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【高优指导】2016届高考数学二轮复习 10 等差数列、等比数列课件 文


第四部分 数列

专题10 等差数列、等比数列

-3能力目标解读 热点考题诠释

高考中对等差(等比)数列的考查在主、客观题型上均有所体现.一般以 等比、等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式为基础考点,有时结合数 列的递推公式进行命题,最终化归为等差或等比数列来研究.高考中对本部 分考查的热点主要有三个方面:

(1)对于等差、等比数列基本量的考查,一般利用数列的通项公式、前 n 项和公式建立方程组求解; (2)对于等差、等比数列性质的考查,主要强调“新、巧、活”的特点; (3)对于等差、等比数列的判断与证明,主要出现在解答题中,主要考查 等差、等比数列的定义应用,有时需要对已知条件进行适当变换,同时证明 出来的结论对后续问题往往具有铺垫的作用.

-4能力目标解读 热点考题诠释

1 2 3 4

1.(2014 重庆高考,文 2)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( A.5 B.8 C.10 D.14 命题定位:本题考查了等差数列的性质,试题难度较小.

)

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B

由等差数列的性质,可知 a1+a7=a3+a5. 因为 a1=2,a3+a5=10,所以 a7=8.故选 B.
解析

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答案

-5能力目标解读 热点考题诠释

1 2 3 4
1 ,a =2,则 1- 11

2.(2014 课标全国Ⅱ高考,文 16)数列{an}满足 an+1= a1= .

命题定位:本题主要考查数列的递推公式,并通过对递推公式的研究得 出数列中蕴含的规律性.本题突出考查运算求解能力和创新意识.
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由 a11=2 及 an+1= 同理

所以数列{an}是周期为 3 的数列. 所以 a1=a10= .
1 2

1 1 ,得 a10= . 1- 2 1 a9=-1,a8=2,a7= ,… 2 1 2

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解析

答案

-6能力目标解读 热点考题诠释

1 2 3 4

3.(2014 福建高考,文 17)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求 an; (2)设 bn=log3an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 命题定位:本题主要考查等比数列的通项公式、等差数列的求和公式 , 通过本题使大家加强对基本量法的深刻认识.

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解:(1)设{an}的公比为 q,依题意, 1 q = 3, 1 = 1, 得 解得 因此,an=3n-1. 4 = 3. 1 = 81, (2)因为 bn=log3an=n-1,所以数列{bn}的前 n 项和

( + ) Sn= 1 2

=

2 -n . 2

答案

-7能力目标解读 热点考题诠释

1 2 3 4

4.(2014 大纲全国高考,文 17)数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式.
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命题定位:本题主要考查递推公式和等差数列的定义,也考查了累加法 (1)证明:由 an+2=2an+1-an+2 得 在求通项公式中的应用 本题对推导论证能力要求较高 ,同时整个解答过程 an+2-an+1=an+1-an+, 2, 即 bn+1=bn+2. 突出了运算求解能力 又 b1=a2-a1=1, . 所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (2)解:由(1)得 bn=1+2(n-1),即 an+1-an=2n-1.

于是 ∑ (ak+1-ak)= ∑ (2k-1), 所以 an+1-a1=n ,即 an+1=n2+a1. 又 a1=1,所以{an}的通项公式为 an=n2-2n+2.
答案
=1
2





=1

-8能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

等差、等比数列的基本运算
思考:对于等差(等比)数列中的五个基本量 a1,an,Sn,n,d(q),你知道其内 在联系吗?

提示:(1)要明确“知三求二”问题,即已知五个基本量的其中三个就 可以求出其他两个; (2)要善于利用方程(组)的思想解决问题,即灵活地选取基本量,将 题目中的已知或未知都向基本量靠拢; (3)解决等差数列{an}前 n 项和问题常有三个公式 Sn= (a1+an),Sn=na1+ (n-1)d,Sn=An2+Bn,要注意灵活选用; (4)对于等比数列,不要忽视对 q 是否为 1 的讨论.
2 2

-9能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

【例 1】 数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比 数列,则 q= . 分析推理对于等差或等比数列中的基本运算,一般将已知 条件朝着 a1 和 d 或 a1 和 q 靠拢.体现出最基本量法的基础作用.

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1

设数列{an}的公差为 d,则 a1=a3-2d,a5=a3+2d, 由题意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2, 即(a3-2d+1)· (a3+2d+5)=(a3+3)2,整理,得(d+1)2=0, ∴d=-1,则 a1+1=a3+3,故 q=1.
解析

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答案

-10能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

点评:本题一定要分析清楚数列的主体是什么,还要注意公比的求出要 借助于核心条件先得出公差的关系才行,这也体现了选取合理切入点的重 要性.

-11能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

1.设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3a2+2, S4=3a4+2,则 q= .

