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江西省南昌市第三中学2015-2016学年高二数学3月月考试题 文


南昌三中 2015—2016 学年度下学期第一次月考 高二数学(文)试卷
一、选择题( 5'?12 ? 60 ' ) 1、已知 i ? ?1 ,则 i(1 ? 3i) ? (
2



(A) 3 ? i (B) 3 ? i (C) ? 3 ? i (D) ? 3 ? i 2、抛物线 y ? 2x2 的焦点坐标为( )

(A) ( , 0) (B) (0, ) (C) ( , 0) (D) (0, ) 3、函数 y ? x ? ln x 的单调减区间是( )

1 8

1 8

1 2

1 2

(A) (??,1) (B) (0,1) (C) (1, ??) (D) (0, 2) 4、若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为(
4

)

(A) 4 x ? y ? 3 ? 0 (B) x ? 4 y ? 5 ? 0 (C) 4 x ? y ? 3 ? 0

(D) x ? 4 y ? 3 ? 0

5、函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f '( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x ) 在开区间

(a, b) 内有极小值点(
(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

)

6 、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,若

p : a2 ? b2 ? c2 , q : ?ABC 是钝角三角形,则 p 是 q 的(

)条件

(A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要 7、已知点 P(a, b)(ab ? 0) 是圆 x2 ? y 2 ? r 2 内的一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所在直线,直线 l 的方 程为 ax ? by ? r 2 ,那么 ( )

(A) m / / l , l 与圆相交(B) m ? l , l 与圆相切 (C) m / / l , l 与圆相离(D) m ? l , l 与圆相离

8、将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(



1

9、若函数 f ( x) ? x3 ? 6bx ? 3b 在 (0,1) 内有最小值,则实数 b 的取值范围( (A) (0,1) (B) (??,1)
x



(C) (0, ??)

(D) (0, ) )

1 2

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是( e ?1 ? ? ? ? 3? 3? ] (D) [ , ? ) (A) [0, ) (B) [ , ) (C) ( , 4 4 2 2 4 4
10、已知点 P 在曲线 y ?

11、定义在 R 上的函数 f ( x ) 的导函数为 f '( x) ,已知 f ( x ? 1) 是偶函数, ( x ? 1) f '( x) ? 0 ,若 x1 ? x2 且

x1 ? x2 ? 2 ,则 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小关系(



( A ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( B ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( C )

f ( x1 ) ? f ( x2 ) (D)不确定
义域为 R 的函数 f ( x ) 满足: f (4) ? ?3 ,且对任意 有 f '( x) ? 3 , 则 不 等 式 f ( x) ? 3x ? 15 的 解 集 为 (A) ( ??, 4) (B) (??, ?4) (C) (??, ?4) ? (4, ??) (D) (4, ??) 二、填空题( 4 '? 5 ? 20 ' ) 13、命题“存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? 1”的否定是 14、 圆柱的侧面展开图是边长为 4? 和 6? 的矩形,则圆柱的表面积为________. 15、已知函数 f ( x ) 的导函数为 f '( x) ,且满足 f ( x) ? f '(1)e
x ?1

12、 已知定

x?R 总
( )

1 ? f (0) x ? x 3 ,则 f ( x) ? 3

16、已知 a 为常数,若曲线 y ? ax2 ? 3x ? ln x 存在与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直的切线,则实数 a 的取值范围

三、解答题 17、 (10 分)已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? ax 与 g ( x) ? bx 2 ? c 的图象都过点 P(2, 0) ,且在点 P 处有公共切线, 求 f ( x), g ( x) 的表达式

18、 (12 分)如图所示,设计一个四棱锥形冷水塔塔顶,四棱锥的底面是正方形,侧面是全等的等腰三角 形,已知底面边长为 2m,高为 7m,制造这个塔顶需要多少面积的铁板?

2

19、 (12 分)有一边长为 30cm 的正方形铁皮,把它的四个角各切去一个大小相同的正方形,然后折起,做 成一个无盖的长方体容器,按要求长方体的高不小于 4cm 且不大于 10cm,试求长方体的最大体积。

30

30

20、 (12 分)设函数 f ( x) ? x ? ax ? 2x ? b( x ? R, a, b ? R)
4 3 2

(1)当 a ? ?

10 时 ,讨论函 数 f ( x ) 的单调性; 3

(2)若函数 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围

21、 (12 分)如图,已知椭圆 直线 AF2 交椭圆于另一点 B

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), F1 , F2 分别为椭圆的左右焦点, A 为 椭圆的上顶点, a 2 b2

(1)若 ?F 1 AB ? 90? ,求椭圆的离心率 (2)若 AF2 ? 2 F2 B, AF1 ? AB ?

???? ?

???? ? ???? ??? ?

3 ,求椭圆的方程 2

3

22、 (12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? x (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t , f (t )) 处的切线方程; (2)设 a ? 0 ,若过点 ( a, b) 时可作曲线 y ? f ( x) 的切线数有 3 条,证明: ?a ? b ? f (a)

4

高二数学(文)答案 一、选择题 题号 答案 1 B 2 B 3 B 4 A 5 A 6 A 7 C 8 D 9 D 10 D 11 C 12 D

二、填空 题 13、对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? 1 ;14、 24? ? 8? 或 24? ? 18?
2 2

15、 f ( x ) ? e ? x ?
x

1 3 1 x ;16、 a ? ? 2 3

三、解答题 17、f(x)=2x3-8x, (5 分) 2 g(x)=4x -16.(10 分) 18、如图所示,连接 AC 和 BD 交于 O,连接 SO.作 SP⊥AB,连接 OP. 1 在 Rt△SOP 中,SO= 7(m),OP= BC=1(m), 2 所以 SP=2 2(m), 1 2 则△SAB 的面积是 ×2×2 2=2 2(m ). 2 所以四棱锥的侧面积是 4×2 2=8 2(m ), 2 即制造这个塔顶需要 8 2m 铁板. (12 分) 19、解:设减去正方形边长为 xcm
2

V ( x) ? (30 ? 2x)2 ? x ? 4( x3 ? 30x2 ? 225x)(4 ? x ? 10)?5 分
V '( x) ? 12( x ? 5)( x ? 15)(4 ? x ? 10)
V ( x) 在 [4,5] ? ,[5,10] ? ?8 分

V ( x)max ? V (5) ? 2000cm3 ?12 分
20、解: (1) f '( x) ? 4 x ? 3ax ? 4 x ? x(4 x ? 3ax ? 4)
3 2 2

10 时, f '( x) ? 2 x( x ? 2)(2 x ? 1) 3 1 ? f ( x) 在 (??, 0), ( , 2) ? ? 3 分 2 1 在 (0, ), (2, ??) ? ? 6 分 2
当a ? ?
2 (2)令 ? ( x) ? 4 x ? 3ax ? 4 , ? ? 9a ? 64 ? 0?9 分
2

8 8 ? a ? [? , ]?12 分 3 3

5

21、

22、解: (1)

k切 ? f '(t ) ? 3t 2 ? 1

? y ? (3t 2 ? 1) x ? 2t 3 ? 4分
2

方程 2t ? 3at ? a ? b ? 0 有三个相异的实数根 ? 6 分
3

令 g (t ) ? 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b

g '(t ) ? 6t (t ? a)

? g (t )在(??, 0), (a, ??)递增 在(0, a)递减?8分 ?a ? b ? 0 ? ?a ? b ? f (a)?12 分 ? ?b ? f (a) ? 0

6


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