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2014年江苏高考理科附加题(10套)


21.[选做题]在 B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分. B.选修 4—2:矩阵与变换 ?cos ? ? sin ? ? 若点 A(2,2)在矩阵 M ? ? ,求矩阵 M 的 ? 对应变换的作用下得到的点为 B(-2,2) ? sin ? cos ? ? 逆矩阵.

C.选修 4 - 4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ? 面直角坐标系,曲线 C 的参数方程为 ? 标.

?
3

? ? ? R ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平

? x ? 2cos ? , ( ? 为参数) ,求直线 l 与曲线 C 的交点 P 的直角坐 ? y ? 1 ? cos 2?

D.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ? ( x ? b) ? ( x ? c) ?
2 2 2

a ? b ? 2c ? 3 ,求 m 的最小值.

( a ? b ? c) 2 ( a , b , c 为实数)的最小值为 m ,若 3

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.

22、如图,正四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? 2, PA ? 3 , AC 、 BD 相交于点 O , 求: (1)直线 BD 与直线 PC 所成的角; (2)平面 PAC 与平面 PBC 所成的角

23、设数列 ?an ? 满足 a1 ? a, an?1 ? an2 ? a1 , M ? ?a ? R n ? N*, | an | ≤ 2? . (1)当 a ? (??, ?2) 时,求证: a ?M; (2)当 a ? (0, ] 时,求证: a ? M ; (3)当 a ? ( , ?? ) 时,判断元素 a 与集合 M 的关系,并证明你的结论.

1 4

1 4

21.[选做题]在 B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分. B.选修 4—2:矩阵与变换 二阶矩阵 M 对应的变换将点 (1, ?1) 与 (?2,1) 分别变换成点 (?1, ?1) 与 (0, ?2) .求矩阵 M ;

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 若两条曲线的极坐标方程分别为??=l 与??=2cos(θ+3),它们相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

D.选修 4—5:不等式选讲 求函数 f ( x) ? 2x ?1 ? 2 ? x 的最大值.

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分. 22. (本小题 10 分)口袋中有 n(n ? N ) 个白球,3 个红球.依次从口袋中任取一球,如果取到红球,那
*

么继续取球,且取出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.记取球的次数为 X.若

P ( X ? 2) ?

7 ,求(1)n 的值; 30

(2)X 的概率分布与数学期望.

23. (本小题 10 分)已知曲线 C : y ?

1 C 于 Q1 ,过 Q1 作曲线 ( x ? 0) ,过 P 1 (1,0) 作 y 轴的平行线交曲线 x C 的切线与 x 轴交于 P2 ,过 P2 作与 y 轴平行的直线交曲线 C 于 Q2 ,照此下去,得到点列 P 1, P 2 , ??? ,和

Q1 , Q2 , ??? ,设 | PnQn |? an , 2 | QnQn?1 |? bn (n ? N * ) . (1)求数列 {an } 的通项公式;
(2)求证: b1 ? b2 ???? ? bn ? 2n ? 2? n ;

江苏省数学高考附加题强化试题 3
班级 姓名 得分 21.[选做题]在 B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分. B. (选修 4—2:矩阵与变换) ? 3 3?,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α =?1?,属于特征值 1 的一个特征向 已知矩阵 A=? ? 1 ? ? ? c d? ?1? ? 3 ? 量为 α2=? ?.求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵. ?-2?

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,

1 ? x? t ? 2 ? 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段长度. ? y ? 3 t ?1 ? ? 2

D. (选修 4-5:不等式选讲) 设 x, y , z 为正数,证明: 2 x3 ? y3 ? z3 ≥ x2 ? y ? z ? ? y2 ? x ? z ? ? z 2 ? x ? y ? .

?

?

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分. 22. (本小题满分 10 分) 某中学选派 40 名同学参加上海世博会青年志愿者服务队(简称“青志队” ) ,他们参加活动的次数统计如 表所示. (Ⅰ)从“青志队”中任意选 3 名学生,求这 3 名同学中至少有 2 名同学参加活动次数恰好相等的概率; (Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生,用 ? 表示这两人参加活动次数之差的绝 对值,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . 活动次数 参加人数

1
5

2
15

3 20

23. (本小题满分 10 分)

? m? 设函数 f ( x, y ) ? ?1 ? ? ( m ? 0, y ? 0) . y? ? (1)当 m ? 3 时,求 f (6, y ) 的展开式中二项式系数最大的项; 4 a3 a4 a a ? ? (2)若 f (4, y ) ? a0 ? 1 ? 2 且 ,求 ai ; a ? 32 ? 3 y y 2 y3 y 4 i ?0
( 3 ) 设 n 是 正 整 数 , t 为 正 实 数 , 实 数 t 满 足 f (n,1) ? m f (n, t ) , 求 证 :
n

x

f (2010,1000 t ) ? 7 f (?2010, t ) .

江苏省数学高考附加题强化试题 4
班级 姓名 得分 21.[选做题]在 B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分. B. (选修 4—2:矩阵与变换) 已知在二阶矩阵 M 对应变换的作用下,四边形 ABCD 变成四边形 A ' B ' C ' D ' ,其中 A(1,1) ,

B(?1,1) , C (?1, ?1) , A '(3, ?3) , B '(1,1) , D '(?1, ?1) .
(1)求出矩阵 M ; (2)确定点 D 及点 C ' 的坐标.

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程)

A ? {( x, y) x ? 2 cos ? , y ? 2 sin ? ? m , ? 为参数 } ,

B ? {( x, y) x ? t ? 3, y ? 3 ? t, t 为参数 } ,且 A B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

D. (选修 4-5:不等式选讲) 已知 a, b, c ? R ,证明不等式:

1 6 c ? 2a 2b 2 c 2 ; 27 2 2 2 (2) a ? 4b ? 9c ? 2ab ? 3ac ? 6bc .
(1) a ? 8b ?
6 6

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分. 22. (本小题满分 10 分) 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且垂直于底面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? ,M 为 PC 上一点,且 PA∥平面 BDM. ⑴求证:M 为 PC 中点; ⑵求平面 ABCD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小.

P M D C

A
第 22 题图

B

23. (本小题满分 10 分)

已知抛物线 L 的方程为 x2 ? 2 py? p ? 0? ,直线 y ? x 截抛物线 L 所得弦 AB ? 4 2 . ⑴求 p 的值; ⑵抛物线 L 上是否存在异于点 A、B 的点 C,使得经过 A、B、C 三点的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的 切线.若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.

江苏省数学高考附加题强化试题 5
班级 姓名 得分 21.[选做题]在 B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分. B. (选修 4—2:矩阵与变换) 求将曲线 y 2 ? x 绕原点逆时针旋转 90? 后所得的曲线方程.

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) ? ?? 求圆心为 C ? 3, ? ,半径为 3 的圆的极坐标方程. ? 6?