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将 S2=3a2+2,S4=3a4+2 两个式子全部转化成用 a1,q 表示的式子. 1 + 1 q = 31 q + 2, 即 1 + 1 q + 1 2 + 1 3 = 31 3 + 2, 两式作差得:a1q2+a1q3=3a1q(q2-1),即 2q2-q-3=0, 解之得 q= 或 q=-1(舍去). 3
2

3 2

关闭

解析

答案

-12能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

等差、等比数列的基本性质
思考:等差、等比数列有哪些主要性质?
提示: 类型 项的 性质 等差数列 2ak=am+al(m,k,l∈N*且 m,k,l 成等差数列) am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*, 且 m+n=p+q) 当 n 为奇数时:Sn=n +1 和的 性质
2

等比数列 2 =am· al(m,k,l∈N*且 m,k,l 成等差 数列) a m· an=ap· aq(m,n,p,q∈N*且 m+n=p+q) 当 n 为偶数时:
偶 奇

=q(公比)

依次每 k 项的和:Sk,S2kSk,S3k-S2k,…构成等差数列

依次每 k 项的和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,… 构成等比数列(k 不为偶数且公比 q≠-1)

-13能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

【例 2】 (2014 山东淄博一模)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=( A.10 ) B.18 C.20 D.28 分析推理当给出等差数列中已知两项的和求另外几项和 的时候,优先观察条件和所求式子中项的角标的规律 ,一般转化为利用等差 数列的性质来解决 .

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C

因为 a3+a8=10,所以由等差数列的性质,得 a5+a6=10, 所以 3a5+a7=2a5+a5+a7=2a5+2a6=2(a5+a6)=20.
解析

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答案

-14能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

【例 3】 等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= . 分析推理当给出等比数列中已知两项的积 ,求另外几项积 的时候,要优先观察条件和所求式子中角标的规律 ,一般利用等比数列的性 质来解决.
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5

2 由等比数列性质知 a1a5=a2a4=3 =4. ∵an>0,∴a3=2. ∴a1a2a3a4a5=(a1a5)· (a2a4)· a3=25. ∴log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5 =log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.

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答案

-15能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

2.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 C.143 B.88 D.176

)

关闭

在等差数列中,∵a1+a11=a4+a8=16, ∴S11=
B
11× (1+11 ) =88,故选 2

B.
解析

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答案

-16能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

3.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x),如果对于任意给定的等比数列 {an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-∞,0) ∪(0,+∞)上的如下函数: ①f(x)=x2;②f(x)=2x; ③f(x)= ||;④f(x)=ln |x|. 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为(
2 A. ①② 等比数列性质 ,B. an③④ an+2= +1 ,
2 2 2 2 2 ① f(an)f(an+2)= = ( ) C. ①③ D. ②④ +2 +1 =f (an+1);

)

关闭

②f(an)f(an+2)=2 2 +2 = 2 + +2 ≠ 22 +1 =f2(an+1); ③f(an)f(an+2)= | +2 | = | +1 |2 =f2(an+1);
解析
关闭

C

④f(an)f(an+2)=ln |an|ln |an+2|≠(ln|an+1|)2=f2(an+1).选 C.
答案

-17能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

等差、等比数列的判定与证明
思考 1:如何判断或证明数列为等差数列?

提示:(1)定义法:an+1-an=d(d 为常数)?{an}为等差数列; (2)等差中项法:2an=an-1+an+1(n≥2,且 n∈N+)?{an}为等差数列; (3)通项公式法:若 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d 或 an=kn+b(n∈N+),则 {an}为等差数列.

-18能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

思考 2:如何判断或证明数列为等比数列?

提示:(1)定义法:

+1 =q(q

为非零常数)?{an}为等比数列;

2 (2)等比中项法: =an-1· an+1(an≠0,n≥2,n∈N+)?{an}为等比数列;

(3)通项公式法:若 an=a1qn-1=amqn-m 或 an=p· qkn+b(n∈N+),则{an}为等 比数列.

-19能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练 关闭

2 【例 4】数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项的和 Sn 满足 =an(Sn-1).

2 (1)证明:∵ =an(Sn-1), 2 :数列 1 是等差数列; (1) 求证 ∴ )(Sn-1)(n≥2). =(Sn-Sn-1

,1 数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn≥6 的最小正整 又 a1=1,∴ = +2 =1. 1 1 1 数 n. ∴ 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列 . 1 (1)对于递推关系中含有 +2 分析推理 Sn 与 an 的关系时,一般要 (2)解:由(1)知 S n= , ∴ bn=log2 . 3 4 5 6 +2 (+1)( 1+2) 1 ∴Tn= log × × × × … × = log . 利用公式 an =S2 -S ( n ≥ 2, n ∈ N ) 进行转化 , 然后朝着 与 ≥6 的关系靠拢 ; 2 n n-1 -1 1 2 3 4 + 2

∴SnSn-1=Sn-1-Sn,即



(2)设 bn=log1 2

1

?

