.设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a=3时,求 f(x)的极值点; (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 解析:对 f(x)求导得 f′(x)=e
x1+ax

-2ax .① ?1+ax2?2

2

4 (1)当 a=3时,令 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 1 解得 x1=2,x2=2.综合①,可知 x f′(x) f(x) 1? ? ?-∞, ? 2? ? + ? 1 2 0 极大 值
?1 3? ? , ? ?2 2?

3 2 0 极小 值

?3 ? ? ,+∞? ?2 ?

- ↘

+ ?

3 1 所以,x1=2是极小值点,x2=2是极大值点. (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,

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知 ax -2ax+1≥0 在 R 上恒成立,因此 Δ=4a -4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1. 12.(2013· 安徽名校联考)函数 f(x)=ax2+2x+1,g(x)=lnx. (1)设 F(x)=f(x)-g(x),求 F(x)有两个极值点的充要条件; (2)求证:当 a≥0 时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立. 解析:(1)函数 f(x)=ax2+2x+1,g(x)=lnx. ∴F(x)=f(x)-g(x)=ax2+2x+1-lnx,其定义域为(0,+∞).
2 1 2ax +2x-1 ∴F′(x)=2ax+2-x = . x

∴F(x)有两个极值点?方程 2ax2+2x-1=0 有两个不等正根.

?Δ=4+8a>0, ?x +x =-1>0, a 即? 1 ?x · =-2a>0 ? x
1 2 1 2

1 ?-2<a<0.

1 ∴F(x)有两个极值点的充要条件是-2<a<0. (2)不等式 f(x)≥g(x)恒成立?F(x)=ax2+2x+1-lnx≥0 在(0,+∞)上恒成 lnx-?2x+1? 立,即 a≥ 在(0,+∞)上恒成立,令 h(x)=lnx-(2x+1). x2 1-2x 1? ? 1 h′(x)=x -2= x ,当 x∈?0,2?时,h′(x)>0. ? ?
?1 ? 当 x∈?2,+∞?时,h′(x)<0. ? ?

1 1 ∴x=2时,h(x)max=ln2-2<0. lnx-?2x+1? 故 x∈(0,+∞),都有 <0. x2

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所以当 a≥0 时,a≥

lnx-?2x+1? 在(0,+∞)上恒成立. x2

即不等式 f(x)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立.


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