D. (选修 4-5:不等式选讲)

已知 a , b, c 均为正数,证明: a ? b ? c ? (
2 2 2

1 1 1 2 ? ? ) ? 6 3 ,并确定 a, b, c 为何值时,等号成立。 a b c

【必做题】第 22 题,23 题,每题 10 分,共 20 分;解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

22.如图,平面 ABDE ? 平面 ABC, ?ABC 是等腰直角三角形,AC =BC= 4,四边形 ABDE 是直角梯形, BD∥AE,BD ? BA, BD ? 的正弦值. E

1 AE ? 2 , O、M 分别为CE、AB 的中点,求直线 CD 和平面 ODM 所成角 2

O D A M B C

1 ? ? m 1 23.设数列 {an } 是等比数列, a1 ? C3 2 m?3 ? Am? 2 ,公比 q 是 ? x ? ? 的展开式中的第二项(按 x 的降幂 4 x2 ? ? 排列) . (1)用 n, x 表示通项 a n 与前 n 项和 S n ;
2 (2)若 An ? C1 n S1 ? Cn S2 ? n ? Cn Sn ,用 n, x 表示 An .

4

江苏省数学高考附加题强化试题 6

班级 姓名 得分 21.[选做题]在 B、C、D 三小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分. B.选修 4—2:矩阵与变换 求关于直线 y=3x 的对称的反射变换对应的矩阵 A.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,过曲线 L : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) 外的一点 A(2 5, ? ? ? ) (其中 tan? ? 2, ? 为锐角) 作平行于 ? ?

?
4

( ? ? R ) 的直线 l 与曲线分别交于 B, C .

(1)写出曲线 L 和直线 l 的普通方程(以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建直角坐标系); (2)若 | AB |, | BC |, | AC | 成等比数列,求 a 的值.

D.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3| . (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围。

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分. 22. (本小题 10 分)如图,已知四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,A1D⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是边长为

1 的正方形,侧棱 AA1=2。 (I)求证:C1D//平面 ABB1A1; (II)求直线 BD1 与平面 A1C1D 所成角的正弦值;

23. (本小题 10 分) 若 (1 ? 2x)2011 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ? ? a2011 x2011 ( x ? R ) ,求

a1 a2 a 的值. ? 2 ? ? ? 2011 2 2 22011

江苏省数学高考附加题强化试题 7
班级 姓名 得分

21.[选做题]在 B、C、D 三小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分. B.选修 4—2:矩阵与变换 已知△ABC,A(-1,0),B(3,0),C(2,1),对它先作关于 x 轴的反射变换,再将所得图形绕原点逆时 针旋转 90°. (1)分别求两次变换所对应的矩阵 M1,M2; (2)求点 C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? sin ?
2

? , ? ? [0, 2? ) ,曲线 D 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? ? 2 . 4 ? y ? cos ?

(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)曲线 C 与曲线 D 有无公共点?试说明理由.

D.选修 4—5:不等式选讲 设 x ? y ? z ? 1, 求 F ? 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 的最小值.

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.

22. (Ⅰ) 已知动点 P ( x, y ) 到点 F (0,1) 与到直线 y ? ?1 的距离相等,求点 P 的轨迹 L 的方程; (Ⅱ) 若正方形 ABCD 的三个顶点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) ( x1 ? 0 ≤ x2 ? x3 )在(Ⅰ)中的曲线 L 上,设 BC 的斜率为 k , l ?| BC | ,求 l 关于 k 的函数解析式 l ? f ( k ) ; (Ⅲ) 求(2)中正方形 ABCD 面积 S 的最小值。

23. (本小题 10 分) 在 1, 2, 3, , 9 这 9 个自然数中,任取 3 个不同的数. (1)求这 3 个数中至少有 1 个是偶数的概率; (2)求这 3 个数和为 18 的概率; (3)设 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1, 2,3 ,则有两组相邻的数 1, 2 和 2, 3 ,此时 ? 的值是 2 ) .求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? .

江苏省数学高考附加题强化试题 8
班级 姓名 得分 21.[选做题]在 B、C、D 三小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分. B.选修 4—2:矩阵与变换 学校餐厅每天供应 1000 名学生用餐,每星期一有 A、B 两样菜可供选择,调查资料表明,凡是在本周星 期一选 A 菜的,下周星期一会有 20%改选 B,而选 B 菜的,下周星期一则有 30%改选 A,若用 A n 、B n 分别表示在第 n 个星期一选 A、B 菜的人数. (1)若 ?

? An?1 ? ? An ? (2)求二阶矩阵 M 的逆矩阵. ? M ? ? ,请你写出二阶矩阵 M; ? ? Bn?1 ? ? Bn ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知圆 M 的参数方程为 x ? y ? 4Rx cos? ? 4Ry sin ? ? 3R ? 0 (R>0).(1)求该圆的圆心的坐标以及圆 M 的半径;(2)若题中条件 R 为定值,则当 ? 变化时,圆 M 都相切于一个定圆,试写出此圆的极坐标方程.
2 2 2

D.选修 4—5:不等式选讲 证明不等式: ?

1 1 1 ? ? 1 1? 2 1? 2 ? 3

?

1 1? 2 ? 3 ?

?n

?2

【必做题】第 22 题,23 题,每题 10 分,共 20 分;解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

22 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 点 F、T、M 、P 满 足 OF ? (1,0), OT ? (?1, t ) ,

FM ? MT , PM ? FT , PT // OF .
(1)当 t 变化时,求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若过点 F 的直线交曲线 C 于 A,B 两点,求证:直线 TA,TF,TB 的斜率依次成等差数列.

23.(1)设函数 f ( x) ? x ln x ? (1 ? x)ln(1 ? x)(0 ? x ? 1) ,求 f ( x) 的最小值; (2)设正数 p1 , p2 , p3 ,?, p2n 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2n ? 1, 求证 p1 ln p 1? p 2 ln p ? 2 p ln 3 p ? 3 ? p2n ln p2n ? ?n.

江苏省数学高考附加题强化试题 9

班级 姓名 得分 21.[选做题]在 B、C、D 三小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分. B.选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ?
2? ?7 ? ,向量 ? ? ? ? . 4? ? ?4? (1)求 A 的特征值 ?1 、 ? 2 和特征向量 ? 1 、 ? 2 ; ?1 ? ?1

w.w.w.k.s. 5.u.c.o. m

(2)计算 A 5? 的值.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 6 cos? , 曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ?
?
4 ( ? ? R) , C2 相交于 曲线 C1 ,

A,

B 两点.
(1)把曲线 C1 , C 2 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)求弦 AB 的长度.

D.选修 4—5:不等式选讲 设 ?ABC 的三边长分别为 a , b, c , (1)判定 b ? c ? a, a ? b ? c, c ? a ? b 的符号;
2 2 2
w.w.w.k.s. 5.u.c.o. m

(2)求证:

a b c ? ? ? a ? b ? c. b?c?a c?a ?b a ?b?c

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分. 22. (本小题 10 分)在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某

明星判断正确的概率为 p ,判断错误的概率为 q ,若判断正确则加 1 分,判断错误则减 1 分,现记“该 明星答完 n 题后总得分为 S n ” .

1 时,记 ? ?| S 3 | ,求 ? 的分布列及数学期望及方差; 2 1 2 (2)当 p ? , q ? 时,求 S 8 ? 2且S i ? 0(i ? 1,2,3,4) 的概率. 3 3
(1)当 p ? q ?

w.w.w.k.s.5 .u.c. o.m

23. (本小题 10 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,通项公式为 an ?

n ?1 ? S2 n , 1 , f ( n) ? ? , n?2 n ?S2 n ? Sn?1 ,

(1)计算 f (1), f (2), f (3) 的值; (2)比较 f (n) 与 1 的大小,并用数学归纳法证明你的结论.