1

-1

=1.

∴(n+1)(n+2)≥128. (2) 涉及求和问题中的解不等式或证明不等式 ,均先考虑明确数列 bn 的 ∵n ∈N*,∴n≥10. 满足 Tn≥6 的最小正整数为 10.. 类型,∴ 然后选用合适的求和公式进行求和

答案

-20能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

点评:该题第(1)问解决时要注意对条件的化简变形要结合目标 ,做到有 的放矢;第(2)问中解不等式时要注意暗含条件 n∈N+.

-21能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练 关闭

解:(1)依题意,得 2Sn=an+1-a1. 数列. 2 = +1 -1 , 当求 n≥ 时 ,有 (1) {a2 的通项公式 ; n} 2 -1 = -1 . (2) 设 bn=1,-S :是否存在 a1,使数列{bn}为等比数列?若存在,求出 a1 n, 问 两式相减 得 an+ 1=3an(n≥2). 的值;又因为 若不存在 请说明理由 . 1,an≠0, a2,= 2S1+a1=3a 所以数列{an}是首项为 a1,公比为 3 的等比数列. 因此,an=a1· 3n-1(n∈N*).
1 (1-3 ) 1 1 (2)因为 Sn= = a1· 3n- a1, 1-3 2 2 1 1 bn=1-Sn=1+ a1- a1· 3n. 2 2

4.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,其中 an≠0,a1 为常数,且-a1,Sn,an+1 成等差

要使{bn}为等比数列,当且仅当 1+ a1=0,即 a1=-2. 所以存在 a1=-2,使数列{bn}为等比数列.
答案

1 2

-221 2 3 4 5

1.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a24 等于( A.-1 B.1 C.3 D.-7

)

关闭

D

∵a1+a3+a5=105,即 3a3=105,∴a3=35. 同理可得 a4=33,∴公差 d=a4-a3=-2, ∴a24=a4+(24-4)d=-7.
解析

关闭

答案

-231 2 3 4 5

2.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3a9=2a4a6,a2=1,则 a1=( A.
1 2

)

B.

2 2

C. 2

D.2

关闭

设公比为 q,由已知得 a1q2· a1q8=2(a1q4)2,即 q2=2, 又因为等比数列{an}的公比为正数,所以 q= 2.
B

故 a1=

2

=

1 2

=

2 ,故选 2

B.
解析

关闭

答案

-241 2 3 4 5

3.已知△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且角 A,B,C 成等差数列, 三边 a,b,c 成等比数列,b= 3,则△ABC 的面积是 .

关闭

因为△ABC 的内角 A,B,C 成等差数列, π 所以 A+C=2B,B= . 又因为三边 a,b,c 成等比数列,b= 3,所以 ac=b2=3.
3 3 于是 4
3

S△ABC= acsin B= ×

1 2

3 2

3 2

=

3 3 . 4

关闭

解析

答案

-251 2 3 4 5

4.已知{an}为等差数列,且 a3=-6,a6=0. (1)求{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}满足 b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前 n 项和公式.
关闭

解:(1)设等差数列{an}的公差为 d. + 2d = -6, 因为 a3=-6,a6=0,所以 1 1 + 5d = 0. 解得 a1=-10,d=2. 所以 an=-10+(n-1)· 2=2n-12. (2)设等比数列{bn}的公比为 q. 因为 b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8, 所以-8q=-24,即 q=3. 所以{bn}的前 n 项和公式为
1 (1- ) Sn= =4(1-3n). 1-

答案

-261 2 3 4 5

5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n∈N*). (1)求证数列{an}是等比数列,并求其通项公式; (2)已知集合 A={x|x2+a≤(a+1)x},问是否存在实数 a,使得对于任意的 n∈ N*,都有 Sn∈A?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

-271 2 3 4 5

(1)证明:当 n=1 时,∵(a-1)S1=a(a1-1), ∴a1=a(a>0). 当 n≥2 时,由(a-1)Sn=a(an-1),① 得(a-1)Sn-1=a(an-1-1).②
①-②,得(a-1)an=a(an-an-1),整理得 =a(n≥2), -1

故{an}是以 a 为首项,公比为 a 的等比数列,∴an=an.

-281 2 3 4 5

(2)解:①当 a=1 时,A={1},Sn=n,只有 n=1 时,Sn∈A, ∴a=1 不适合题意. ②当 a>1 时,A={x|1≤x≤a},S2=a+a2, ∴S2?A,即当 a>1 时,不存在满足条件的实数 a. ③当 0<a<1 时,A={x|a≤x≤1}. 而 Sn=a+a2+…+an=
(1-an)∈ 1-
*

,

1-

,

0 < < 1, 因此对任意的 n∈N ,要使 Sn∈A,只需 ≤ 1.
1-

解得 0<a≤ .综上得实数 a 的范围是 0, .

1 2

1 2


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