江苏省数学高考附加题强化试题 10
班级 姓名 得分

21.[选做题]在 B、C、D 三小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分. B.选修 4—2:矩阵与变换 已知实数 a、b、c 满足 a>b>c,且 a+b+c=0,且方程 ax2+bx+c=0 与 x 轴的两交点为 A、B,

c 1 ?? a 2 ?1 0 ? (2) 求线段 AB 在矩阵 ? ? 变换下投影长度的取值范围。 ?1 0 ?
(1) 求证: ? 2 ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) 。在极坐标系(与直角坐标系 xoy ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。 (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5) , 求|PA|+|PB|。

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 x ? (0,

?

2

) ,求函数 y ?

1 ? sin 2 x 的最小值以及取最小值时所对应的 x 值. 2sin x

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.

22. (本小题 10 分) 如图, 在四棱锥 O ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,?ABC ? 底面 ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点. (1)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (2)求平面 OAB 与平面 OCD 所成的二面角的余弦值. O

?
4

, OA ?

M

A B C

D

23. (本小题 10 分)

从集合 M ? ?1, 2,3, 4,5,6,7,8,9? 中,抽取三个不同元素构成子集 ?a1 , a2 , a3? . (Ⅰ)求对任意的 i ? j ,满足 ai ? a j ? 2 的概率; (Ⅱ)若 a1 , a2 , a3 成等差数列,设其公差为 ? ?? ? 0 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望.

江苏省数学高考附加题强化试题 1

参考答案
? 2 ? ? ?2 ? ? 2 cos ? ? 2sin ? ? ? ?2 ? 21.B、解: M ? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? ? ,???????????4分 ?2? ? 2 ? ? 2sin ? ? 2 cos ? ? ? 2 ? ?cos ? ? sin ? ? ?1, ?cos ? ? 0, 所以 ? 解得 ? ?????????????6分 ?sin ? ? cos ? ? 1. ?sin ? ? 1.

所以 M ? ?

?1 0 ? ?0 ?1? ? 0 1? ?1 ?1 ? .由 M M ? ? 0 1 ? ,得 M ? ? ?1 0 ? .?????10分 1 0 ? ? ? ? ? ?

C、解:因为直线 l 的极坐标方程为 ? ?

?
3

?? ? R?

所以直线 l 的普通方程为 y ? 3x ,?????????????????3分

? x ? 2cos ? , ( ? 为参数) ? y ? 1 ? cos 2? 1 2 所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ? x ? x ? ? ?2, 2?? , ?????????6分 2 ? x ? 2 3, ? x ? 0, ? 联立解方程组得 ? 或? ,????????????????8分 ? y ? 0, ? ?y ? 6 ? ? x ? 2 3, 根据 x 的范围应舍去 ? ,故 P 点的直角坐标为( ).?????10 分 ? ?y ? 6 ( a ? b ? c) 2 2 2 2 D、解:因为 f ( x) ? ( x ? a) ? ( x ? b) ? ( x ? c) ? 3 (a ? b ? c) 2 2 2 2 2 ? 3x ? 2(a ? b ? c) x ? a ? b ? c ? 3 a?b?c 2 ? 3( x ? ) ? a 2 ? b 2 ? c 2 ,????????????2 分 3 a?b?c 2 2 2 所以 x ? 时, f ( x ) 取最小值 a ? b ? c , 3 2 2 2 即 m ? a ? b ? c ,????????????????????????5 分 因为 a ? b ? 2c ? 3 ,由柯西不等式得 2 2 2 2 2 2 2 ? ?1 ? (?1) ? 2 ? ? ? (a ? b ? c ) ? ( a ? b ? 2c) ? 9 ,????????8 分
又因为曲线 C 的参数方程为 ?

9 3 ? , 6 2 a b c 3 3 3 ? ,即 a ? ,b ? ? ,c ? 时等号成立, 当且仅当 ? 1 ?1 2 4 4 2 3 所以 m 的最小值为 . ??????????????????????10 分 2
所以 m ? a ? b ? c ?
2 2 2

22、 23、证明: (1)如果 a ? ?2 ,则 a1 ?| a |? 2 , a ? M . ???????????????2 分
1 1 (2) 当 0 ? a ≤ 时, an ≤ ( ?n ≥ 1 ) . 2 4 1 事实上, 〔1〕当 n ? 1 时, a1 ? a ≤ . 2 设 n ? k ? 1 时成立( k ≥ 2 为某整数) ,
2 ?1? 1 1 则〔2〕对 n ? k , ak ≤ ak ?1 ? a ≤ ? ? ? ? . ?2? 4 2 2

由归纳假设,对任意 n∈N ,|an|≤ (3) 当 a ?
1 时, a ? M .证明如下: 4

*

1 <2,所以 a∈M.??????????6 分 2

1 2 ,且 an?1 ? an ? a . 4 1 1 1 1 2 对于任意 n ≥ 1 , an?1 ? an ? an ? an ? a ? (an ? )2 ? a ? ≥ a ? , 则 an?1 ? an ≥ a ? . 4 2 4 4 1 所以, an?1 ? a ? an?1 ? a1 ≥ n(a ? ) . 4 2?a 1 当n ? 时, an?1 ≥ n(a ? ) ? a ? 2 ? a ? a ? 2 ,即 an ?1 ? 2 ,因此 a ? M . 1 4 a? 4 ???????10 分
对于任意 n ≥ 1 , an ? a ?

江苏省数学高考附加题强化试题 2
参考答案

?1 2? ?; ?3 4 ? 21C.由 ? ? 1 得 x 2 ? y 2 ? 1, ? 2 又 ? ? 2 cos(? ? ) ? cos ? ? 3 sin ? ,? ? ? ? cos ? ? 3? sin ? 3 2 2 ? 1 3 ?x ? y ? 1 2 2 得 A(1, 0), B(? , ? ), ? x ? y ? x ? 3 y ? 0 ,由 ? 2 2 2 2 ? ?x ? y ? x ? 3y ? 0
21B. M ? ?
2 3? ? 1? ? ? AB ? ?1 ? ? ? ? 0? ? ? 3. ? 2 ? ? 2? ? ? 2

21D.由柯西不等式, f ( x) ? 2x ?1 ? 2 ? x ?

2 x?

1 ? 2? x 2

7 5 30 1 1 .故当且仅当 2 ? 2 ? x ? 1? x ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取 ? ? 2 ?1 ? x ? ? 2 ? x ? 3 ? 6 2 2 2 2 30 得最大值为 . 2 1 1 A3 ? An 3n 7 22.(1)由题知 P( X ? 2) ? ? ? , 2 (n ? 3)(n ? 2) 30 An?3

即7n2 ? 55n ? 42 ? 0, 即(7n ? 6)(n ? 7) ? 0. 因为n ? N * , 所以n ? 7.
(2)由题知,X 的可能取值为 1,2,3,4,所以
1 1 A7 A32 A7 7 7 7 P( X ? 1) ? 1 ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? ? , 3 30 120 A10 10 A10

P( X ? 4) ? 1 ?

7 7 7 1 ? ? ? , 10 30 120 120

所以,X 的概率分布表为 X P 1 2 3 4

7 10

7 30

7 120

1 120

7 7 7 1 11 ? 2? ? 3? ? 4? ? . 10 30 120 120 8 11 答 X 的数学期望是 . 8 1 1 / 23.(1) y ? ,? y ? ? 2 .设 Qn ( xn , yn ) ,则直线 Qn P n ?1 的方程为 x x 1 y ? yn ? ? 2 ( x ? xn ) ,令 y ? 0 ,得 xn?1 ? xn ? xn 2 yn , xn yn ? 1,? xn?1 ? 2xn ,则数列 {xn } 是首项为 xn
所以 E ( X ) ? 1 ? 1,公比为 2 的等比数列,于是 xn ? 2
n ?1

.从而

1 1 ? n?1 . xn 2 1 1 (2) Qn ( , an ), Qn ?1 ( , an ?1 ) , an an ?1 an ?| PnQn |? yn ?

?bn ? 2 | QnQn?1 | ? 2 (
? 2 (2n?1 ? 2n )2 ? (

1 1 2 ? ) ? (an ? an?1 ) 2 an an?1

1 1 1 ? n )2 ? 2 (2n ?1 )2 ? ( n )2 . n ?1 2 2 2 2 2 2 利用 2(a ? b ) ? (a ? b) (a ? 0, b ? 0) ,当且仅当 a ? b 时取等号,得

bn ? 2 (2n?1 )2 ? (

n 1 2 1 1 1 1 n ?1 .于是 ) ? 2 ? bi ? (1 ? ) ? (2 ? 2 ) ? ??? ? (2n?1 ? n ) ? n n 2 2 2 2 2 i ?1 1 1 (1 ? ) n n 1 1 1 1? 2 1 n ?1 2 2 ? (1 ? 2 ? ??? ? 2 ) ? ( ? 2 + ??? ? n ) ? ? ? 2n ? n . 1 2 2 2 1? 2 2 1? 2

江苏省数学高考附加题强化试题 3
参考答案

?1? ? 3 3? ?1?=6?1?, 21B、解:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?可得,? ? ? ? ? ? ?1? ? c d ? ?1? ?1? 即 c+d=6; ???????????????3 分 ? 3 ? ? 3 3? ? 3 ?=? 3 ?, 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α2=? ?,可得? ? ? ? ? ? ? c d ? ?-2? ?-2? ?-2? 即 3c-2d=-2, ????????????????6 分 3 3? ?c=2, ? 解得? 即 A=? ??????????8 分 ?, ? 2 4? ?d=4. 2 1 - 3 2 A 逆矩阵是 1 1 - 3 2 21C.解:将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ,

? ? ?

? ? ?

即 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,它表示以 (0, 2) 为圆心,2 为半径的圆,??????????4 分 直线方程 l 的普通方程为 y ? 3x ? 1 ,????????????6 分

1 ,???????????????????8 分 2 1 故直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 2 2 2 ? ( ) 2 ? 15 . ???????10 分 2
圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ? 21D.因为 x2 ? y 2 ? 2 xy ? 0 所以 x3 ? y3 ? ? x ? y ? x2 ? xy ? y2 ? xy ? x ? y ? 同理 y3 ? z3 ? yz ? y ? z ? , z3 ? x3 ? zx ? z ? x ?

?

?

???????4 分 ???????6 分

三式相加即可得 2 x ? y ? z ? xy ? x ? y ? ? yz ? y ? z ? ? zx ? z ? x ?
3 3 3

?

?

又因为 xy ? x ? y ? ? yz ? y ? z ? ? zx ? z ? x ? ? x2 ? y ? z ? ? y 2 ? x ? z ? ? z 2 ? x ? y ? 所以 2 x3 ? y3 ? z3 ? x2 ? y ? z ? ? y2 ? x ? z ? ? z 2 ? x ? y ?

?

?

????10 分

22、(Ⅰ)这 3 名同学中至少有 2 名同学参加活动次数恰好相等的概率为

P ? 1?
?

1 1 1 C5 C15C20 3 C40

…………………………………………4 分

419 494

…………………………………………5 分

(Ⅱ)由题意知 ? ? 0,1, 2
2 2 C52 ? C15 ? C20 61 ……………………………………6 分 P0 ? ? 2 C40 156 1 1 1 1 C5 C15 ? C15 C20 75 ……………………………………7 分 P ? 1 ? 2 C40 156

P2 ?

1 1 C5 C20 5 ? ……………………………………8 分 2 C40 39

? 的分布列:
x
P(? ? x)
0 1 2

61 156

75 156

5 39

…………………………………………10 分

? 的数学期望: E? ? 0 ?

61 75 5 115 ? 1? ? 2? ? …………12 分 156 156 39 156
3 3 6

? 3 ? 540 23. 解: (1)展开式中二项式系数最大的项是第 4 项= C ? ? ? 3 ; (2 分) y ? y? a a a a m 3 3 ? 3 ? 4 ? (1 ? )4 , a3 ? C4 (2) f (4, y ) ? a0 ? 1 ? 2 m ? 32 ? m ? 2 , 2 3 4 y y y y y 4 2 ai ? (1 ? ) 4 ? 81; (5 分) ? 1 i ?0
n (3)由 f (n,1) ? m f (n, t ) 可得 (1 ? m) ? m (1 ?
n n

m n m2 n ) ? (m ? ) ,即 t t m2 m 1 2010 1? m ? m ? ? m ? t ? f (2010,1000 t ) ? (1 ? )2010 ? (1 ? ) . t 1000 1000 t
2 3 4 1 2010

1 4 2 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 2 3 4 ? 1? C ? C2010 ? ? ? C2010 ? ? ? C2010 ? ? ? 1? 2 ? 2 ? ? ? 7 1000 3 3 ? 1000 ? ? 1000 ? ? 1000 ? m 1 , t ) ? (1 ? ) ?2010 ? (1 ? ) ?2010 ? 1,所以原不等式成立. 而 f (?2010 (10 分) t t

江苏省数学高考附加题强化试题 4
参考答案

21.(B) 解: (1)设 M ? ?

?a b ? ?a b ? ?1? ? 3 ? ?a b ? ?? 1? ?1? ,则有 ? ? ? ? ? ? ? ?, ? ?? ? ? ? ? , ?c d ? ? c d ? ?1? ?? 3? ? c d ? ? 1 ? ?1?
(5分)

?a ? b ? 3 ?c ? d ? ?3 ?1 2? ? 故? 解得 a ? 1, b ? 2, c ? ?2, d ? ?1 ,? M ? ? ?. ??2 ?1? ?? a ? b ? 1 ? ?? c ? d ? 1 2 ? ?? 1? ?? 3? ?1 (2)由 ? ? ? ? ? ? ? 知, C ' (?3,3) , ?? 2 ? 1? ?? 1? ? 3 ? 2? ? 1 ?? 3 ? 3 ? ?? 1? ? 1 ? 由? ? ? ? ? 知, D(1,?1) . 2 1 ?? ? ? ?? 1? ?? 1? 3 ? ? 3
21.(C)
2 2 解: A ? {( x, y ) x ? ( y ? m) ? 2} , B ? {( x, y) x ? y ? 6} ,

(10 分)

(5 分) (10 分)

m?6 2

? 2 ? m ? [4,8] .

21.(D)

a6 ? 8b6 ?
证明: (1)由均值不等式可得 即 a ? 8b ?
6 6

1 6 c 27 ? 3 a6 ? 8b6 ? 1 c6 ? 2 a 2b2c 2 , 3 27 3

1 6 c ? 2a 2b 2c 2 ,故所证成立. (5 分) 27 2 2 2 2 a2 ? 4b2 ? 4ab (2)因为 ①, 4b ? 9c ? 12bc ②, a ? 9c ? 6ac ③ 2 2 2 ①②③式两边相加,得 2a ? 8b ? 18c ? 4ab ? 6ac ? 12bc 2 2 2 即 a ? 4b ? 9c ? 2ab ? 3ac ? 6bc ,故所证成立. (10 分)
22.证明 ⑴连接 AC 与 BD 交于 G,则平面 PAC∩平面 BDM=MG, 由 PA∥平面 BDM,可得 PA∥MG, ∵底面 ABCD 是菱形,∴G 为 AC 中点, ∴MG 为△PAC 中位线, ∴M 为 PC 中点. ????????????????4 ⑵取 AD 中点 O,连接 PO,BO, ∵△PAD 是正三角形,∴PO⊥AD, 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PO⊥平面 ABCD, ∵底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? ,△ABD 是正三角形, ∴AD⊥OB, ∴OA,OP,OB 两两垂直,以 O 为原点 OA , OB , OP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空间直角坐 标系,如右图所示,则 A?1,0,0 ? , B 1, 3,0 , D?? 1,0,0? , P 0,0, 3 , ∴ DP ? 1,0, 3 , AB ? ? 1, 3,0 , ∴ DM ?

?

BP ? 0,? 3,? 3 , CB ? DA ? ?2,0,0? ,

?

? 1 1 3 3? ?, DP ? DC ? DP ? AB ? ? 0 , ? 2 , 2 ? 2 2 ? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

z P M D O A
G

?

C

B

y

∴ DM ? BP ? 0 ?

3 3 ? ? 0 , DM ? CB ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 , 2 2
2 2

∴DM⊥BP,DM⊥CB,∴DM⊥平面 PBC, ∴ cos ? OP, DM ??

平面 ABCD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小为

?
4

?????????????10

?y ? x 23. 解:⑴由 ? 2 解得 A(0,0), B(2 p,2 p) ? x ? 2 py
∴ 4 2 ? AB ? 4 p 2 ? 4 p 2 ? 2 2 p ,∴ p ? 2 ⑵由⑴得 x 2 ? 4 y, A(0,0), B(4,4) 假设抛物线 L 上存在异于点 A、B 的点 C (t , 点 C 处有相同的切线 ???????????????4

t2 ) (t ? 0, t ? 4) ,使得经过 A、B、C 三点的圆和抛物线 L 在 4

?a 2 ? b 2 ? (a ? 4) 2 ? (b ? 4) 2 ? NA ? NB ? 令圆的圆心为 N ( a, b) ,则由 ? 得? t2 ? NA ? NC ?a 2 ? b 2 ? (a ? t ) 2 ? (b ? ) 2 4 ? 2 ? t ? 4t a?? ?a ? b ? 4 ? ? ? 8 得? ????????????????6 1 2?? 2 4a ? tb ? 2t ? t t ? 4t ? 32 ? ? b? 8 ? ? 8 ? t ∵抛物线 L 在点 C 处的切线斜率 k ? y? |x ?t ? (t ? 0) 2 t2 b? 4 ? t ? ?1 ? 2a ? bt ? 2t ? 1 t 3 ? 0 又该切线与 NC 垂直, ∴ a ?t 2 4 2 2 t ? 4t t ? 4t ? 32 1 )?t? ? 2t ? t 3 ? 0 ? t 3 ? 2t 2 ? 8t ? 0 ????????8 ∴ 2 ? (? 8 8 4 ∵ t ? 0, t ? 4 ,∴ t ? ? 2 故存在点 C 且坐标为(-2,1) ????????????????10

江苏省数学高考附加题强化试题 5
参考答案 ?cos90? ? sin 90? ? ?0 ? 1? 21.4-2 解:由题意得旋转变换矩阵 M ? ? ??? ? ,???3 分 ?sin 90? cos90? ? ? ?1 0 ? ? 设 P( x0 , y0 ) 为曲线 y 2 ? x 上任意一点,变换后变为另一点 ( x , y ) ,则

? x ? ? y0 , ? x ? ?0 ? 1? ? x0 ? ? y ? ? ?1 0 ? ? y ? ,即 ? y ? x , ? ? ? ?? 0? 0 ? ? y0 ? ? x, 所以 ? 又因为点 P 在曲线 y 2 ? x 上,所以 y0 2 ? x0 ,故 (? x)2 ? y , x ? y , ? 0 2 即 x ? y 为所求的曲线方程. ?????10 分 ? 4-4 解:设圆上任一点为 P( ?,? ) ,则 OP ? ? , ?POA ? ? ? ,OA ? 2 ? 3 ? 6 , 6 ? ? ? ? 2 ? ? ?? Rt?OAP 中,OP ? OA cos ?POA , ? ? 6cos ? ? ? ? ,而点 O ? 0, ? ? , A ? 0, ? 符合, 6? ? 6? ? ? 3 ?

?? ? 故所求圆的极坐标方程为 ? ? 6cos ? ? ? ? . 6? ?

?????10 分

22 . 解 : ∵ DB ? BA , 又 ∵ 面 ABDE ? 面 ABC , 面 ABDE 面 ABC ? AB , DB ? 面ABDE , ∴ DB ? 面ABC ,∵BD∥AE,∴ EA ? 面ABC , ????2 分 如图所示,以 C 为原点,分别以 CA,CB 为 x,y 轴,以过点 C 且与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴,建 立空间直角坐标系, z ∵ AC ? BC ? 4 , E ∴设各点坐标为 C (0, 0, 0) , A(4, 0, 0) , B(0, 4, 0) , D(0, 4, 2) , E (4, 0, 4) , 则 O(2, 0, 2) , M (2, 2, 0) , CD ? (0, 4, 2) , O D x A M y B C

OD ? (?2, 4, 0) , MD ? (?2, 2, 2) ,
设平面 ODM 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则由 n ? OD

??2 x ? 4 y ? 0, 且 n ? MD 可得 ? ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, 令 x ? 2 ,则 y ? 1 , z ?1,∴ n ? (2, 1, 1) ,
设直线 CD 和平面 ODM 所成角为 ? ,则

sin ? ? cos ? n, CD ? ?

n ? CD (2, 1, 1) ? (0, 4, 2) 6 30 , ? ? ? | n || CD | | (2, 1, 1) || (0, 4, 2) | 6 ? 2 5 10
30 . 10 ?2m ? 3 ≥ 3m, ∴ ? ?m ? 2 ≥1,
?????10 分 ∴m ? 3, ???2 分

∴直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值为
m 1 23.解: (1)∵ a1 ? C3 2 m ? Am ? 2
4

1 ? ? 2 4 ?1 ? 1 x ? 2 由 ? x ? 2 ? 的展开式中的同项公式知 T2 ? C4 4x ? ? 4x ?

? ? ? x, ?

∴ an ? xn?1

? n, ? ∴ S n ? ?1 ? x n , ? ? 1? x

x x ? ;1

=1,
???4 分
n , ? nCn

2 3 (2)当 x ? 1 时, Sn ? n, An ? C1 n ? 2Cn ? 3Cn ?

n ?1 n?2 又∵ An ? nCn ? n ? (n ? 1)Cn ? (n ? 2)Cn
1 2 ∴ 2An ? n(C0 n ? Cn ? Cn ?

0 ? C1 n ? 0Cn ,

n ? Cn ) ? n ? 2n , ∴ An ? n ? 2n ?1 ,

1 ? xn , 1? x 1 ? x 1 1 ? x2 2 1 ? xn n An ? Cn ? Cn ? ? Cn 1? x 1? x 1? x 1 2 1 2 2 ? [(C1 ? Cn n ? Cn ? n ) ? ( xC n ? x C n ? 1? x 1 ? [2n ? (1 ? x) n ] , 1? x ?n ? 2n ?1 , x ?1, ? n n ∴ An ? ? 2 ? (1 ? x) , x ? 1. ? 1? x ?
当 x≠1 时, S n ?

n ? x nCn )]

?????10 分

江苏省数学高考附加题强化试题 6
参考答案
21B. 解:在平面上任取一点 P(x,y) ,点 P 关于 y=3x 的对称点 P(x′,y′)

? y ? y? ? 3 ? ?1 ? 则有: ? x ? x ? y ? y? x ? x? ? ? 3? 2 ? 2 ? 4 3? ? ? x ? ?? 5 5 ? ? x ? ? y ?? ? ? 3 4 ? ? y ? ? ? ? ?? ? ? 5 5?
A= ?

4 3 ? ? x? ? ? 5 x ? 5 y 解得: ? 3 4 ? y? ? x ? y 5 5 ? ? 4 3? ?? 5 5 ? A= ? 3 4? ? ? ? 5 5?

点评:一般地若过原点的直线 m 的倾斜角为

?cos 2? ? sin 2?
2

sin 2? ? ? cos 2? ? ?

? ,则关于直线 m 的反射变换矩阵为:

21C。⑴ y ? 2ax, y ? x ? 2

? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 2 (2)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),代入 y ? 2ax 得到 ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ? 2 t ? 2 2 (4 ? a)t ? 8(4 ? a) ? 0 ,则有 t1 ? t 2 ? 2 2 (4 ? a),t1 ? t 2 ? 8(4 ? a) 2 2 2 因为 | BC | ?| AB |, | AC | ,所以 (t1 ? t 2 ) ? (t1 ? t 2 ) ? 4t1 ? t 2 ? t1 ? t 2 解得 a ? 1
21D.(I)原不等式等价于

3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? ?? ? x ? ?x ? ? 或? 2 或? 2 2 2 ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6

3分

3 1 3 1 ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? 即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} 2 2 2 2 (II)? 8分 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4 ?a ? 4 10 分
解,得 22. (I)证明:四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,BB1//CC1, 又 CC1 ? 面 ABB1A1,所以 CC1//平面 ABB1A1, ????2 分 ABCD 是正方形,所以 CD//AB, 又 CD ? 面 ABB1A1,AB ? 面 ABB1A1,所以 CD//平面 ABB1A1,????3 分 所以平面 CDD1C1//平面 ABB1A1, 所以 C1D//平面 ABB1A1 ????4 分 (II)解:ABCD 是正方形,AD⊥CD 因为 A1D⊥平面 ABCD, 所以 A1D⊥AD,A1D⊥CD, 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D—xyz, ????5 分 在 ?ADA 1 中,由已知可得 A 1D ?

6分

3,

所以 D(0,0,0), A1 (0,0, 3), A(1,0,0),C1 (?1,1, 3) ,

B1 (0,1, 3), D1 (?1,0, 3), B(1,1,0),

BD1 ? (?2,?1, 3, )

????6 分

因为 A1D⊥平面 ABCD, 所以 A1D⊥平面 A1B1C1D1 A1D⊥B1D1。 又 B1D1⊥A1C1, 所以 B1D1⊥平面 A1C1D, 所以平面 A1C1D 的一个法向量为 n=(1,1,0) 设 BD1 与 n 所成的角为 ? , 则 cos ? ?

????7 分 ????8 分

n ? BD1 | n || BD1 |

?

?3

3 ?? , 4 2 8
3 4
????10 分 ???????????????2

所以直线 BD1 与平面 A1C1D 所成角的正弦值为 .
r 23. 解:由题意得: ar ? C2011 (?2)r , r ? 1,2,?2011 ,

a1 a2 a 1 2 3 2010 2011 ,??????????6 ? 2 ? ? ? 2011 ? ?C2011 ? C2011 ? C2011 ? ? ? C2011 ? C2011 2011 2 2 2 0 1 2 3 2010 2011 ∵ C2011 ??????????8 ? C2011 ? C2011 ? C2011 ? ? ? C2011 ? C2011 ?0 a a a ∴ 1? 2 ? ? ? 2011 ? ?1 2 2 2 22011


江苏省数学高考附加题强化试题 7
参考答案
1 0 0 - 1? 21B. 解 (1)M1=?0 -1?,M2=? ? ? ?1 0 ?; 0 -1? ?1 0 ? ?0 1? (2)因为 M=M2 M1=? ?1 0 ? ?0 -1?=?1 0? ,所以 M 故点 C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是(1,2). 21C。解: (1)由 ?

?2?=?0 1? ?2?=?1? . ?1? ?1 0? ?1? ?2?

? x ? sin ?
2 ? y ? cos ?

, ? ? [0, 2? ) 得 x2 ? y ? 1, x ?[?1,1]

?? 4 分

(2)由 ? sin(? ?

) ? ? 2 得曲线 D 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 ?? 6 分 4 ?x ? y ? 2 ? 0 2 ??8 分 得 x ? x ?3 ? 0 ? 2 ?x ? y ? 1

?

解得 x ?

1 ? 14 ? [?1,1] ,故曲线 C 与曲线 D 无公共点 2

??10 分

21D. 解

? F ? 2x2 ? 3 y2 ? z 2 ?
当且仅当

6 11
且 x ? y ? z ? 1, x ?

2x 3y z ? ? 1 1 1 2 3

3 2 6 , y ? ,z ? 11 11 11

F 有最小值 22.

6 11

2分

类似地,可设直线 AB 的方程为: y ? ? ( x ? x2 ) ? 从而得 | AB |?

1 k

2 x2 , 4

2 1? k2 (2 ? kx2 ) , k2

???????4 分

由 | AB |?| BC | ,得 k 2 ? (2k ? x2 ) ? (2 ? kx2 ) ,解得 x2 ?

2(k 3 ? 1) , k2 ? k

l ? f (k ) ?

4 1 ? k 2 (k 2 ? 1) (k ? 0) . k (k ? 1)
4 1 ? k (k ? 1) ≥ k (k ? 1)
2 2

??????6 分

4?

(Ⅲ)因为 l ? f (k ) ?

(1 ? k ) 2 ? 2k 2 ? 4 2 ,????8 分 k (k ? 1)

所以 S ? l 2 ≥ 32 ,即 S 的最小值为 32 ,当且仅当 k ?1 时取得最小值.??10 分 23. 解: (1)记“这 3 个数至少有一个是偶数”为事件 A , 则 P( A) ?
1 2 2 1 3 0 C4 C5 ? C4 C5 ? C4 C5 37 ;. (3 分) ? 3 C9 42

(2)记“这 3 个数之和为 18”为事件 B ,考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为 5、6、7、8,分别

为 459,567,468,369,279,378,189 七种情况, 所以 P( B) ?

7 1 ? ; 3 C9 12

(7 分)

(3)随机变量 ? 的取值为 0,1, 2, ? 的分布列为

?
P ∴? 的数学期望为 E? ? 0 ?

0

1

2

5 12

1 2

1 12

5 1 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 。 (10 分) 12 2 12 3

江苏省数学高考附加题强化试题 8
参考答案
?4 3 ? ? 5 , 10? 21B. (1) M ? ? ? ;????????????????????4 分 ?1 , 7 ? ? ? 5 10 ? ? ?4 3 ? ? 5 , 10? x , y ? ? (2)设矩阵 M 的逆矩阵为 ? ? ,则由 ? 1 7 ? ? , ? ?w, v? ? ? 5 10 ? ? 3 3 ?4 ?4 x ? w ?1 ? y ? v ? 0 ? x , y 1 , 0 ? ? ? ? ?5 ?5 10 10 ,? , ?w, v? = ?0,1? 得: ? 1 ? ? ? ? ? x ? 7 w ? 0 ?1 y ? 7 v ? 1 ? ? 10 10 ?5 ?5

7 3 ? ? x? y?? ? ? ? ? 5 5 解之得: ? ,? ????????????????10 分 ? w ? ? 2 ?v ? 8 ? 5 ? 5 . ? ?
21.C 解: ( 1)依题意得 圆 M 的方程为 ( x ? 2R cos? ) 2 ? ( y ? 2R sin ? ) 2 ? R 2 故圆心的坐标为 M ( 2R cos? ,2R sin ? ).半径为R 。 ?????????????????????4 分
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2 2 (2)当 ? 变化时,因 (2 R cos ? ) ? (2 R sin ? ) ? 2 R ? 3R ? R ,所以所有的圆 M 都和

2 2 2 定圆 x ? y ? 9R 内切,此圆极坐标方程为 ? ? 3R ; ??????????????7 分
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2 2 2 2 2 又因 (2 R cos ? ) ? (2 R sin ? ) ? 2 R ? R ? R ,所以所有的圆 M 都和定圆 x ? y ? R 外切, 此圆极

坐标方程为 ? ? R ;????????????????????????????10 分 21D. 证明: ? =2-

1 1 1 ? ? 1 1? 2 1? 2 ? 3

?

1 1? 2 ? 3 ?

?n

<1 ?

1 1 ? ? 2 22

?

1 2n ?1

1 <2 2 n ?1

22.解: (Ⅰ)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,

由 FM ? MT ,得点 M 是线段 FT 的中点,则 M (0, ) , PM ? ( ? x, 又 FT ? OT ? OF ? (?2, t ), PT ? (?1 ? x, t ? y) , 由 PM ? FT ,得 2 x ? t ( ? y ) ? 0 ,―――――――――――① 由 PT // OF ,得 (?1 ? x) ? 0 ? (t ? y) ?1 ? 0, ∴t=y ――――② 由①②消去 t ,得 y 2 ? 4 x 即为所求点 P 的轨迹 C 的方程

t 2

t ? y) , 2

t 2

(Ⅱ)证明:设直线 TA, TF , TB 的斜率依次为 k1 , k , k2 ,并记 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则k ? ?

t 2

设直线 AB 方程为 x ? my ? 1

? y2 ? 4x ? y1 ? y2 ? 4m ,得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,∴ ? , ? ? y1 ? y2 ? ?4 ? x ? my ? 1
2 2 ∴ y1 ? y2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ? 16m2 ? 8 ,∴ k1 ? k2 ?

y1 ? t y2 ? t ? x1 ? 1 x2 ? 1

2 y2 y12 ( y1 ? t )( ? 1) ? ( y2 ? t )( ? 1) 4 4 ? 2 2 y y ( 1 ? 1)( 2 ? 1) 4 4 2 4 y y ( y ? y2 ) ? 4t ( y12 ? y2 ) ? 16( y1 ? y2 ) ? 32t ? 1 2 1 ? ?t ? 2k 2 2 2 2 y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 16

∴ k1 , k , k2 成等差数列 23. (Ⅰ)解:对函数 f ( x) 求导数: f ?( x) ? ( x ln x)? ? [(1 ? x) ln(1 ? x)]?
? ln x ? ln(1 ? x).

于是 f ?( ) ? 0.

1 2

1 1 当 x ? , f ?( x) ? ln x ? ln(1 ? x) ? 0, f ( x) 在区间 ( 0, ) 是减函数, 2 2 1 1 当 x ? , f ?( x) ? ln x ? ln(1 ? x) ? 0, f ( x) 在区间 ( ,1) 是增函数. 2 2
所以 f ( x)在x ?

1 1 时取得最小值, f ( ) ? ?1 , 2 2

(Ⅱ)证法一:用数学归纳法证明. (i)当 n=1 时,由(Ⅰ)知命题成立. (ii)假定当 n ? k 时命题成立,即若正数 p1 , p2 ,?, p2k 满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ? 1 , 则 p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? ? ? p2k log2 p2k ? ?k. 当 n ? k ? 1 时,若正数 p1 , p2 ,?, p2k ?1 满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ?1 ? 1, 令 x ? p1 ? p 2 ? ? ? p 2k , q1 ?

pk p1 p , q 2 ? 2 , ?, q 2 k ? 2 . x x x

则 q1 , q2 ,?, q2k 为正数,且 q1 ? q2 ? ? ? q2k ? 1. 由归纳假定知 q1 ln p1 ? p2 ln p2 ?
p1 ln p1 ? p2 ln p2 ?

? q2k ln q2k ? ?k.
? q2k ln q2k ? ln x) ? x(?k ) ? x ln x,

? p2k ln p2k ? x(q1 ln q1 ? q2 ln q2 ?



同理,由 p2k ?1 ? p2k ?2 ? ? ? p2k ?1 ? 1 ? x 可得 p2k ?1 ln p2k ?1 ?
? (1 ? x)(?k ) ? (1 ? x)n(1 ? x).

? p2k ?1 ln p2k ?1



综合①、②两式 p1 ln p1 ? p2 ln p2 ?

? p2k ?1 ln p2k ?1

? [ x ? (1 ? x)](?k ) ? x ln x ? (1 ? x)ln(1 ? x) ? ?(k ? 1).

即当 n ? k ? 1 时命题也成立. 根据(i) 、 (ii)可知对一切正整数 n 命题成立.

江苏省数学高考附加题强化试题 9
参考答案
21.B 解: (1)矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?1
1

?2 ? ? 2 ? 5? ? 6 ? 0 ? ?4

?2? ?1? 得 ?1 ? 2, ?2 ? 3 ,当 ?1 ? 2时, 解得?1 ? ? ? ,当 ?2 ? 3时, 解得? 2 ? ? ? .???5 分 ?1 ? ?1?

? 2m ? n ? 7 (2)由 ? ? m?1 ? n? 2 得 ? 得m ? 3, n ? 1 . ?m ? n ? 4
由(2)得: A5? ? A5 (3?1 ? ? 2 ) ? 3( A5?1 ) ? A5? 2

????????7 分

? 2? ?1? ? 435? 5 ? 3(?15?1 ) ? ?2 ? 2 ? 3 ? 25 ? ? ? 35 ? ? ? ? ? ??????10 分 ?1 ? ?1? ?339 ?
21.C.解: (1)曲线 C 2 : ? ?
?
4

( ? ? R )表示直线 y ? x ??????????2 分
2 2

w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

2 2 曲线 C1 : ? ? 6 cos? ,即 ? 2 ? 6 ? cos? ,所以 x ? y ? 6x

即 ( x ? 3) ? y ? 9 .? 6 分
2.

(2) ? 圆心(3,0)到直线的距离 d ?

3 2 ,r 2

? 3 所以弦长 AB = 3

???10 分

21.D(1)因为 a , b, c 的三角形的三边,所以 b ? c ? a ? 0, c ? a ? b ? 0, a ? b ? c ? 0 ??4 分 (2)

a2 b2 c2 ? ? b?c?a c?a ?b a ?b?c

?

? a2 1 b2 c2 ? ? ? ? ? ? ?? b ? c ? a ? ? ? c ? a ? b ? ? ? a ? b ? c ? ? ? a ?b?c?b?c ?a c ? a ?b a ?b?c ? ?
2
w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

? ? 1 a2 b2 c2 ? ? b?c?a ? ? c? a?b ? ? a?b?c? ? ? a?b?c? c ? a ?b a?b?c ? b?c?a ?

?

1 2 ? a ? b ? c ? ? a ? b ? c ?????????????????????10 分 a?b?c
1 ; 2
????????????1 分

22. (1)?? ?| S 3 | 的取值为 1,3,又 p ? q ?

1 3 1 1 1 1 1 故 P(? ? 1) ? 2C3 ( ) ? ( ) 2 ? , P(? ? 3) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? . ???????3 分 2 2 4 2 2 4

所以 ξ 的分布列为:

?

1

3

P
且 E? =1×

3 4

1 4

3 1 3 +3× = ;??????????????????????5 分 4 4 2

(2)当 S8=2 时,即答完 8 题后,回答正确的题数为 5 题,回答错误的题数是 3 题, ???6 分 又已知 S i ? 0(i ? 1,2,3,4) ,若第一题和第二题回答正确,则其余 6 题可任意答对 3 题;若第一题和第二题 回答错误,第三题回答正确,则后 5 题可任意答对题. ??????8 分

1 2 30 ? 8 80 80 3 3 此时的概率为 P ? (C6 ? C5 ) ? ( )5 ? ( )3 ? 8 ? 7 (或 ) .????????10 分 3 3 2187 3 3

23. (1)由已知 f (1) ? S2 ? 1 ?

1 3 ? , 2 2 1 1 1 13 f (2) ? S4 ? S1 ? ? ? ? , 2 3 4 12 1 1 1 1 19 ; ??3 分 f (3) ? S6 ? S2 ? ? ? ? ? 3 4 5 6 20 (2)由(Ⅰ)知 f (1) ? 1, f (2) ? 1 ;下面用数学归纳法证明: 当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . (1)由(Ⅰ)当 n ? 3 时, f (n) ? 1 ; ??5 分 (2)假设 n ? k (k ? 3) 时, f (n) ? 1 ,即 1 1 1 f (k ) ? ? ? ? ? 1 ,那么 k k ?1 2k 1 1 1 1 1 f (k ? 1) ? ? ? ? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 ? 1 1 1 ?1 ?? ? ? ? ? ? ? ?? 2k ? 2k ? 1 2 k ? 2 k ? k k ?1 k ? 2 1 ? ? 1 1 ? 2k ? (2k ? 1) 2k ? (2k ? 2) ? 1 ?1? ? ? ? ? ??? ? ?1? 2k (2k ? 1) 2k (2k ? 2) ? 2k ? 1 2 k ? ? 2 k ? 2 2 k ? 1 1 ?1? ? ? 1 ,所以当 n ? k ? 1 时, f (n) ? 1 也成立.??8 分 2k (2k ? 1) k (2k ? 2) 由(1)和(2)知,当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . 所以当 n ? 1 ,和 n ? 2 时, f (n) ? 1 ;当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . ??10 分

江苏省数学高考附加题强化试题 10
参考答案
21.B 解 (1)由题意可得:a>0,c<0.

?? ? b2 ? 4ac ? 0 ? 方程 ax2+bx+c=0 有两个不等的实根.
由 a+b+c=0 得 b=-(a+c)

2分 5分

??(a ? c) ? a c 1 ?? ? ?2 ? ? ? a 2 ??(a ? c) ? c

(2)由 a+b+c=0 知 x=1 是方程 ax2+bx+c=0 的根,根据根与系数关系可得另一根为

c , a

?3 ? AB ? ? ,3 ? , ?2 ?
线段 AB 在矩阵 ?

7分

?1 0 ? ? 变换下投影实质是投影到直线 y=x 上, ?1 0 ? ?3 2 ? 所以投影的长度范围是: ? 10 分 ? 2 ,3 ? ?. ? ? 21.C【解析】 (Ⅰ)由 ? ? 2 5 sin ? 得 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0, 即 x2 ? ( y ? 5)2 ? 5.
(Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ?

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 , 2 2

即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0, 由于 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根, 所以 ? 1

? ?t ? t2 ? 3 2 , 又直线l过点P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得: t t ? 4 ? ?12

|PA|+|PB|= | t1|+|t 2 | = t1 +t 2 = 3 2 。 21.D 解:由 x ? (0,

?
2

) 知:

1 1 1 1 1 4 4 4 4 ? ? ? ? sin 2 x y? ? sin 2 x ? 2sin x 2sin x 2sin x 2sin x 2sin x

1 1 ? ? ? ? 1 5 2 2 4 4 = sin x 即 sin x ? 时取等号, ? 55 ? ? ? sin x ? 当且仅当 2 4 2sin x ? 2sin x ? ? ? ? 5 ∴ 当 x ? 时 ymin ? 。 (10 分) 6 4 22. 解: 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y , z 轴建立坐标系,
2 2 2 , 0), D( ? , , 0) , O(0,0, 2), M (0,0,1) ????2 分 2 2 2 2 2 , , ?1) , (1)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (? 2 2 AB MD ? 1 ? , ∴ AB 与 MD 所成角的大小为 ???????5 分 ∴cos? ? ? ,∴? ? 3 3 AB ? MD 2
则 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0, (2)∵OP ? (0,

4

2 2 2 , ?2), OD ? (? , , ?2) , 2 2 2 ∴设平面 OCD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,
则 n1 OP ? 0, n1 OD ? 0 ,

z O M

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? , ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 2 2
A x B

D P C y

取z?

2 ,解得 n1 ? (0, 4, 2)
n1.n2 n1 n 2

??? 6 分

易知 平面 OAB 的一个法向量为 n2 ? (0,1,0) ???7 分

cos ? n1 , n2 ??

?

2 2 . ????????9 分 3
2 2 ???????10 分 3

由图形知,平面 OAB 与平面 OCD 所成的二面角的余弦值为

3 3 23. (Ⅰ)基本事件数为 C9 ,满足条件 ai ? a j ? 2 ,及取出的元素不相邻,则用插空法,有 C7 种

故所求事件的概率是 P ?

3 C7 5 ? 3 C9 12

7分

(Ⅱ)分析三数成等差的情况: ? ? 1 的情况有 7 种,123,234,345,456,567,678,789

? ? 2 的情况有 5 种,135,246,357,468,579 ? ? 3 的情况有 3 种,147,258,369 ? ? 4 的情况有 1 种,159
分布列是

? P

1

2

3

4

7 5 16 16 7 5 3 1 15 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 16 16 16 16 8

3 16
14 分

1 16


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